2009年北京市高考数学试卷(理科)(共21页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2009年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（kR），=，如果，那么（）Ak=1且c与d同向Bk=1且c与d反向Ck=1且c与d同向Dk=1且c与d反向3（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4（5分）若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）AB1CD5（5分）“=+2k（kZ）”是“cos2=”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A45B55C70D807（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A324B328C360D6488（5分）点P在直线l：y=x1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A直线l上的所有点都是“点”B直线l上仅有有限个点是“点”C直线l上的所有点都不是“点”D直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）=10（5分）若实数x，y满足则s=yx的最小值为11（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为1，则该曲线在（1，f（1）处的切线的斜率为12（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=，F1PF2的大小为13（5分）若函数则不等式的解集为14（5分）an满足：a4n3=1，a4n1=0，a2n=an，nN*则a2009=；a2014=三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为，（）求sinC的值；（）求ABC的面积16（14分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA=AB，ABC=60°，BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DEBC（1）求证：BC平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由17（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望18（13分）设函数f（x）=xekx（k0）（）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在区间（1，1）内单调递增，求k的取值范围19（14分）已知双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y00）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明AOB的大小为定值20（13分）已知数集A=a1，a2，an（1a1a2an，n2）具有性质P；对任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于A（I）分别判断数集1，3，4与1，2，3，6是否具有性质P，并说明理由；（）证明：a1=1，且；（）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列2009年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2009北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，bR）的形式，即可确定复数z所在象限【解答】解：z=i（1+2i）=i+2i=2+i，复数z所对应的点为（2，1），故选B2（5分）（2009北京）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（kR），=，如果，那么（）Ak=1且c与d同向Bk=1且c与d反向Ck=1且c与d同向Dk=1且c与d反向【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=1是否满足条件，从而选出应选的选项【解答】解：=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1，1），=（1，1），显然，与不平行，排除A、B若k=1，则=+=（1，1），=（1，1），即 且与反向，排除C，故选 D3（5分）（2009北京）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案【解答】解：，只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选C4（5分）（2009北京）若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）AB1CD【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D5（5分）（2009北京）“=+2k（kZ）”是“cos2=”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断属于基础知识、基本运算的考查将a=+2k代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2k（kZ）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论【解答】解：当a=+2k（kZ）时，cos2a=cos（4k+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2k+a=k+（kZ），或2a=2ka=k（kZ），故选A6（5分）（2009北京）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A45B55C70D80【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55（）5=1+5+20+20+20+4=41+29，a=41，b=29，a+b=70故选C7（5分）（2009北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A324B328C360D648【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数【解答】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72 根据分类计数原理知共有256+72=328故选B8（5分）（2009北京）点P在直线l：y=x1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A直线l上的所有点都是“点”B直线l上仅有有限个点是“点”C直线l上的所有点都不是“点”D直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合【解答】解：设A（m，n），P（x，x1）则，B（2mx，2nx+1）A，B在y=x2上n=m2，2nx+1=（2mx）2消去n，整理得关于x的方程 x2（4m1 ）x+2m21=0=8m28m+50恒成立，方程恒有实数解，故选A二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）（2009北京）=【分析】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到，由此能够得到的值【解答】解：=故答案为：10（5分）（2009北京）若实数x，y满足则s=yx的最小值为6【分析】画可行域如图目标函数s为该直线纵截距平移目标函数可知直线过（4，2）点时s有最小值【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l：yx=0平移l过点A（4，2）时s有最小值6，故答案为611（5分）（2009北京）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为1，则该曲线在（1，f（1）处的切线的斜率为1【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题【解答】解；取f（x）=x21，如图，易得该曲线在（1，f（1）处的切线的斜率为1故应填112（5分）（2009北京）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=2，F1PF2的大小为120°【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解【解答】解：|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=6|PF1|=2在F1PF2中，cosF1PF2=，F1PF2=120°故答案为：2；120°13（5分）（2009北京）若函数则不等式的解集为3，1【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集【解答】解：由由不等式的解集为x|3x1，故答案为：3，114（5分）（2009北京）an满足：a4n3=1，a4n1=0，a2n=an，nN*则a2009=1；a2014=0【分析】由a4n3=1，a4n1=0，a2n=an，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×43，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×41，所以第2014项是0【解答】解：2009=503×43，a2009=1，a2014=a1007，1007=252×41，a2014=0，故答案为：1，0三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）（2009北京）在ABC中，角A，B，C的对边分别为，（）求sinC的值；（）求ABC的面积【分析】（）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；（）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（）可知公式里边的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可【解答】解：（）A、B、C为ABC的内角，且0，A为锐角，则sinA=sinC=sin（A）=cosA+sinA=；（）由（）知sinA=，sinC=，又，在ABC中，由正弦定理，得a=，ABC的面积S=absinC=×××=16（14分）（2009北京）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA=AB，ABC=60°，BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DEBC（1）求证：BC平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由【分析】（1）欲证BC平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PABC，而ACBC，满足定理所需条件；（2）根据DE平面PAC，垂足为点E，则DAE是AD与平面PAC所成的角在RtADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；（3）根据DEAE，DEPE，由二面角的平面角的定义可知AEP为二面角ADEP的平面角，而PAAC，则在棱PC上存在一点E，使得AEPC，从而存在点E使得二面角ADEP是直二面角【解答】解：（1）PA底面ABC，PABC又BCA=90°，ACBC，BC平面PAC（2）D为PB的中点，DEBC，DE=BC又由（1）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E，DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，AD=AB在RtABC中，ABC=60°，BC=AB，在RtADE中，sinDAE=，即AD与平面PAC所成角的正弦值为（3）DEBC，又由（1）知，BC平面PAC，DE平面PAC又AE平面PAC，PE平面PBC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC=90°，在棱PC上存在一点E，使得AEPC这时，AEP=90°，故存在点E使得二面角ADEP是直二面角17（13分）（2009北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望【解答】解：（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，事件A的概率为（）由题意可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），即的分布列是 02468P的期望是18（13分）（2009北京）设函数f（x）=xekx（k0）（）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在区间（1，1）内单调递增，求k的取值范围【分析】（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决（II）先求出f（x）的导数，根据f（x）0求得的区间是单调增区间，f（x）0求得的区间是单调减区间即可；（III）由（）知，若k0，则当且仅当1时，函数f（x）（1，1）内单调递增，若k0，则当且仅当1时，函数f（x）（1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围【解答】解：（）f（x）=（1+kx）ekx，f（0）=1，f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=x；（）由f（x）=（1+kx）ekx=0，得x=（k0），若k0，则当x（，）时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当x（，+，）时，f（x）0，函数f（x）单调递增，若k0，则当x（，）时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当x（，+，）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；（）由（）知，若k0，则当且仅当1，即k1时，函数f（x）（1，1）内单调递增，若k0，则当且仅当1，即k1时，函数f（x）（1，1）内单调递增，综上可知，函数f（x）（1，1）内单调递增时，k的取值范围是1，0）（0，119（14分）（2009北京）已知双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y00）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明AOB的大小为定值【分析】（ I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程（II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出AOB的余弦值即可证明AOB的大小为定值【解答】解：（）由题意，解得a=1，c=，b2=c2a2=2，所求双曲C的方程（）设P（m，n）（mn0）在x2+y2=2上，圆在点P（m，n）处的切线方程为yn=（xm），化简得mx+ny=2以及m2+n2=2得（3m24）x24mx+82m2=0，切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0m22，3m240，且=16m24（3m24）（82m2）0，设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），x1+x2=，x1x2=，且=x1x2+42m（x1+x2）+m2x1x2=+4+=0AOB的大小为90020（13分）（2009北京）已知数集A=a1，a2，an（1a1a2an，n2）具有性质P；对任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于A（I）分别判断数集1，3，4与1，2，3，6是否具有性质P，并说明理由；（）证明：a1=1，且；（）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列【分析】（I）根据性质P；对任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集1，3，4与1，2，3，6中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（）由性质P，知ananan，故ananA，从而1=A，a1=1再验证又，从而+=a1+a2+an，命题得证；（）跟据（），只要证明即可【解答】解：（）由于3×与均不属于数集1，3，4，该数集不具有性质P由于1×2，1×3，1×6，2×3，都属于数集1，2，3，6，该数集具有性质P（）A=a1，a2，an具有性质P，anan与中至少有一个属于A，由于1a1a2an，ananan故ananA从而1=A，a1=11=a1a2an，n2，akanan（k=2，3，4，n），故akanA（k=2，3，4，n）由A具有性质P可知A（k=2，3，4，n）又，从而+=a1+a2+an，且；（）由（）知，当n=5时，有，即a5=a2a4=a32，1=a1a2a5，a3a4a2a4=a5，a3a4A，由A具有性质P可知A由a2a4=a32，得A，且1，即a1，a2，a3，a4，a5 是首项为1，公比为a2等比数列参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；caoqz；wdlxh；豫汝王世崇；wdnah；涨停；zhwsd；zlzhan；mrguo；杨南；wodeqing；sllwyn；minqi5；yhx01248；庞会丽；（排名不分先后）菁优网2017年2月3日专心-专注-专业