2.2.3待定系数法.ppt

2.2.3 待定系数法待定系数法 在解应用问题时，我们常用一个字母，在解应用问题时，我们常用一个字母，如如x，y，z，来表示来表示未知数未知数，然后根据问，然后根据问题的条件题的条件列方程求解列方程求解.在解决某些问题中，在解决某些问题中，有时要有时要根据条件确定一个未知函数根据条件确定一个未知函数.例如已知一个正比例函数的图象通过点例如已知一个正比例函数的图象通过点(3，4)，求这个函数的解析式，求这个函数的解析式.为此，我们可设所求的正比例函数为为此，我们可设所求的正比例函数为y=kx，其中，其中k待定，待定，根据已知条件，将点根据已知条件，将点(3，4)代入可得代入可得k=.所以所求的正比例函数是所以所求的正比例函数是y=x.一般地，在求一个函数时，如果知道一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的这个函数的一般形式一般形式，可先把所求函数写，可先把所求函数写为一般形式，其中为一般形式，其中系数待定系数待定，然后再根据，然后再根据题设条件题设条件求出这些待定系数求出这些待定系数.这种通过求这种通过求待定系数来待定系数来确定变量之间关系式确定变量之间关系式的方法叫的方法叫做做待定系数法待定系数法。两个一元多项式是分别整理成标准式之两个一元多项式是分别整理成标准式之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项是相等，如则称这两个多项是相等，如:=cc=bb=aa+=+22cxbxacbxax（3）两根式：两根式：二次函数解析式形式有三种：二次函数解析式形式有三种：(2)顶点式：顶点式：（1）一般式：）一般式：例例1.已知一个二次函数已知一个二次函数f(x)，f(0)=5，f(1)=4，f(2)=5，求这个函数，求这个函数.解：设所求函数为解：设所求函数为f(x)=ax2+bx+c，其中，其中a，b，c待定，待定，根据已知条件得方程组根据已知条件得方程组解方程组得解方程组得a=2，b=1，c=5.因此，所求函数为因此，所求函数为f(x)=2x2+x5.例例2.已知已知f(x)是一次函数，且有是一次函数，且有2f(2)3f(1)=5，2f(0)f(1)=1，求这个函数的，求这个函数的解析式解析式.解：设所求的一次函数是解：设所求的一次函数是f(x)=kx+b，其中，其中k，b待定待定.根据已知条件得方程组根据已知条件得方程组即即解得解得k=3，b=2.因此所求的函数是因此所求的函数是y=3x2.总结：总结：待定系数法解题的基本步骤是什么？待定系数法解题的基本步骤是什么？第一步：设出含有待定系数的解析式；第一步：设出含有待定系数的解析式；第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；的方程或方程组；第三步：解方程或方程组，从而使问题得到第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决。解决。例例3.已知函数已知函数f(x)是一次函数，且有是一次函数，且有ff(x)=9x+8，求此一次函数的解析式。，求此一次函数的解析式。解：解：设该一次函数是设该一次函数是y=ax+b,由题意得由题意得ff(x)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8.所以有所以有解得解得所以一次函数为所以一次函数为f(x)=3x+2或或f(x)=3x4.例例4.已知函数已知函数f(x)=x24ax+2a+6，若函数的，若函数的值域是值域是0,+)，求函数的解析式。，求函数的解析式。解：解：因为函数的值域是因为函数的值域是0,+)，所以，所以=16a24(2a+6)=0，解得解得a=1或或a=.所以所以f(x)=x2+4x+4或或f(x)=x26x+9.例例5.已知二次函数的图象已知二次函数的图象通过通过A(2,3)，B(2,7)，C(4,7)三点，求该二次函数的三点，求该二次函数的解析式。解析式。解法解法1：同例题同例题1，设所求函数为，设所求函数为f(x)=ax2+bx+c，列三元方程组求出列三元方程组求出a=，b=1，c=3，所以二次函数为所以二次函数为f(x)=x2+x3.评价：评价：通过利用给定的条件列出通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，的三元一次方程组，求出求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式过程较繁杂的值，从而确定函数的解析式过程较繁杂.解法解法2：因为二次函数的图象因为二次函数的图象通过通过B(2,7)，C(4,7)两点，所以函数关于直线两点，所以函数关于直线x=1对称。对称。设二次函数为设二次函数为f(x)=a(x1)2+k，将，将A(2,3)和和B(2，7)坐标代入得方程组坐标代入得方程组解得解得所以二次函数是所以二次函数是f(x)=(x1)2即二次函数为即二次函数为f(x)=x2+x3.评价：评价：通过利用条件中的顶点和过某一点选用顶点式求解，减通过利用条件中的顶点和过某一点选用顶点式求解，减少参数的求解，方法比较灵活少参数的求解，方法比较灵活。例例6.二次函数的图象与二次函数的图象与x轴交于轴交于A(2,0),B(3,0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C(0,3)，求此，求此二次函数的解析式。二次函数的解析式。解：解：因为因为二次函数的图象与二次函数的图象与x轴交于轴交于A(2,0),B(3,0)两点，所以可设二次函数为两点，所以可设二次函数为f(x)=a(x+2)(x3)，将将C点坐标点坐标(0，3)代入得代入得6a=3，解得，解得a=.所以二次函数是所以二次函数是f(x)=(x+2)(x3).即即f(x)=x2 x3.总结请同学们总结！请同学们总结！你学到那些二次函数解析式方法？你学到那些二次函数解析式方法？已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式。式。已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）通常选择已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）通常选择顶点式。顶点式。已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常，通常选择交点式。选择交点式。确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。恰当地选用一种函数表达式。yxo