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李正元高等数学强化讲义1/116 第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是：掌握求极限的各种方法掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）李正元高等数学强化讲义2/116 复合函数、分段函数及函数记号的运算1 极限的重要性质1不等式性质设ByAxnnnnlimlim，且 AB，则存在自然数N，使得当nN 时有 xnyn设ByAxnnnnlimlim，且存在自然数N，当 nN 时有 xnyn，则 AB作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设Axnnlim，且 A0，则存在自然数N，使得当 nN 时有 xn0设Axnnlim，且存在自然数N，当 nN 时有 xn0，则 A0对各种函数极限有类似的性质例如：设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，且 AB，则存在0，使得当00 xx有f（x）g（x）设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，且存在 0，使得当 0 xx0时f（x）g（x），则 AB2有界或局部有界性性质设Axnnlim，则数列 xn有界，即存在M 0，使得 xn M（n=1，2，3，）设，Axfxx)(lim0则函数 f（x）在 x=x0的某空心邻域中有界，即存在0 和 M0，使得当 0 xx0时有 f（x）M对其他类型的函数极限也有类似的结论2 求极限的方法1极限的四则运算法则及其推广设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，则；BAxgxfxx)()(lim0；ABxgxfxx)()(lim0)0()()(lim0BBAxgxfxx只要设)(glim)(lim00 xxfxxxx，存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“00”，“”，“0”，“”四种未定式以外的各种情形即：1设Bxxfxxxx)(glim)(lim00，则)()(lim0 xgxfxx.)()(lim0 xgxfxx（()0g x）又B0，则)()(lim0 xgxfxx 2 设)(lim0 xfxx，当 xx0时()g x局部有界，（即0,0M，使得00 xx时()g xM），则)()(lim0 xgxfxx李正元高等数学强化讲义3/116 设)(lim0 xfxx，当 xx0时 g（x）局部有正下界，（即 0，b0 使得 0 x x0时 g（x）b0），则)()(lim0 xgxfxx3设)(lim0 xfxx，)(lim0 xgxx，则)()(lim0 xgxfxx，又 0 使得 0 x x0时f（x）g（x）0，则)()(lim0 xgxfxx4设0)(lim0 xfxx，xx0时 g（x）局部有界，则0)()(lim0 xgxfxx（无穷小量与有界变量之积为无穷小）2幂指函数的极限及其推广设AxfBxgAxfBxgxxxxxx)()(lim)(lim0)(lim000则，000lim()ln()()()ln()ln(lim()lim)xxg xfxg xg xfxBABxxxxf xeeeA只要设00lim()lim()xxxxf xg x，存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1”，“00”及“0”三种未定式以外的各种情形这是因为仅在这三个情况下)(ln)(lim0 xfxgxx是“0”型未定式1 设)(lim0 xfxx=0（0 x0 x 时 f（x）0），0)(lim0Bxgxx，则0()0(0)lim()(0)g xxxBf xB2 设)(lim0 xfxx=A0，A1，)(lim0 xgxx=+，则0()0(01)lim()(1)g xxxAf xA3 设)(lim0 xfxx=+，0)(lim0Bxgxx，则0)()0(0)(lim)(0BBxfxgxx【例 1】设，则，又_)(lim0)(glim)()(lim000 xfxAxgxfxxxxxx【分析】00)()()(lim)(lim00Axgxgxfxfxxxx李正元高等数学强化讲义4/116【例 2】设 an，bn，cn均为非负数列，且，nnnnnncbalim1lim0lim则必有（A）an bn对任意 n成立（B）bncn对任意 n 成立（C）极限nnncalim不存在（D）nnncblim不存在用相消法求00或型极限【例 1】求)cos1(sin1tan1lim0 xxxxIx【解】作恒等变形，分子、分母同乘得xxsin1tan10tansinlim(1cos)1tan1sinxxxIxxxxxxxxxxxxsin1tan11lim)cos1()cos1(tanlim0021211【例 2】求22411limsinxxxxIxx【解】作恒等变形，分子、分母同除)0(2xxx得202111414010lim1sin101xxxxIxx利用洛必达法则求极限【例 1】设 f（x）在 x=0 有连续导数，又2)(sinlim20 xxfxxIx求(0)(0)ff与【例 2】求)1ln()cos1(1cossin2lim20 xxxxxx李正元高等数学强化讲义5/116【例 3】求xxIxxe)1(lim10【例 4】求xxIxxxsineelimsin0【例 5】若306sin()lim0 xxxf xx，则_)(6lim20 xxfx【例 6】求)1ln(0)(tanlimxxxI【例 7】设0，0 为常数且122lim()aaaxIxxx，则（，）=_【分析】型极限210121)1(lim1t 1)(1limttxxxIaataaxttataaaat2)1(1lim1110)20()2(21)2(0)1(21lim2110aaattaaat因此（，）=)212(，分别求左、右极限的情形，分别求nnnnxx212limlim与的情形【例 1】设|sine1e2)(41xxxfxx，求0lim()xf x【例 2】求nnnIn)1(1lim利用函数极限求数列极限【例 1】求)1(limaanInn【例 2】求21lim(tan)nnInn【解 1】)11tan(11tan12)11tan(1limnnnnnnnnI李正元高等数学强化讲义6/116 转化为求2230021tan11tan11tanlim(tan1)limlimlim1nnxxnxxxnxnnnxxn123201cos1lime33xxIx【解 2】用求指数型极限的一般方法nnnnI11tanln2elim转化为求2021tantan1lnlim lnlim1nxnxxnxn201tanlimxxxx（等价无穷小因子替换），余下同前3 无穷小和它的阶1无穷小、极限、无穷大及其联系（1）无穷小与无穷大的定义（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系0lim()()()xxf xAf xAx其中00lim()0()(1).xxxf xAoxx，o（1）表示无穷小量在同一个极限过程中，u 是无穷小量（u0）u1是无穷大量反之若u 是无穷大量，则u1是无穷小量2无穷小阶的概念（1）定义同一极限过程中，（x），（x）为无穷小，李正元高等数学强化讲义7/116 设0()()1()()()lim()()()()0()()()()()lxxlxxxlxxxlxxxox为有限数，称与为同阶无穷小时，称与为等价无穷小，记为极限过程时，是比高阶的无穷小，记为极限过程定义设在同一极限过程中（x），（x）均为无穷小，（x）为基本无穷小，若存在正数k 与常数l使得0)()(limlxxk称（x）是（x）的 k 阶无穷小，特别有0)()(lim00lxxxkxx，称 xx0时（x）是（xx0）的 k 阶无穷小（2）重要的等价无穷小x0 时sinx x，tanx x，（1+x）x，ex1 x；ax1 xlna，arcsinx x，arctanx x；（1+x）a1 ax，1cosx 221x（3）等价无穷小的重要性质在同一个极限过程中1 若 ，2 =+o（）3 在求“00”型与“0”型极限过程中等价无穷小因子可以替换【例 1】求13cos21lim30 xxxxI【例 2】设_)(lim5132sin)(1lnlim200 xxfxxfxxx，则【分析】由已知条件及02sin)(lim0)2sin)(1ln(lim0)13(lim000 xxfxxfxxxx又在 x=0 某空心邻域f（x）0()()()ln(1)(0)sin 2sin 22f xf xf xxxxx，又 3x1 xln 3于是22000()/2()()limlim5lim10ln 3ln 32ln 3xxxf xxf xf xxxx【例 3】设 x a 时（x），（x）分别是 x a 的 n 阶与 m 阶无穷小，又0)(limAxhax，则 x a 时（1）（x）h（x）是 x a 的_阶无穷小（2）（x）（x）是 x a 的 _阶无穷小李正元高等数学强化讲义8/116（3）nm 时，（x）（x）是 x a 的_阶无穷小（4）nm 时)()(xx是 x a 的_阶无穷小（5）k 是正整数时，k是 x a 的_阶无穷小以上结论容易按定义证明。例如，已知0)()(limAaxxfnax，()()()()()lim0limlim0()()()()mn mnmxaxaxag xf x g xf xg xBA Bxaxaxaxaf（x）g（x）是 x a 的 n+m 阶无穷小【例 4】设 f（x）连续，x a 时 f（x）是 x a 的 n 阶无穷小，求证：xadttf)(是 x a 的 n+1 阶无穷小【例 5】x 0 时，231)1(xxx是 x 的_阶无穷小；332xx是 x 的_阶无穷小；)1ln(sin3xx是 x 的_阶无穷小，xdtt02sin是 x 的 _阶无穷小【例 6】x 0 时，下列无穷小中（）比其他三个的阶高，（A）x2（B）1cosx（C）112x（D）x tanx【例 7】当 x 0 时，xdttxfsin02sin)(与43)(xxxg比较是（）的无穷小（A）等价（B）同阶非等价（C）高阶（D）低阶4 连续性及其判断1连续性概念（1）连续的定义：函数 f（x）满足)()(lim00 xfxfxx，则称 f（x）在点 x=x0处连续；f（x）满足00lim()()xxf xf x（或)()(lim00 xfxfxx，则称 f（x）在 x=x0处右（或左）连续若 f（x）在（a，b）内每一点连续，则称f（x）在（a，b）内连续；若f（x）在（a，b）内连续，且在x=a 处右连续，在点x=b 处左连续，则称f（x）在 a，b上连续（2）单双侧连续性李正元高等数学强化讲义9/116 f（x）在 x=x0处连续f（x）在 x=x0处既左连续，又右连续（3）间断点的分类：设 f（x）在点 x=x0的某一空心邻域内有定义，且x0是 f（x）的间断点若 f（x）在点 x=x0处的左、右极限f（x00）与 f（x0+0）存在并相等，但不等于函数值f（x0）或 f（x）在 x0无定义，则称点x0是可去间断点；若f（x）在点 x=x0处的左、右极限f（x00）与 f（x0+0）存在但不等，则称点x0是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点若 f（x）在点 x=x0处的左、右极限f（x00）与 f（x0+0）至少有一个不存在，则称点x0为第二类间断点2函数连续性与间断点类型的判断：若 f（x）为初等函数，则f（x）在其定义域区间D 上连续，即当开区间（a，b）D，则 f（x）在（a，b）内连续；当闭区间c，d D，则 f（x）在 c，d上连续若f（x）是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则（四则运算，反函数运算与复合运算）来判断当f（x）为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性判断 f（x）的间断点的类型，就是求极限00lim()xxf x3有界闭区间a，b上连续函数的性质：最大值和最小值定理：设f（x）在闭区间 a，b上连续，则存在和a，b，使得f（）f（x）f（），（axb）有界性定理：设f（x）在闭区间 a，b上连续，则存在M0，使得 f（x）M，（axb）介值定理：设函数f（x）在闭区间 a，b上连续，且f（a）f（b），则对 f（a）与 f（b）之间的任意一个数c，在（a，b）内至少存在一点，使得f（）=c推论 1（零值定理）：设 f（x）在闭区间 a，b上连续，且f（a）f（b）0，则在（a，b）内至少存在一点，使得f（）=0 推论 2：设 f（x）在闭区间 a，b上连续，且m 和 M 分别是 f（x）在 a，b上最小值和最大值，若 mM，则 f（x）在 a，b上的值域为 m，M【例 1】函数2)2)(1()2sin(|)(xxxxxxf在下列哪个区间内有界（A）（1，0）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，3）【分析一】这里|xx有界只须考察2)2)(1()2sin()(xxxxg，g(x）是初等函数，它在定义域（x1，x2）上连续，有界闭区间上连续函数有界，1，0 定义域，g(x）在 1，0有界，选（A）【分析二】设 h(x）定义在（a，b）上，若)(lim0 xhax或)(lim0 xhbx，则 h(x）在（a，b）无界 因)(lim1xfx，)(lim2xfx()f x在（0，1），（1，2），（2，3）均无界 选（A）李正元高等数学强化讲义10/116【例 2】设111)(2xxxxxf，xxxxxxxg5352)1(22)(，讨论 y=f（g（x）的连续性，若有间断点并指出类型【分析与解法1】先求 f（g（x）的表达式2()()1)()1()()1)gxg xf g xg xg x)5()3(1)52()1(21)21(1)1()(2xxxxxxxxxgf在（，1），（1，2），（2，5），（5，+），f（g(x）分别与初等函数相同，故连续x=2 或 5 时可添加等号，左、右连接起来，即左连续又右连续 f（g(x）在 x=2 或 5 连续 x=1时1lim)(lim0)1(lim)(lim201010101xxgfxxgfxxxxx=1 是 f（g（x）的第一类间断点（跳跃间断点）【分析与解法2】不必求出f（g（x）的表达式g(x）的表达式中，x=2 或 5 处可添加等号，左、右连接起来g(x）在（，+）处处连续111)(2uuuuuf，u1 时连续u=g（x）=1x=1 因此，x 1 时由连续函数的复合函数是连续的f（g（x）连续.x=1 时1lim)(lim)(lim0)1(lim)(lim)(lim2010101010101xxfxgfxxfxgfxxxxxxx=1 是 f（g（x）的第一类间断点李正元高等数学强化讲义11/116 第二讲一元函数微分学的概念、计算及简单应用一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是李正元高等数学强化讲义12/116 导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导与连续的关系按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分（包括：初等函数，幂指数函数，反函数，隐函数，变限积分函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函数），求 n 阶导数表达式求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等（只对数三，数四）1 一元函数微分学中的基本概念及其联系1可导与可微的定义及其联系f 2几何意义与力学意义)(0 xf是曲线 y=f（x）在点（x0，f(x0）处切线的斜率xxfxdfxx)()(00是相应于x 该切线上纵坐标的增量质点作直线运动，t 时刻质点的坐标为x=x(t），)(0tx是t=t0时刻的速度3单侧导数与双侧导数f（x）在 x=x0可导00)()fxfx，均存在且相等00000000000()()()()()limlim()()()(1)0(1)()xxxf xxf xf xf xxf xfxxxxfxxf xAoxoxAfx在可导：，即无穷小量0000000()()()()(0)()()()()xxf xxf xxf xA xoxxf xxxf xA xfxxfx dx在可微：在的微分 d0()f xxx在连续李正元高等数学强化讲义13/116 此时000()()()fxfxfx0000()()()limxf xxf xfxx，-0000()()()lim.xf xxfxfxx【例 1】说明下列事实的几何意义（1）xgxfxgxf)()()()(0000，（2）f(x)，g(x)在x=x0处 有 连 续 二 阶 导 数，0000()()()()f xg xfxgx，xgxf0)()(00（3）f(x）在 x=x0处存在00()()fxfx，但00()()fxfx.（4）y=f(x）在 x=x0处连续且000()()lim.xxf xf xxx【例 2】()()()g xf xh x0000 xxxxxx，0 为某常数 设000()(),(),g xh xgx0()hx均存在且00()()gxhx.求证：0000()()()()fxfxgxhx存在且.【例 3】请回答下列问题：（1）设 y=f（x）在 x=x0可导，相应于x 有y=f（x0+x）f（x0），xxfdy)(0 x0 时它们均是无穷小试比较下列无穷小：y 是x 的_无穷小；ydy 是x 的 _无穷小；0)(0 xf时y 与 dy 是_无穷小（2）du 与u是否相等？【例 4】设 f（x）连续，试讨论)(0 xf的存在性与0|)(|xxxf的存在性之间的关系（1）考察下列两个函数图形，由导数的几何意义来分析)(0 xf存在与0|)(|xxxf存在之间的关系（2）f（x0）0 时，求证：)(0 xf存在0|)(|xxxf存在李正元高等数学强化讲义14/116【证明】因0()f x0，由连续性，0，使得当 x x0时有 f（x）0 或 f（x）0，于是在x0该邻域内必有f（x）=f(x）或 f（x）=f(x）之一成立，故在点x=x0处两个函数的可导性是等价的（3）f（x0）=0 时，求证：0|)(|0)(0 xxxfxf存在【证明】设 f（x0）=00|)(|xxxf存在xxfxxfxxfxxfxx|)(|)(|lim|)(|)(|lim0000000000|()|()|lim(0)lim(0)xxfxxf xxxx0|)(|lim|)(|lim0000 xxxfxxxfxxxfxxfxxfx0)(0)()(lim0000综合可得，题目中结论（2）和（3）成立也可以概括为：点x=x0是可导函数()f x的绝对值函数()fx的不可导点的充分必要条件是它使得f（x0）=0 但0)(0 xf【评注】论证中用到显然的事实：lim()0lim|()|0 xaxaf xf x【例 5】设函数 f(x）连续，且(0)0f，则存在 0，使得（A）()f x在（0，）内单调增加（B）()f x在（，0）内单调减少（C）对任意的x（0，）有()f xf（0）（D）对任意的x（，0）有()f x f（0）2 一元函数求导法反函数求导法：设 f（x）在区间Ix可导，()0fx，值域区间为Iy，则它的反函数x=（y）在 Iy可导且()1d1()d()ddxyxyyfxyx【例】设 y=y（x）满足xye2，求它的反函数的二阶导数22ddyx李正元高等数学强化讲义15/116【解】xxxyxxyxxyyx222e41dde21dddde21)(1dd，变限积分求导法：设函数 f（x）在 a，b上连续，则xattfxFd)()(在a，b上可导，且()()Fxf x，（axb）设()f x在 c，d上连续，当x a，b时函数 u（x），v（x）可导，且()()u xv x和的值域不超出 c，d，则)()(d)()(xuxvttfxF在 a，b上可导，且)()()()()(xuxvfxuxufxF，（axb）【例 1】设 f（x）在（，+）连续且10()(s)dxnnn xsfxs，求)(x【例 2】设 f（x）在（，+）连续，又xttftxx02d)()(21)(，求)()(x，x【例 3】设ytttxyxd)d1sin()(20220，求)(x【例 4】设 f（x）为连续函数，ttyxxfytF1d)(d)(，则)2(F等于（A）2f（2）（B）f（2）（C）f（2）（D）0【分析一】先用分部积分法将F（t）化为定积分111()()d)d()d)d()d)ttttty tyyyyF tf xxyyf xxyf xxtttxxfxyyyfxxf111d)()1(d)(d)(，)2()2()()1()(fFtfttF选（B）【分析二】转化为可以用变限积分求导公式的情形tttyttyxxftyxxfyxxfyxxftF1111111d)()1(d)d)(d)d)(d)d)()(11)()1()()1(d)(d)()(tttfttftxxfxxftF)2()2(fF选（B）【分析三】交换积分顺序化为定积分李正元高等数学强化讲义16/116 分顺序交换积DxtyxfxyxxftF11d)(ddd)()(txxfx1d)()1(【分析四】特殊选取法取f（x）=1（满足条件）ttytttytytytyytxyxxfytF112121)1(21)(21d)(d1dd)(d)(fFttF)2(1)2(1)(，选（B）隐函数求导法：【例 1】y=y（x）由0e)sin(222xyyxx所确定，则xy_dd【例 2】y=y（x）由下列方程确定，求xyxy22dddd，（1）x+arctany=y；【解】对 x 求导yyy2111，解出211yyy 得再对 x 求导得523)1(22yyyyy（2）yyfex)(e，其中1)()(xfxf存在，【解】对 x 求导得yeyyfxyyfyf)(ee)()(利用方程化简得)(1(1)(1yfxyyyyfx，再将y的方程对x 求导得yyyfyyfx)()(122解出y，并代入y表达式322)(1()(1()(yfxyfyfy若先取对数得lnx+f（y）=y 然后再求导，可简化计算【例 3】设 y=y（x）由方程y xey=1 确定，求022ddxxy的值李正元高等数学强化讲义17/116【解】原方程中令x=0 y（0）=1将方程对x 求导得0eeyxyyy令e)0(0yx将上述方程两边再对x 求导得2e2)0(0)(e2yyexyyxyy分段函数求导法：【例 1】设 f（x）=x2x，则使()()nfx处处存在的最高阶数n 为_【例 2】设0dsin10)(0001sin)1ln(1)(203xttxxxf，xxxxxxfx，处在则，（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导但导函数不连续（D）可导且导函数连续【分析】先按定义讨论f（x）在 x=0 的可导性问题3200()(0)11(0)limlimln(1)sin0 xxf xffxxxx2220000()(0)1sin2(0)limlimsin dlim02xxxxf xfxxft txxx(0)(0)0(0)0fff进一步考察)(xf在 x=0 的连续性当 x0 时，xxxxxxxxxxxxxxf1cos)1ln(1sin)1(31sin)1ln()1sin)1ln(1()(3332233由此可知，)()(lim0 xfxfx不在 x=0 不连续因此，选（C）【例 3】求常数 a，b 使函数33)(2xb，axxxxf处处可导，并求出导数【分析与求解】对常数 a，b，x3 时 f（x）均可导现要确定a，b 使)3(f存在 f（x）在 x=3 必须连续且(3)(3)ff，由这两个条件求出a 与 b由babaxxfxxfxxxx3)(lim)(lim9lim)(lim030320303，李正元高等数学强化讲义18/116 f（x）在 x=3 连续，a，b 满足f（3+0）=f（30）=f（3）即3a+b=9 在此条件下，23()3xxf xaxbx()2(3),()(3)fxx xfxax3(3)26,(3)xfxfa(3)(3)(3)fff即 a=6 代入 3a+b=9 b=9因此，仅当a=6，b=9 时f（x）处处可导且)3(6)3(2)(xxxxf【评注】求解此类问题常犯以下错误1没说明对常数 a，b，x3 时 f（x）均可导2先由 x=3 处可导求出a 值，再由连续性求出b 值请看以下错误表达：“因33(3)26(3)()xxfxfaxba，由(3)(3)ff得 a=6再由连续性f（3+0）=f（30）即9=3a+b，b=9”错误在于当3a+b9 时(3)f不存在，也不可能有3(3)()xfaxb f（3+0）=f（30）不能保证f（x）在 x=3 连续仅当f（3+0）=f（30）=f（3）时才能保证x=3 连续必须先由连续性定出3a+b=9，在此条件下就可得(3)fa高阶导数与n 阶导数的求法常见的五个函数的n 阶导数公式：baxnnbaxa e)e()()2sin()(sin()(nbaxabaxnn)2cos()(cos()(nbaxabaxnn1()(1)(1)!(ln|)()nnnnnaaxbaxb()()(1)(1)()nnnaxbnaaxb李正元高等数学强化讲义19/116 3 一元函数导数（微分）概念的简单应用【例 1】设nxxf)(,在点1,1处的切线与x轴的交点为,0n，则lim()_.nnf【例 2】若周期为4 的函数 f（x）可导且12)1()1(lim0 xxffx则曲线 y=f（x）在点（5，f（5）处的切线斜率k=_【例 3】设 y=f（x）由方程e2x+ycos（xy）=e1 所确定，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的法线方程为_【例 4】已知曲线的极坐标方程为=2sin，点 M0的极坐标为（1，6），则点 M0处的切线的直角坐标方程为_【分析一】（数学一，二）点M0在上，直角坐标为：0(1)63cos2x，21sin)61(0，y的参数方程为2cos1sinsin22sincossin2yx，在 M0点处的切线的斜率：33tan2cos22sin2dd66xy在 M0处的切线方程13)23(321xyxy，即【分析二】的方程可化为2=2sin，于是的隐式方程为x2+y2=2 y由隐函数求导法，得yxyyyyx1222，3)23()2123()(00yyx代入得，于是切线方程为133()3122yxyx即李正元高等数学强化讲义20/116 第三讲一元函数积分学一、知识网络图李正元高等数学强化讲义21/116 二、重点考核点这部分的重点是：李正元高等数学强化讲义22/116 不定积分、原函数及定积分概念，特别是定积分的主要性质两个基本公式：牛顿莱布尼兹公式，变限积分及其导数公式熟记基本积分表，掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分反常积分敛散性概念与计算定积分的应用1 一元函数积分学的基本概念与基本定理1原函数与不定积分的概念及性质：（1）定义若 F（x）的导函数)()(xfxF在某区间上成立，则称F（x）是 f（x）在该区间上的一个原函数：f（x）的全体原函数称为f（x）的不定积分，记为xxfd)(（2）原函数与不定积分的关系若已知 F（x）是 f（x）的一个原函数，则CxFxxf)(d)(其中 C 是任意常数（3）求不定积分与求导是互为逆运算的关系，即xxfxxfxfxxfd)(d)(d)()d)(或CxFxFCxFxxF)()(d)(d)(或其中 C 也是任意常数（4）不定积分的基本性质：)0()(d)(kdxxfkxxkf常数xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(2定积分的概念与性质：（1）定义设max11210iniiiinx，xxxb，xxxxa令，若对任何101,lim()niiiiiixxfx有存在，则称f（x）在 a，b上可积，并称此极限值为f（x）在a，b上的定积分，记为niiibaxfxxf10)(limd)(定积分的值与积分变量的名称无关，即把积分变量x 换为 t 或 u 等其他字母时，有bababauufttfxxfd)(d)(d)(另外，约定baabaaxxfxxf，xxfd)(d)(0d)(李正元高等数学强化讲义23/116（2）可积性条件可积的必要条件：若f（x）在 a，b上可积，则f（x）在 a，b上有界可积函数类（可积的充分但非必要的条件）：1f（x）在 a，b上连续，则f（x）在 a，b上可积；2f（x）在 a，b上有界且仅有有限个间断点，则f（x）在 a，b上可积（3）定积分的几何意义：设 f（x）在 a，b上连续，则baxxfd)(表示界于x 轴、曲线y=f（x）以及直线x=a，x=b之间的平面图形面积的代数和，其中在x 轴上方部分取正号，在x 轴下方部分取负号特别，若f（x）在 a，b上连续且非负，则baxxfd)(表示 x 轴，曲线 y=f（x）以及直线x=a，x=b 围成的曲边梯形的面积（4）定积分有以下性质：1线性性质：若f（x），g（x）在 a，b上可积，且A、B 为两个常数，则Af（x）+Bg（x）也在 a，b上可积，且xxgBxxfAxxBgxAfbababad)(d)(d)()(2对积分区间的可加性：若f（x）在由 a、b、c 三数构成的最大区间上可积，则xxfxxfxxfbccabad)(d)(d)(3改变有限个点上的函数值不改变可积性与积分值4比较性质：若f（x），g（x）在 a，b上可积，且f（x）g（x）在 a，b上成立，则xxgxxfbabad)(d)(进一步又有：若f（x），g（x）在 a，b上连续，且f（x）g（x），f（x）g（x）在 a，b上成立，则xxgxxfbabad)(d)(若 f（x）在 a，b可积，则 f（x）|在a，b可积且xxfxxfbabad|)(|d)(5积分中值定理：若 f（x）在a，b上连续，则存在（a，b），使得()d()()baf xxfba3变限积分，原函数存在定理，牛顿 莱布尼兹公式：（1）变限积分的连续性：若函数f（x）在 a，b上可积，则函数xadttfx)()(在a，b上连续（2）变限积分的可导性，原函数存在定理：若函数f（x）在 a，b上连续，则函数xadttfx)()(就是 f（x）在 a，b上的一个原函数，即，xfx)()(xa，b（3）不定积分与变限积分的关系由原函数存在定理可得若f（x）在 a，b上连续，李正元高等数学强化讲义24/116 则不定积分xxCdttfdxxf0)()(，其中 x0a，b为一个定值，C 为任意常数（4）牛顿莱布尼兹公式：设()f x在,a b上连续，()F x是()f x在,a b上的任一原函数，则)()()()(aFbFabxFdxxfba这个公式又称微积分基本公式推广形式：设函数f（x）在 a，b上连续，F（x）是 f（x）在（a，b）内的一个原函数，又极限 F（a+0）和 F（b0）存在，则)0()0(00)()(aFbFabxFdxxfba（5）初等函数的原函数4周期函数与奇偶函数的积分性质：（1）周期函数的积分性质：设 f（x）在（，+）连续，以T 为周期，则1xxfxxfTTaad)(d)(0（a 为任意实数）2xTttf0d)(为周期以0d)(0Txxf3xxfd)(（即 f（x）的全体原函数）为T 周期的0d)(0Txxf【证明】1 证法 1d()()()0da Taf x dxf aTf aa0()d()d()d.0a Ta TTaaf xxf xxf xxa证法 2aTTaTTaaxxfxxfxxfxxfd)(d)(d)(d)(00，其中00()d()d()()dTaTaaaTTsxTf xxf xTxf s dsf xx代入上式得TaaaTTaxxfxxfxxfxxfxxf0000d)(d)(d)(d)(d)(。（此种证法不必假定f（x）连续，只须假定f（x）在 0，T）可积)2xTxTxTxxttfttfttfttfTttf00000d)(1d)(d)(d)(d)(题为周期以3只须注意xfttfC，ttfxxfxx00)(d)(d)(d)(的一个原函数是例（08，数三，数四）设f（x）是周期为2 的连续函数.（）证明对任意的实数t，有22)()(ttodxxfdxxf；李正元高等数学强化讲义25/116（）证明G（x）=dtdssftfxott2)()(2是周期为2 的周期函数。【分析与证明】（）（它是结论1的特例，a=2，见证明1）（）由题（）的结论，G（x）=xoodssfxdttf2)()(2由于对x，G（x+2）G（x）=xoooxodssfxdttfdssfxdttf222)()(2)()2()(2=22)(2)(2xxodttfdttf=220)(2)(2oodttfdttfG（x）是周期为2 的周期函数（2）奇偶函数的积分性质：设 f（x）在 a，a连续，且为奇函数或偶函数1)(d)(2)(0d)(0为偶函数为奇函数xfxxfxfxxfaaa2令0()()()dt,()()xf xF xf xF xf x为偶函数若为奇函数则为奇函数若为偶函数3若 f（x）为奇函数，则在a，a上 f（x）的全体原函数为偶函数若 f（x）为偶函数，则在a，a上 f（x）只有惟一的一个原函数为奇函数【证明】2设 f（x）为奇函数证法 1 考察xxfxfxFxFxxFxFx(0)()()()()(),()()(则a，a 0)0()(x常数F（x）=F（x）（x a，a），即 F（x）为偶函数证法 2xxx，xFssftsttfttfxF000)(d)(d)(d)()(xa，a），即 F（x）为偶函数（此种证法只须假设f（x）在 a，a可积）3只须注意xCttfdxxf0,d)()(并利用2的结论【例 1】_d)(1arcsin)(xxfC，xdxxxf则【例 2】xxxeef)(，且 f（1）=0，则 f（x）=_【例 3】设 f（x）的导数是sinx，则 f（x）的原函数是 _【例 4】设 f（x）连续，f（x）=x+2xxfd)(10，则 f（x）=_【例 5】下列命题中有一个正确的是_李正元高等数学强化讲义26/116（A）设 f（x）在 a，b可积，f（x）0，0，则baxxfd)(0（B）设 f（x）在 a，b可积，a，b，则.d)(d)(xxfxxfba（C）设)(xf在a，b可积，则f（x）在 a，b可积（D）设 f(x）在 a，b可积，g(x）在 a，b不可积，则f(x）+g(x）在 a，b不可积【分析 1】f（x）在a，b可积，g(x）在 a，b不可积f(x）+g(x）在 a，b不可积反证法若不然，则f(x）+g(x）在 a，b可积，由线性性质g（x）f（x）+g（x）f（x）在 a，b可积，得矛盾，选（D）【分析 2】举例说明（A），（B），（C）不正确由（A）的条件只能得baxxfd)(0如，x0（a，b）00,1,0)(xxxxbaxxff（x）0，0（xa，b），但baxxfd)(=0（A）不正确关于（B），请看右图，由定积分的几何意义知baxxfd)(0，xxfd)(0，（B）不正确这里 ，a，b，但xxfd)(baxxfd)(关于（C），是 f（x）与)(xf的可积性的关系f（x）在 a，b可积)(xf在a，b可积如，x，x，xf为无理数为有理数11)()(xf=1 在a，b可积，但f（x）在 a，b不可积，（C）不正确，因此选（D）【例】判断积分值的大小：222220cosdcosdxxIex xJex x，【例 7】把积分值baxaxabafbfafd)()()()(baxxfd)(baxafd)(按大小排序，其中f（x）在 a，b上满足：)(xf0，)(xf0，)(xf0李正元高等数学强化讲义27/116【例 8】设2sindsin)(xxtttex则（x）（A）为正数（B）为负数（C）为 0（D）不为常数【例 9】设 g（x）=xx，xx，xxfuuf0221)1(3110)1(21)(，d)(若若其中则 g(x）在区间（0，2）内（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续【分析】这是讨论变限积分的性