方向向量与法向量.pptx

lAP直线的方向向量直线的向量式方程 换句话说换句话说,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量一、方向向量与法向量第1页/共49页 1直线的方向向量直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线直线的方向向量是指和这条直线 的向量的向量平行或共线第2页/共49页例1:已知长方体ABCDABCD的棱长AB=2,AD=4,AA=3.建系如图,求下列直线的一个方向向量:(1)AA;(2)BC;(3)AC;(4)DB.ABCDABCD解:A(4,0,3),B(4,2,3),C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0).第3页/共49页第4页/共49页第5页/共49页第6页/共49页例2:已知所有棱长为 的正三棱锥A-BCD,试建立空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量.ABCDEFxyz(O)解:建系如图,则B(0,0,0)、第7页/共49页BEFxyz(O)第8页/共49页2、平面的法向量、平面的法向量AlP平面平面 的向量式方程 换句话说换句话说,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量第9页/共49页 2平面的法向量平面的法向量 直线直线l，取直线，取直线l的的 a，则，则a叫做平面叫做平面的的法向量法向量.方向向量第10页/共49页oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)第11页/共49页如何刻画平面的方向？二、平面的法向量：例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：（1）平面ABCD;(2)平面ACCA;(3)平面ACD.xyzABCDABCD234第12页/共49页xyzABCDABCD234第13页/共49页xyzABCDABCD234第14页/共49页第15页/共49页第16页/共49页第18页/共49页第19页/共49页第20页/共49页第21页/共49页第22页/共49页求平面向量的法向量 第23页/共49页第24页/共49页第25页/共49页第26页/共49页第27页/共49页第28页/共49页 因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系.用向量方法解决立体问题第29页/共49页二、立体几何中的向量方法二、立体几何中的向量方法证明平行与垂直证明平行与垂直第30页/共49页ml（一）（一）.平行关系：平行关系：第31页/共49页第32页/共49页第33页/共49页（二）、垂直关系：（二）、垂直关系：lm第34页/共49页lABC第35页/共49页第36页/共49页四、平行关系：四、平行关系：第37页/共49页五、垂直关系：五、垂直关系：第38页/共49页 例例1 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形,PD 底面底面ABCD，PD=DC=6,E是是PB的的中点，中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：求证：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG 证证 ：如图所示：如图所示,建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系./几何法呢？几何法呢？第39页/共49页 例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD 底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的的中点，中点，(1)求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG法法1 几何法几何法第40页/共49页ABCDP PE EXYZG法法2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG第41页/共49页ABCDP PE EXYZ法法3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：设平面EDB的法向量为第42页/共49页XYZABCDP PE E法法4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：解得解得 x,第43页/共49页A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,1,，CD中点，求证：D1F 例2 2 正方体中，E、F分别平面ADE.证明：设正方体棱长为1，为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以第44页/共49页A1xD1B1ADBCC1yzEF第45页/共49页,E,E是AA1 1中点，例3 3 正方体平面C1 1BD.证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是平面C1 1BD.平面EBDxyz第46页/共49页期中22如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC 的值xyzE第47页/共49页课后作业EABCDF第48页/共49页感谢您的观看！第49页/共49页