高考数学高考试题——数学(湖北卷)(文).pdf

高考数学普通高校招生统一考试（湖北卷）数 学（文史类）注意事项:1.答题前，考试务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用2 B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4.考试结束，请将本试题和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分,共5 0分，在每小题给出的四个选项中，只有,项是符合要求的。1.若向量2=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=A.3 a+bB.3 a-bC.-a+3 bD.a+3 b2.函数2（x e R,且XX）的反函数是1 +2x 2C.=l+2xl-2 x1 +xB.y =2(1-x)(x e H,.目/丰 1)l-2 xl +2 x-x(x e 7?,J L r *-)22(1+x)(x e R,且x *-1)A.y =(x e R,且x *；)D.y =1,23 .sina,是 c o s 2 a =2的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有A.1 2 0 种B.9 6 种C.6 0 种D.4 8 种2 2 25.已知双曲线 的准线经过椭圆?h2=1（b0）的焦点，则6=A.3B.标C.V 3D.416.如图，在三棱柱A B C-A B G中,N A C B=9 0,N A C G=6 0 ,/B C 3=4 5 ,侧棱C3的长为1,则该三棱柱的高等于A.-2C.旦2B 后2D.237.函数y=COS(2X+5)-2 的图像F 按向量a 平移到F。F,的解析式y=f(x),当 y=f(x)为奇函数时,6向量a 可以等于A.C，-2)B.(C.(-,-2)D.(-1,2)6 6 6 68.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4 辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元9.设x e R,记不超过x 的最大整数为x,令 x=x-x ,则 造！,3 上！,2 2 2A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：3 6 J0图I14 9 16图2他们研究过图1 中的1,3,6,1 0,-由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2 中的1,4,9,16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378二.填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。11.已 知(1+ax)3，=i+i0 x+bx3+.+a3x34iJ b=.1 2.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5,则三人都达标的概率是,三人中 至 少 有 一 人 达 标 的 概 率 是。X 11 3.设集合 A=(x l l o g z x V l),B=(X|-1),则 A C|B=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.X+21 4 .过原点。作圆x 2+-6 x 8 y+2 0=0 的两条切线，设切点分别为P、Q,则线段P Q 的长为。1 5.下图是样本容量为2 0 0 的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6,1 0 内 的 频 数 为,数据落在(2,1 0)内的概率约为三、解答题：本大题共6小题，共 乃 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。1 6 .(本小题满分1 2 分)在锐角 A B C 中，a、b、c 分别为角A、B、C所对的边，且J W Z =2 cs i n A(I)确定角C的大小:(H )若 c=S ,且A A B C 的面积为-，求 a+b 的值。21 7 .(本小题满分1 2 分)围建一个面积为3 6 0 m 2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为4 5 元/m,新墙的造价为1 8 0 元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。(I )将 y 表示为x 的函数:(II)试确定X,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。1 8 .(本小题满分1 2 分)如图，四棱锥S=A BCD 的底面是正方形，5 D，平面 A BCD,SD =A D =a，点 E是 S D上的点，且 D E =2 a(0 1,证明对任意的C,都有M 2:(H I)若 M呈K 对任意的b、c 恒成立，试求k的最大值。2009年普通高校招生统一考试湖北卷数 学（文史类）试题参考答案一、选择题.本题考查基础知识和基本运算,每小题5分，满分50分.1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.A 7.D 8.B 9.B 10.C二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小襄5分.满分25分.11.40 12.0.24,0.96 13.x|0 x=6.D2 3 2由余弦定理引+/，-2abeos；=7.BP a2+b2-ah-7.由变形得（a+=3 M +7.将代入得3 +6尸=2 5,故a+b=$.解法2,四同解法1,联立、得j+6-出 =7,o J+b2=13,a=6.I ah=6t治匕并整理津1-1 3/+3 6 =0,解 二4或 二9.所以|2或 什3、故=5.1 7本小时主要考查函数和不等式等基础知识,考查用平均不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力.（满分12分）解：（I）如图，设矩形 的 另边长为am.则 y2-45x-180(x-2)+180 2a=225x+360a-360,_,日 360由已知xa=360,得 a=-,x所以 y=225x+三 J -36 0 a A 0)x(I I)vx 0,.-.2 2 5 x+3-2,2 2 5 x3 6()2 =1 0 8 0 0X36()2y=2 2 5 x+-x-3 6 0 2 1 0 4 4 0.当且仅当2 2 5*=少-时，等号成立.x即当x=2 4 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是1 0 4 4 0 元.1 8.本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。(满分1 2 分)(I )证 发 L 连 接 B D,由底面是正方形可得A C _L B D。：S D_L 平面A B C D,；.B D是 B E 在平面A B C D上的射影,由三垂线定理得A C,B E.(I I)解法 1：S D，平面 A B C D,C D u 平面ABCD,二 S D1 C D.又底面A B C D 是正方形，CD 1 AD,又 S D Pl A D=D,C D_L 平面 S A D。过点D 在平面S A D 内做DF _1 _A E 于 F,连接C F,贝 lJ C F J.A E,故Z C F D是二面角C-A E-D的平面角,即Z C F D=6 0 在 RtZ A DE 中，v A D=a,DE=Aa,A E=a J/!2+1。于是,A D D E AaDF=-=-0 F*丸在 RtA C DF 中，由 cot6 0 -.：C D 7 1rH得/=,即，3 矛+3=3 27 177 T 32 G(0,1 1 B,解得;I二班2BBy退祗加：法力为她 配 物 丽丽 的 方 向 分 蛹 由$h 2视曲!工向4*如图所示的空阿宜角坐标 系.则。(0,0,0),.*0,0,0).B(a,a,O),C(0,a,0),(0,0,),AC=(-a,a,0),BE-(-a,-a.A a)EA=(a,0,-A a).EC=(Q,a,-Aa).:.AC-BE=(-a,a,0)-(-a,-a,Aa)=a2-a2+0/?a=0.即对任意的福京AC A.BE.(H)解法2：反=(0,a,0)为平面的个法向量.设平面dC1的一个法向境为 =(x,y,z),ijn l 4,n L E C,n-4=0,Mn x-A z=0.n C =0.1y-2z=0.取z=l,得”=(/U,l).A cos60=.JL o+1=2|.|ZX|-|l J2不+1由le(0 J,解得/=.1 9.本小题主要考查等差数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力.(满分12分)(I)解 法1：设等差数列 4 的公基为4,则依题设d 0.由生+%=16,得2q 7d=16.由 4 =55,得(4 +2d)(ut+5d)=55.由得2 q=1 6-7 d,将其代入得(16-34)(16 3d)=2 2 0,即 2 5 6-9/=220.0.：%=5,4 =11,d=-=2,%=Q j-2d=5-4=1.故 a.=2 一 .(I I)解 法1:当”=1时，q=豆，:.瓦=2.2当22 时，a“=旦+&+&+线+%,2 2:2J 2T 2a,=旦+%+红+工，1 2 2:2f 2 1两式相减得因此4=仔”71 2 T n2.当 =1 时.$=4=2；当”2 2 时，S.=4+4+4+=2+处 匕)=1-6.1 2:当 二1 时上式也成立.当为正推数时都有S,=2，2-6.解法2:令q 除，则芍q=q+q+q，4“=。+。+q.L两 式 相 诚 得=q“.由(I )得 q=l.at-a=2.A c,=2 ,q=2(2 2).即皆2 2 时，=2 .乂当=1 时，b,=2a,=2,于是 S.=4 +f t,+6,+-+6,=2 +23+24+-+2M=2 +2?+2,+2,+2 -4 =%；J=2，3-6.即 S.=2 “-6.2 0.本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考杳综合运用数学知识进行推理运算的能力.（满 分 1 3 分）(I )证法1：由抛物线的定义得NFNN.：.4 M F M、=Z.MM.F.N F N、=ZWtF.如图，设准线/与x 轴的交点为月.V MM,N N、/FF,:.ZF、FM=A M M,F ,F、FN、=4 乂 尸.而/巴凡+Z A/E W,+NFFN、+=1 8 0 .即 2 N R F M +22式 广 砥=1 80,:WM+N，Y =9 0，即 Z.V./W,=9 0 .极 FM1 FN.证法 2,依 题 或 焦 点 为%,。），准线 的方程为设点M,N 的坐标分别为”（占，乂）,M x*），直线M V 的方程为x=my+,则有M（-与，乂），多 为），FM（-，小 产（-p,力）P由 彳 2 得y?_2mpy_ p?=0.y2=2px,于是，y,+y2=2mp.y,y2=-p2.：.F M；闻=p、“y：=/_ p?=0.故 F M J F N s”4 s H成立,证明如下：证 法1：设（士，力），则由抛物线的定义得lMM,=lMFl=x,+,|M V/=|Nf|=x：+合.于是S总印川=轴+9 1%1，S 2=9%M I I*卜 p i n-必|,吊=；八叱卜1耳乂1=；(/+9|必1v s；=4SR o g P I 乂 -必|尸=4 X +=；pl(yi+%-4帅=区七+(x,+士)+依 必必|.J)lytl-(*2+y)l2lx,=my、+g+必=2%，将 2与必力夕，代入上式化荷可得x=m v +P I WL P.A2 2 十 2，p2（m2pi+pJ）=pi（mlp1+pl）,此式恒成立.故S；=4 S 成立.证 法2：如图，设直线A W的倾角为a.|A/F|=4，|ArF|=A,则由抛物线的定义得|MA，且MF=rt,|N N B N F =：M M、/N N、/FF、,:./FM M =a,FN N=it-a.于是 S=；/s in a ,sin(K-a)=则 fx =-x1-2x+3=(x+3 Xx-1).当x 变化时，.x),/(x)的变化情况如卜表：XS-3)-3(-3.1)1(1.+)fix)一0+0/(X)极小值-1 2Z极大值-gXA.当x=l时，(x)有 极 大 值故b=7,c=3 即为所求.(II)证法 I:x(x)=(x)|=|-(x-h)2+b2+.当例 I时，曲数y=f(x)的对称轴*=b位厂区间-1,1 之外.J.f(x)在卜I.1 上的G值在两端点处取得.故M应是g(-l)和g(l)中较大的一个.:.2 A/Ng(l)+g(-l)=|-l+2 b +c|+|-l-2 b +c曰4 6|4 .H PM 2.证法2(反证法)：因为川 1,所以函数y=/(x)的对称轴x=b 位于区间-1,I 之外./(X)在-1,I)上的最值在两端点处取得.故M应是g(-1)和g 中较大的一个.假设A/S 2,则g(7)=T _2 2 +c|s 2.g =|-1 +2 6 +c|4 2.将上述两式相加得；4|-l-2 f t+c|+|-l+2 6 +c|2:4|Z|4 ,导 致 矛 盾.M2.(ni)解法 1：g(x)=1/xx)!=|-(x-z):+c|.(I)当网1 时，由(H)可知例 2：(2)当四小时，函数y=/(x)的时称轴x=b 位于区间-1,1)内，数学(文史类)试题答案第6页(共 7页)此 时 V L 腌 混 现 必 世 以 哲)由/*(!)-/(-1)=48，有 fb)-/(l)=S 钊 2 0.若-1 4 6 4 0,则/4/(-l)4/(b),.g(-l)Sm axg，g(6),于是A/=max|八 味|八 那 2 沙|+，(帅 2八 D-/|=-以 2；.若0 综上t对任意的6、c 都有 2；.而当Z =O,c=g 时，g(x)=-+；在区间-1,1 上的最大值M=g 故”“对 任 意 的 一 恒 成 立 的”的 最 大 值 吗.解法 2：g(x)-|/(x)|=|-(x*+b2+r.(I)当网1时，由(H)可知M 2；(2)当 宸 I 时，函 数 /(x)的对称轴x=6 位于区间-L I 内,此时 M=maxg(-l),g(l),g(6).斗l-2 b +c+(-l+2b+c)-2(V+c)|=W?+2|2 2,即M 22卜同解法I.