弹性力学第二章 张量基础知识PPT讲稿.ppt

弹性力学第二章 张量基础知识第1页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量2-1坐标系和矢量坐标系和矢量如图如图2.12.1，三维空间直角坐标系，三维空间直角坐标系Oxyz,Oxyz,张量张量:简洁、统一、物理意义明确、与坐标系的选择无关简洁、统一、物理意义明确、与坐标系的选择无关P P点坐标（点坐标（x,y,z)x,y,z)P P点坐标可记为：点坐标可记为：正方向的单位基矢量正方向的单位基矢量(2.1)(2.1)第2页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量P P点坐标为：点坐标为：(2.2)(2.2)如图如图2.1,2.1,原点原点O O到到P P点的矢量点的矢量 为为P P点的矢径点的矢径,用用r r表示表示第3页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量显然，指标显然，指标 i,j,k i,j,k 与求和无关，可用任意字母代替。与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入为简化表达式，引入EinsteinEinstein求和约定求和约定：每逢某个指标在：每逢某个指标在一项中一项中重复一次重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数，就表示对该指标求和，指标取遍正数1 1，2 2，n n。这样重复的指标称为。这样重复的指标称为哑标哑标。于是于是n n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3n=3。例题例题A:A:求和约定、哑指标求和约定、哑指标第4页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量双重求和双重求和展开式（展开式（9项）项）三重求和（三重求和（27项）项）第5页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量是违约的，求和时要保留求和号是违约的，求和时要保留求和号B:B:自由指标自由指标例如例如指标指标 i i 在方程的各项中只在方程的各项中只出现一次出现一次，称之为，称之为自由指标自由指标。一个自由指标每次可取整数一个自由指标每次可取整数1,2,3,n1,2,3,n，与哑标一样，与哑标一样，无特别说明总取无特别说明总取n=3n=3。于是，上式表示。于是，上式表示3 3个方程的缩写：个方程的缩写：第6页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量i 为自由指标，为自由指标，j 为哑标为哑标表示表示第7页，共72页，编辑于2022年，星期六i，j为自由指标，为自由指标，k 为哑标为哑标表示表示9个方程：个方程：第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量第8页，共72页，编辑于2022年，星期六C:Kronecker delta符号符号在卡氏直角坐标系下，在卡氏直角坐标系下，Kronecker delta Kronecker delta 符号定义为：符号定义为：其中其中 i i，j j 为自由指标，取遍为自由指标，取遍1 1，2 2，3 3；因此，可确定一单位矩；因此，可确定一单位矩阵：阵：第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量第9页，共72页，编辑于2022年，星期六若若是相互垂直的单位矢量，则是相互垂直的单位矢量，则，但，但而而，故，故第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量(2.3)(2.3)的作用：的作用：1）换指标；）换指标；2）选择求和。）选择求和。例：例：注意：注意：是一个数值，即是一个数值，即第10页，共72页，编辑于2022年，星期六例例例例个数，个数，项的和。项的和。求求特别地，特别地，第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量第11页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量任意两矢量任意两矢量a和和 b的点积的点积矢量矢量a的模的模(2.4)(2.4)两矢量两矢量a和和 b用正交基用正交基 表示表示,则其点积为则其点积为第12页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量D:置换符号置换符号 Permutation symboli,j,k为顺序排列为顺序排列i,j,k有两个相等有两个相等例如：例如：i,j,k为逆序排列为逆序排列(2.5)(2.5)可见：可见：也称为三维空间的排列符号。也称为三维空间的排列符号。第13页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量任意两矢量任意两矢量a和和 b的叉积的叉积由叉积定义由叉积定义,若若是直角坐标系的单位基矢量是直角坐标系的单位基矢量则则(2.6)(2.6)(2.8a)(2.8a)(2.7)(2.7)abab第14页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量式式(2.8a)(2.8a)可写为可写为(2.(2.b)b)三矢量三矢量a,b,ca,b,c的混合积的混合积(2.9)(2.9)a,b,ca,b,c为共点棱的平行六面体的体积，为共点棱的平行六面体的体积，a,b,ca,b,c构成右手系为正构成右手系为正第15页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量:Kronecker delta符号与置换符号符号与置换符号 Permutation symbol的关系的关系(2.10)(2.10)证明证明 (1).(1).i,j,k有两个相同时，上式成立，同理，有两个相同时，上式成立，同理，l,m,n有有两个相同时，上式也成立两个相同时，上式也成立(2).(2).不同时不同时,由由下式交换行下式交换行(a)(a)第16页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量(b)(b)(3).(3).同理同理,由由(b)(b)式交换列可得到式交换列可得到(2.10)(2.10)式式从从(2.10)(2.10)式可得到下面几个有用的恒等式式可得到下面几个有用的恒等式第17页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量即即(2.11)(2.11)第18页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量(2.12)(2.12)(2.13)(2.13)二重叉积二重叉积即即(2.14)(2.14)第19页，共72页，编辑于2022年，星期六F:坐标变换坐标变换旧坐标系：旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：新旧基矢量夹角的方向余弦：单位基矢量：单位基矢量：新坐标系：新坐标系：单位基矢量：单位基矢量：旧新第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量(2.15)(2.15)第20页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量 新旧(2.16)(2.16)变换系数变换系数第21页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-1坐标系和矢量坐标系和矢量即即(2.17)(2.17)任一矢量任一矢量u在新旧坐标中表示一致在新旧坐标中表示一致利用利用(2.15)则则即即(2.18)(2.18)矢量矢量u本身与坐标无关本身与坐标无关,矢量的分量矢量的分量ui随坐标系而变随坐标系而变第22页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-2张量的定义张量的定义2-2张量的定义张量的定义推广矢量的概念推广矢量的概念若在空间任一组基若在空间任一组基 下下,有用有用n个指标编号的个指标编号的 个数个数当基矢量按当基矢量按 变换成变换成 时时,个数个数 按如按如下规律变换下规律变换张量的定义张量的定义(2.19)(2.19)为对应基下的张量分量为对应基下的张量分量,有时称有时称 为为n阶张量阶张量.个数个数 的有序集合为一个的有序集合为一个n阶张量阶张量.称称第23页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-2张量的定义张量的定义标量标量 零阶张量，不随坐标变换而变的不变量零阶张量，不随坐标变换而变的不变量矢量矢量 一阶张量，一个矢量的某一分量不是标量，它一阶张量，一个矢量的某一分量不是标量，它 随坐标系的变化而变化随坐标系的变化而变化矢量的三种记法：矢量的三种记法：不变性记法如不变性记法如T；基矢量的线性组合法；基矢量的线性组合法；用矢量分量表示即并矢记法。用矢量分量表示即并矢记法。一个一个n阶张量的并矢记法：阶张量的并矢记法：(2.20)(2.20)n n个基矢量并写在一起，称为基张量个基矢量并写在一起，称为基张量其有其有 基张量基张量.第24页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-2张量的定义张量的定义二阶张量二阶张量T第25页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-2张量的定义张量的定义二阶的基张量共二阶的基张量共9 9个个张量的另一个定义张量的另一个定义在某一坐标系中在某一坐标系中,某一个量某一个量T T可表示成式可表示成式(2.20)(2.20)的形式的形式,则则T T是一个是一个n n阶张量阶张量.(2.20)(2.20)第26页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-2张量的定义张量的定义在一个坐标系中在一个坐标系中,某一张量的所有分量为零某一张量的所有分量为零,按定义按定义(2.19),(2.19),则在其它坐标系中的所有分量也为零则在其它坐标系中的所有分量也为零,这个张量为这个张量为零张量零张量,O,O例例:证明证明 是一个三阶张量是一个三阶张量(置换张量置换张量)满足变换规律满足变换规律(2.19),(2.19),即即是一个三阶张量是一个三阶张量例例:和和 是两个任意矢量是两个任意矢量,是标量是标量.证明证明 是一个二阶张量是一个二阶张量证证:和和 是任意的是任意的,得证二阶张量得证二阶张量第27页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-3张量代数张量代数2-3张量代数张量代数A:A:张量的线性组合张量的线性组合同阶张量可进行线性组合运算同阶张量可进行线性组合运算,结果仍为同阶张量结果仍为同阶张量A,BA,B是二阶张量是二阶张量,和和是标量是标量,则则(2.21)(2.21)交换律交换律:A+B=B+A:A+B=B+A结合律结合律:A+B+C=A+(B+C),(:A+B+C=A+(B+C),()A=)A=(A)分配律分配律:(:(+)A=)A=A+A+A A(A+B)=(A+B)=A+A+B B第28页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-3张量代数张量代数B:B:张量的缩并张量的缩并在张量的并矢记法中在张量的并矢记法中,对某两个基矢量进行点积对某两个基矢量进行点积,则原张则原张量降低两阶成为一个新的张量量降低两阶成为一个新的张量,如如(2.22)(2.22)证明证明是二阶张量是二阶张量第29页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-3张量代数张量代数C:C:张量的并积张量的并积张量积张量积 两个张量的并积两个张量的并积(2.23)(2.23)n n阶张量阶张量A A与与p p阶张量阶张量B B的并积为的并积为C,C,则则C C定义为定义为C C是是(n+p)(n+p)阶张量阶张量一般情况下一般情况下,第30页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-3张量代数张量代数D:D:张量的点积张量的点积张量点积张量点积 两个张量的点积是先并再缩两个张量的点积是先并再缩,如如(2.24)(2.24)双点积双点积 两个张量的点积是先并再缩二次两个张量的点积是先并再缩二次(2.25)(2.25)第31页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-3张量代数张量代数E:E:张量的叉积张量的叉积张量叉积是矢量叉积的推广张量叉积是矢量叉积的推广,如如(2.26)(2.26)两个二阶张量两个二阶张量的叉积的叉积第32页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-3张量代数张量代数F:F:张量的商法则张量的商法则设有设有 个数个数 ,对任意对任意q q阶张量阶张量 ,按下式计算总得一个按下式计算总得一个p p阶张量阶张量,则则 必为一个必为一个(p+q)(p+q)阶张量阶张量证证:为简单为简单,取取p=q=2p=q=2因因C,BC,B为张量为张量,故故(a)(a)(b)(b)(c)(c)第33页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-3张量代数张量代数则则四阶张量四阶张量结论结论:设有设有 个数个数 ,对任意对任意m m阶张量阶张量 ,定义定义若若为为n+mn+m阶张量阶张量,则则 必为必为n n阶张量阶张量第34页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-4二阶张量二阶张量2-4二阶张量二阶张量二阶张量二阶张量T T 仿射量仿射量,线性变换线性变换v,uv,u为矢量为矢量,用矩阵表示则用矩阵表示则A,BA,B为二阶张量则为二阶张量则A:A:二阶张量的矩阵表示二阶张量的矩阵表示(2.27)(2.27)(2.28)(2.28)第35页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-4二阶张量二阶张量B:B:二阶张量的行列式二阶张量的行列式(2.29)(2.29)二阶张量的行列式与坐标无关二阶张量的行列式与坐标无关,是是不变量不变量.与单位矩阵与单位矩阵II对应的张量叫对应的张量叫单位张量单位张量I I单位张量单位张量I I与除标量外的任意张量与除标量外的任意张量B B的点积仍为的点积仍为B B单位矩阵单位矩阵II(2.30)(2.30)第36页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-4二阶张量二阶张量C:C:二阶张量的逆与转置二阶张量的逆与转置若若T,T,对对B B有有:TB=BT=I,:TB=BT=I,则则T T可逆可逆,B=T,B=T-1-1为为逆张量逆张量充要条件充要条件:T:T的行列式不为零的行列式不为零对对定义定义B B为为A A的的转置张量转置张量转置张量的运算性质转置张量的运算性质:A,B:A,B是二阶张量是二阶张量,u,v,u,v是任意矢量是任意矢量(2.31)(2.31)(2.32)(2.32)(2.33)(2.33)第37页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-4二阶张量二阶张量逆张量运算性质逆张量运算性质:A,B:A,B是二阶张量是二阶张量(2.35)(2.35)(2.34)(2.34)(2.36)(2.36)(2.37)(2.37)D:D:二阶张量的对称与反对称二阶张量的对称与反对称若若则则A A是是对称二阶张量对称二阶张量若若即即 则则A A是是反对称二阶张量反对称二阶张量任意一个二阶张量任意一个二阶张量T T可表示成一个对称张量可表示成一个对称张量S S和一个反对称张和一个反对称张量量W W之和之和(2.38)(2.38)(张量的加法分解张量的加法分解)第38页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-4二阶张量二阶张量(2.39)(2.39)(2.40)(2.40)对任一反对称张量对任一反对称张量W,W,必存在唯一一个矢量必存在唯一一个矢量,使得使得(2.41)(2.41)对任意矢量对任意矢量v v成立成立因因式式(2.41)(2.41)成立成立为对应于反对称张量为对应于反对称张量W W的轴向矢量的轴向矢量.第39页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-4二阶张量二阶张量(2.42)(2.42)V V任意任意,则则上式乘上式乘e enij nij,则利用等式则利用等式(2.12)(2.12)即即(2.43)(2.43)上二式说明反对称张量和其轴向矢量是一一对应的上二式说明反对称张量和其轴向矢量是一一对应的(2.12)(2.12)第40页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示某二阶对称张量某二阶对称张量S,S,若存在一个数若存在一个数和单位矢量和单位矢量a,a,使得使得(2.44a)(2.44a)成立成立,则则为张量为张量S S的的特征值特征值(主值主值),),a a为张量为张量S S对应特征值对应特征值的的特征矢量特征矢量(主方向主方向).).根据商法则根据商法则,为标量为标量.单位矢量单位矢量a(2.44b)(2.44b)(2.45)(2.45)(2.46a)(2.46a)展开展开第41页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示其中其中(2.46b)(2.46b)(2.47)(2.47)分别为分别为S S的第一、第二和第三不变量的第一、第二和第三不变量张量张量S S的迹的迹式式(2.46)(2.46)为为S S的的特征方程特征方程上式展开与上式展开与(2.46b)(2.46b)比较比较第42页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示(2.48)(2.48)式式(2.46)(2.46)求出特征值，利用（求出特征值，利用（2.45)2.45)和（和（2.44b)2.44b)求出特征求出特征矢量矢量特征值和特征矢量的性质特征值和特征矢量的性质1.1.互不相等的特征值对应的特征矢量相互垂直互不相等的特征值对应的特征矢量相互垂直2.2.三个特征值都是实数三个特征值都是实数证性质证性质1.1.特征值对应特征矢量特征值对应特征矢量a a和和b b(2.44a)(2.44a)第43页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示证性质证性质2.2.是是S S的任一特征值，对应特征矢量的任一特征值，对应特征矢量a a共轭复数共轭复数为实数为实数规定规定张量张量S S的谱的谱第44页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示谱定理：谱定理：设设S S是一个对称二阶张量是一个对称二阶张量,则必定存在由其特征矢量构则必定存在由其特征矢量构成的一组单位正交基成的一组单位正交基 ,和和e ei对应的特征值对应的特征值 构成构成S S的谱的谱,且有且有(2.49)(2.49)反之反之,如果如果S S具有具有(2.49)(2.49)的形式的形式,且且e e1、e e2和和e e3是相互正是相互正交的单位矢量交的单位矢量,则则 和和e ei分别是分别是S S的特征值和对应的的特征值和对应的特征矢量特征矢量证证(1)(1)，三个特征值互不相等，三个特征值互不相等，对应的对应的e ei互相垂直互相垂直以以e ei为基矢量，则为基矢量，则第45页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示则则谱分解式（谱分解式（2.492.49）成立）成立(2),(2),二个特征值相等二个特征值相等,另一个不同，设另一个不同，设取取则则是相互垂直的右手系是相互垂直的右手系解上两式得解上两式得由由(2.48),(2.47)(2.48),(2.47)第46页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示得得则则(2.50)(2.50)由由得得e e3也是对应于也是对应于2的特征向量的特征向量设设则则和和e e1垂直的任何方向都是垂直的任何方向都是S S的对应于的对应于2的主方向的主方向.e.e2可取与可取与e e1垂直的任一单位矢量垂直的任一单位矢量(3),(3),三个特征值相等三个特征值相等第47页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示(3),(3),三个特征值相等三个特征值相等取取e e1与与1对应对应,取与取与e e1垂直的垂直的e e2,再取再取e e3=e=e1ee2则则是相互垂直的右手系是相互垂直的右手系解得解得由由(2.48),(2.47)(2.48),(2.47)解上两式得解上两式得得得显然显然(2.51)(2.51)第48页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示即即 都是都是S S的特征矢量的特征矢量设任一矢量设任一矢量有有这表明任一方向都是这表明任一方向都是S S的主方向的主方向.任取三个相互垂直的任取三个相互垂直的单位矢量单位矢量 作为基矢量作为基矢量,式式(2.49)(2.49)成立成立第49页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示重要结论：重要结论：证证:由由n n得得基矢量基矢量(c)(c)(d)(d)由由(c)(c)和和(d),(d),去去n n1得得设设S S是二阶对称张量是二阶对称张量,是是S S的谱的谱,是和是和谱对应的三个相互正交的特征矢量谱对应的三个相互正交的特征矢量,n,n是任意单位矢量是任意单位矢量,则函数则函数 的最小值为的最小值为 ,且且 ,f(n),f(n)的最大值为的最大值为 ,且且 .第50页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示对称二阶张量的谱表示(e)(e)(f)(f)由由(e)(e)得得f f取最大值取最大值由由(f)(f)得得f f取最小值取最小值由由(c)(c)和和(d),(d),去去n n3得得第51页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-6张量分析张量分析2-6张量分析张量分析A:A:标量的矢量函数标量的矢量函数一个张量一个张量F F依赖于另一张量依赖于另一张量T T而变化而变化矢量矢量u u是是t t的函数的函数,ui i也是也是t t的函数的函数,如如ui可导可导,则矢量则矢量u u对对t t的的导数为导数为:(2.53)(2.53)(2.52b)(2.52b)第52页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-6张量分析张量分析B:B:矢量的标量函数矢量的标量函数标量标量f f是矢量是矢量u u的函数即的函数即若若f f可连续偏导可连续偏导,则则(2.54)(2.54)f f对对u u的导数是一个矢量的导数是一个矢量(2.55)(2.55)第53页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-6张量分析张量分析C:C:矢量的矢量函数矢量的矢量函数矢量矢量u u是矢量是矢量v v的函数即的函数即若若ui的偏导连续的偏导连续.则则(2.56a)(2.56a)(2.56b)(2.56b)(2.57)(2.57)称为称为u u对对v v的导数的导数,是一个二阶张量是一个二阶张量第54页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-6张量分析张量分析若标量若标量f f是二阶张量是二阶张量T Tij的函数的函数,即即D:D:二阶张量的标量函数二阶张量的标量函数若若f f对二阶张量对二阶张量T Tij的偏导连续的偏导连续,则则(2.58)(2.58)(2.59)(2.59)f相对于相对于T T的导数的导数,二阶张量二阶张量第55页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-6张量分析张量分析(2.60)(2.60)若若 是定义在空间区域的张量是定义在空间区域的张量,是一个张量场是一个张量场,则则则则 对坐标的一阶偏导数和二阶偏导数记为对坐标的一阶偏导数和二阶偏导数记为(二阶张量二阶张量)则则 的导数和微分记为的导数和微分记为(2.61)(2.61)(2.62)(2.62)第56页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-6张量分析张量分析E:E:梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度HamiltonHamilton 算子算子(2.63)(2.63)则则 的导数和微分改写为的导数和微分改写为(2.64)(2.64)(2.65)(2.65)右梯度右梯度同样定义同样定义左梯度左梯度(2.66)(2.66)第57页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-6张量分析张量分析显然显然(2.67)(2.67)若若 是一个标量是一个标量(2.68)(2.68)标量场的梯度标量场的梯度若若 是一个矢量是一个矢量是二个二阶张量，是二个二阶张量，若若 是一个二阶张量是一个二阶张量第58页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-6张量分析张量分析若若 是一个矢量，其是一个矢量，其div div 散度定义为散度定义为(2.69)(2.69)矢量的散度为一标量场矢量的散度为一标量场若若 是一个二阶张量，是一个二阶张量，其其左右散度左右散度分别定义为分别定义为二阶张量的左右散度为矢量二阶张量的左右散度为矢量若若 是一个二阶对称张量，是一个二阶对称张量，第59页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-6张量分析张量分析矢量矢量u u的的旋度旋度定义定义设设u u是矢量场是矢量场,(2.70)(2.70)是反对称张量是反对称张量则则w w的轴向矢量为的轴向矢量为第60页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-6张量分析张量分析LaplaceLaplace算子算子(2.71)(2.71)(2.72)(2.72)对一个对一个n n阶张量阶张量对一个标量对一个标量(2.73)(2.73)若若则则是是调和函数调和函数第61页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-7积分定理积分定理2-7积分定理积分定理在数学分析中在数学分析中,存在如下等式存在如下等式(2.74)(2.74)式中式中,V,V表示空间的某一区域表示空间的某一区域,S,S这一区域的表面这一区域的表面,n=,n=nie ei是是S S的外法线单位矢量的外法线单位矢量,是是V V中具有连续偏导的场函数中具有连续偏导的场函数例例:矢量矢量令令(2.75)(2.75)令上式的令上式的i=j,i=j,得高奥公式得高奥公式(2.76)(2.76)第62页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-7积分定理积分定理例例:二阶张量二阶张量令令(2.77)(2.77)规律规律:面积分中的被积函数有因子面积分中的被积函数有因子ni,去掉去掉ni,被积函数的其被积函数的其余部分对余部分对xi求偏导就得体积分中的被积分中函数求偏导就得体积分中的被积分中函数例例:(2.78)(2.78)V V表示空间的某一区域表示空间的某一区域,S,S这一区域的表面这一区域的表面,n=,n=nie ei是是S S的外的外法线单位矢量法线单位矢量,是是V V中任意阶的光滑张量场中任意阶的光滑张量场“。”表示并积、点积、叉积等任何一种运算，则表示并积、点积、叉积等任何一种运算，则第63页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-7积分定理积分定理(2.79)(2.79)(2.80)(2.80)例例:二阶张量二阶张量令令“。”取点积取点积(2.79)(2.79)为为(2.77)(2.77)直接记法直接记法以上积分对二维情况也成立以上积分对二维情况也成立定理定理是定义在区域是定义在区域V V中的一个连续函数，中的一个连续函数，D D是是V V的任的任意一个子区域，下式成立的充要条件是意一个子区域，下式成立的充要条件是第64页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-7积分定理积分定理定理定理是定义在区域是定义在区域V V中的一个连续函数，中的一个连续函数，D D是是V V的任的任意一个子区域，下式成立的充要条件是意一个子区域，下式成立的充要条件是证：充分性显然，证：充分性显然，上式成立上式成立必要性，反证法，在必要性，反证法，在V V中中P P点处点处因连续，在因连续，在P P点的某全邻域点的某全邻域D D内有内有 则则与假设矛盾，证毕与假设矛盾，证毕一般结论一般结论是定义在区域是定义在区域V V中的任意阶张量，其每个分量都在中的任意阶张量，其每个分量都在V V中连续，中连续，D D是是V V的任意子区域，则的任意子区域，则成立的充要条件是成立的充要条件是第65页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-7积分定理积分定理斯托克司公式斯托克司公式光滑曲面光滑曲面S S的边界为分段光滑曲线的边界为分段光滑曲线c c，矢量，矢量uiui在在S S和和c c上有连续的偏导数上有连续的偏导数 ，则有，则有(2.81)(2.81)n n为曲面为曲面S S指向某侧的单位法向量指向某侧的单位法向量,线积分的正向和线积分的正向和n n服从右服从右手系法则手系法则定理定理:矢量矢量 定义在单连通区域定义在单连通区域D D内内,连续连续,L L是是D D内连接内连接P P0和和P P的任意曲线的任意曲线,曲线积分曲线积分和积分路径无关和积分路径无关(只依赖曲线的起点只依赖曲线的起点P P0和终点和终点P)P)的充要的充要条件是条件是 即即 ,或或第66页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-7积分定理积分定理(a)(a)证证:如图如图,只要证明只要证明 是下式成立的充要条件是下式成立的充要条件或或用用S S表示以表示以l l和和l l1为边界的任意光滑曲面为边界的任意光滑曲面,由由StokesStokes公司公司(b)(b)是式是式(a)(a)成立的充分条件成立的充分条件必要条件必要条件,设设dxdx3=0,S=0,S是法向为是法向为e e3的平面区域的平面区域同理同理,必有必有第67页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识2-7积分定理积分定理定理定理:张量场张量场 定义在单连通区域定义在单连通区域D D内内,连续连续,L L是是D D内连接内连接P P0和和P P的任意曲线的任意曲线,曲线积分曲线积分和积分路径无关的充要条件是和积分路径无关的充要条件是 第68页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识 本章小结本章小结本章小结本章小结第69页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识 本章习题本章习题第70页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识 本章习题本章习题第71页，共72页，编辑于2022年，星期六第二章第二章 张量基础知识张量基础知识 本章习题本章习题第72页，共72页，编辑于2022年，星期六