理论力学课件第一篇静力学第三章 平面任意力系x.ppt

理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 第三章第三章 平面任意力系平面任意力系第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程第五节第五节 静定与超静定问题静定与超静定问题 物体系统的平衡物体系统的平衡 第一节第一节 力的平移定理力的平移定理理论力学电子教程理论力学电子教程第一节 力的平移定理第一节第一节 力的平移定理力的平移定理理论力学电子教程理论力学电子教程定理定理：作用在刚体上某点的力 F，可以平行移动到刚体 上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。证明：证明：如下图所示：(a)ABdFABdFF”(b)图力线平移定理的证明BdAM=Fd(c)理论力学电子教程理论力学电子教程 可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换 如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心（球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与球相切“削球”，则球将产生平动和转动。cFcFcm图3-2(a)(b)理论力学电子教程理论力学电子教程工程上有时也将力平行移工程上有时也将力平行移动，以便了解其效应。动，以便了解其效应。例如，作用于立柱上例如，作用于立柱上A点点的偏心力的偏心力F，可平移至立柱轴，可平移至立柱轴线上成为线上成为F，并附加一力偶矩并附加一力偶矩为为M=Mo(F)的力偶，这样并不的力偶，这样并不改变力改变力F的总效应，但却容易的总效应，但却容易看出，轴向力看出，轴向力F将使立柱压缩，将使立柱压缩，而力偶矩而力偶矩M将使短柱弯曲。将使短柱弯曲。图图3-23-2立柱立柱第一节第一节 力的平移定理力的平移定理理论力学电子教程理论力学电子教程 注意：注意：一般说来，在研究变形问题时，力是不能一般说来，在研究变形问题时，力是不能 移动的。移动的。思考思考：图图3-3所示的梁所示的梁A端受一力端受一力，如将，如将平行平行移动至移动至O点成为点成为F并附加一力偶矩并附加一力偶矩M，其变形效果将如何其变形效果将如何？图图3-33-3 悬臂梁悬臂梁 第一节第一节 力的平移定理力的平移定理理论力学电子教程理论力学电子教程第二节 平面任意力系的简化 第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 各力作用线位于同一平面内但不全汇交于一点、也各力作用线位于同一平面内但不全汇交于一点、也不全相互平行，则该力系称为不全相互平行，则该力系称为平面任意力系平面任意力系，简称，简称平面平面力系。力系。例如，厂房建筑中常采用刚架结构，取其中一个刚架例如，厂房建筑中常采用刚架结构，取其中一个刚架来考察来考察,如如图图a所示所示，作用于其上的力可简化为图，作用于其上的力可简化为图b所示的所示的平面力系。平面力系。理论力学电子教程理论力学电子教程如如如如水利工程上常见的重力坝，如图水利工程上常见的重力坝，如图a所示。在对其进行所示。在对其进行力学分析时，往往取单位长度（如）的坝段来考察，而力学分析时，往往取单位长度（如）的坝段来考察，而将坝段所受的力简化成为作用于坝段中央平面内的平面力系，将坝段所受的力简化成为作用于坝段中央平面内的平面力系，如图如图b所示。所示。第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 有些空间力系的有些空间力系的有些空间力系的有些空间力系的问题，可近似地简化为平面力系问问题，可近似地简化为平面力系问题来分析计算。题来分析计算。理论力学电子教程理论力学电子教程F1F2Fn 设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2、Fn，如图所示。显然无法象平面汇交力系那样，用力的平行四边形法则来合成它。一、平面任意力系的简化一、平面任意力系的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程平面一般力系平面力偶系平面汇交力系向一点简化合成合成F（合力）Mo（合力偶）应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的某一点o（称为简化中心）平移，再将所得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成。过程为：理论力学电子教程理论力学电子教程图 平面一般力系的简化（a)od1d2dn(b)o(c)oyxMo(d)理论力学电子教程理论力学电子教程根据汇交力系合成的理论，根据汇交力系合成的理论，应等于所有汇交力的应等于所有汇交力的矢量和，即矢量和，即亦即亦即 根据力偶系合成的理论根据力偶系合成的理论，应等于各附加力偶矩的应等于各附加力偶矩的代数和，又等于原力系各力对点代数和，又等于原力系各力对点O 的矩的代数和，的矩的代数和，第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 即即:理论力学电子教程理论力学电子教程矢量矢量 称为原力系的称为原力系的主矢量主矢量，力偶，力偶 称为原力系对于简化中心称为原力系对于简化中心的的主矩主矩。如果选取不同的简化中心，如果选取不同的简化中心，主矢量并不改变，即主矢量并不改变，即与简化中心的位置无关。但与简化中心的位置无关。但主矩一般将随简化中心位主矩一般将随简化中心位置不同而改变。置不同而改变。可见，可见，平面任意力系向所在平面内一点（简化中心）平面任意力系向所在平面内一点（简化中心）简化的一般结果是一个力和一个力偶，这个力作用于简简化的一般结果是一个力和一个力偶，这个力作用于简化中心，等于原力系中所有各力的矢量和，亦即等于原化中心，等于原力系中所有各力的矢量和，亦即等于原力系的主矢量；这个力偶在原力系所在平面内，其矩等力系的主矢量；这个力偶在原力系所在平面内，其矩等于原力系中所有各力对于简化中心的矩的代数和，亦即于原力系中所有各力对于简化中心的矩的代数和，亦即等于原力系对于简化中心的主矩。等于原力系对于简化中心的主矩。第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程平面一般力系的三种简化结果平面一般力系的三种简化结果1.1.力系简化为力偶力系简化为力偶力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。FFFABC例例理论力学电子教程理论力学电子教程2.力系简化为合力力系简化为合力 FR 就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。力系仍可简化为一个合力，但合力的作用点不通过简化中心。（1）（2）力系简化为合力Moo()(c)od(b)odFRFRFRFRFR理论力学电子教程理论力学电子教程3.力系平衡力系平衡是平面一般力系平衡的充分和必要条件。理论力学电子教程理论力学电子教程第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 平面力系的合力矩定理：平面力系的合力矩定理：若平面任意力系简化若平面任意力系简化成为一个合力，则合力对于该力系平面内任一成为一个合力，则合力对于该力系平面内任一点的矩等于各分力对于同一点的矩的代数和。点的矩等于各分力对于同一点的矩的代数和。理论力学电子教程理论力学电子教程例题3-1 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。F1F2F3F4OABCxy2m3m3060理论力学电子教程理论力学电子教程求向求向O点简化结果点简化结果解：建立如图坐标系Oxy。所以，主矢的大小1.求主矢 。F1F2F3F4OABCxy2m3m3060理论力学电子教程理论力学电子教程2.求主矩MO由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。主矢的方向：合力FR到O点的距离yFROABCxMOdMO理论力学电子教程理论力学电子教程三、三、平面任意力系简化结果的解析计算平面任意力系简化结果的解析计算 过简化中心过简化中心O作直角作直角坐标系坐标系Oxy。由于由于所以，可得：所以，可得：第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程主矢量主矢量的大小及方向余弦为：的大小及方向余弦为：主矩，可直接用下式计算。主矩，可直接用下式计算。第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 只要主矢量不等于零，力系总可简化成为一个只要主矢量不等于零，力系总可简化成为一个合力，至于合力作用线的位置，可以直接利用合力合力，至于合力作用线的位置，可以直接利用合力矩定理求得。矩定理求得。理论力学电子教程理论力学电子教程第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 即：即：由合力矩定理，得由合力矩定理，得图图 计算合力作用线的位置计算合力作用线的位置 理论力学电子教程理论力学电子教程第三节 沿直线平行分布力的简化 第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 物体所受的力，往往是分布作用于物体体积内物体所受的力，往往是分布作用于物体体积内（如重力、万有引力等）或物体表面上（如梁上的荷（如重力、万有引力等）或物体表面上（如梁上的荷载、坝或闸门上的静水压力等），前者称为载、坝或闸门上的静水压力等），前者称为体力体力，后，后者称为者称为面力面力。体力和面力都是。体力和面力都是分布力。分布力。沿直线狭长面积分布的平行力通常可以简化成为沿沿直线狭长面积分布的平行力通常可以简化成为沿直线分布的平行力，简称为直线分布的平行力，简称为线分布力线分布力或或线分布荷载线分布荷载。例如：作用于坝上的水荷载和作用于梁上的荷载，例如：作用于坝上的水荷载和作用于梁上的荷载，均为线分布荷载。均为线分布荷载。理论力学电子教程理论力学电子教程水压力的简化水压力的简化 梁上面力荷载的简化梁上面力荷载的简化 第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程表示力的分布情况的图形称为表示力的分布情况的图形称为荷载图荷载图。某一单位。某一单位长度上所受的力，称为分布力在该处的长度上所受的力，称为分布力在该处的荷载集度荷载集度。如。如果分布力的集度处处相同，则该分布力称为匀布力或果分布力的集度处处相同，则该分布力称为匀布力或匀布荷载匀布荷载；否则，就称为；否则，就称为非匀布力或非匀布荷载非匀布力或非匀布荷载。用用q 代表线分布力的集度。集度代表线分布力的集度。集度q 定义为某一微小长定义为某一微小长度度L 上所受的力上所受的力Q 与与L 之比当之比当L0 时的极限，时的极限，即即第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 线分布力集度的单位是线分布力集度的单位是N/m、kN/m 等。等。理论力学电子教程理论力学电子教程则，线段则，线段AB上所受的分布力的上所受的分布力的合力合力Q 的大小的大小为：为：=线段线段ABAB上荷载图的面积上荷载图的面积第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 设图中的设图中的AabB 为直线段为直线段AB上的荷载图。取直角坐上的荷载图。取直角坐标系标系Oxy，使，使y轴平行于分布力。命与原点相距轴平行于分布力。命与原点相距x 处的荷处的荷载集度为载集度为q，则在该处微小长度，则在该处微小长度x 上的力的大小为上的力的大小为Q=qx,亦即等于亦即等于x上荷载图的面积上荷载图的面积 A。理论力学电子教程理论力学电子教程 其次求其次求合力合力Q 的作用线的位置的作用线的位置。利用平面力系的。利用平面力系的合力矩定理，可得合力矩定理，可得 第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 综上所述，可知综上所述，可知同向的线分布力的合力的大小等同向的线分布力的合力的大小等于荷载图的面积（注意这一面积具有力的单位），合于荷载图的面积（注意这一面积具有力的单位），合力通过荷载图面积的形心。力通过荷载图面积的形心。如果荷载图的如果荷载图的图形较为复杂图形较为复杂：可分成几个简单的：可分成几个简单的图形，分别求每一简单图形所代表的分布力的合力；图形，分别求每一简单图形所代表的分布力的合力；如果分布力的集度是连续变化的，则可用积分法求其如果分布力的集度是连续变化的，则可用积分法求其合力。合力。可见，可见，xC 就是荷载图面积的形心的坐标。就是荷载图面积的形心的坐标。理论力学电子教程理论力学电子教程（1）集中荷载的单位，即力的单位为（N,kN)。荷载的单位荷载的单位分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。（2）体分布荷载的单位：（3）面分布荷载的单位：（4）线分布荷载的单位：理论力学电子教程理论力学电子教程如图所示的均布荷载，其合力为：作用线则通过梁的中点。（1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。）均布荷载：集度为常数的分布荷载。分布荷载的计算方法分布荷载的计算方法Fq=10.91kN/m16 m图理论力学电子教程理论力学电子教程 如图所示坝体所受的水压力为非均布荷载。（2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。yABC图理论力学电子教程理论力学电子教程 水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集度为q，梁长l。试求合力作用线的位置。例题3-2ABqxl 在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为qdx，其中q为该处的载荷集度，由相似三角形关系可知因此分布载荷的合力大小解xABqxdxhlF理论力学电子教程理论力学电子教程xABqxdxhlF 设合力F 的作用线距A端的距离为h，根据合力矩定理，有将q 和 F 的值代入上式，得理论力学电子教程理论力学电子教程 重力坝断面如图示，坝的上游有泥沙淤积。已重力坝断面如图示，坝的上游有泥沙淤积。已知水深知水深H=46m，泥沙厚度，泥沙厚度h=6m，单位体积水重，单位体积水重 =9.8kN/m3，泥沙在水中的容重，泥沙在水中的容重 =8kN/m3。又。又1m长坝段所受重力为长坝段所受重力为W1=4500kN，W2=14000kN。试。试将该坝段所受的力系向将该坝段所受的力系向O 点简化，并求出简化的最点简化，并求出简化的最后结果。后结果。第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 例题3-3理论力学电子教程理论力学电子教程解：解：作用于坝上游面的水压力和泥沙压力为作用于坝上游面的水压力和泥沙压力为平行分布力，上游坝面所受分布荷载的荷载图平行分布力，上游坝面所受分布荷载的荷载图为两个三角形。为两个三角形。设水压力合力为设水压力合力为P1，则，则 P1通过该三角形的形心，即与坝底相距通过该三角形的形心，即与坝底相距 H/3=46/3m。第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 泥沙压力的合力设为泥沙压力的合力设为 P2，则，则 P2与坝底相距与坝底相距h/3=2m。理论力学电子教程理论力学电子教程将将P1、P2、W1、W2四个力向四个力向O 点简化。点简化。求主矢量：求主矢量：第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程 负号表示主矩负号表示主矩MO 的转向与图示转向相反，即应为的转向与图示转向相反，即应为顺时针向。顺时针向。合力作用线与合力作用线与x轴交点轴交点A的的x坐标值为：坐标值为：第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 对对O点的主矩：点的主矩：故原力系有合力故原力系有合力理论力学电子教程理论力学电子教程第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程理论力学电子教程理论力学电子教程第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程 如果平面任意力系的主矢量及对任一简化中心的如果平面任意力系的主矢量及对任一简化中心的主矩同时等于零，则该力系为主矩同时等于零，则该力系为平衡力系平衡力系；反之，若；反之，若平面任意力系平衡，则其主矢量及对任一简化中心平面任意力系平衡，则其主矢量及对任一简化中心的主矩必须分别等于零。的主矩必须分别等于零。平面任意力系成平衡的充分与必要条件是：平面任意力系成平衡的充分与必要条件是：力系的主矢量与力系对任一点的主矩都等于零，即力系的主矢量与力系对任一点的主矩都等于零，即上述条件用代数方程表示为：上述条件用代数方程表示为：（3-133-13）理论力学电子教程理论力学电子教程 力系中各力在两个直角坐标轴中的每一轴上力系中各力在两个直角坐标轴中的每一轴上的投影的代数和都等于零，所有各力对于任一点的投影的代数和都等于零，所有各力对于任一点的矩的代数和等于零。的矩的代数和等于零。第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程方程（方程（3-133-13）称为）称为平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程，其，其中前两个称为中前两个称为投影方程投影方程，后一个称为，后一个称为力矩方程力矩方程。方程（方程（3-133-13）是平面任意力系平衡方程的）是平面任意力系平衡方程的基本基本形式形式，除了这种形式外，同样还可将平衡方程表示，除了这种形式外，同样还可将平衡方程表示为为二力矩形式二力矩形式或或三力矩形式三力矩形式。(3-14)(3-14)(3-15)(3-15)理论力学电子教程理论力学电子教程二力矩形式的平衡方程，二力矩形式的平衡方程，限制条件限制条件：点：点A、B的连线的连线不垂直于不垂直于x 轴。轴。三力矩形式的平衡方程，三力矩形式的平衡方程，限制条件限制条件：A、B、C 三点不三点不在同一直线上。在同一直线上。第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程 对于二力矩形式的平衡方程，可推证如下：对于二力矩形式的平衡方程，可推证如下：设一平面任意力系满足方程设一平面任意力系满足方程MiA，则由力偶则由力偶对于任一点的矩是常量对于任一点的矩是常量(等于力偶矩等于力偶矩)这一性质可知，该这一性质可知，该力系不可能简化成为一个力偶，而只可能简化成为一个力系不可能简化成为一个力偶，而只可能简化成为一个通过通过A点的力或者平衡。如果该力系又满足方程点的力或者平衡。如果该力系又满足方程MiA，则该力系或者有一沿着，则该力系或者有一沿着AB 作用的合力，或者成平作用的合力，或者成平衡。衡。理论力学电子教程理论力学电子教程 如果再满足如果再满足Fix，则力系必成平衡。因为，则力系必成平衡。因为，该力系如有合力，则前两个方程要求合力沿着该力系如有合力，则前两个方程要求合力沿着AB作作用，用，Fix却要求合力垂直于却要求合力垂直于x轴，但轴，但AB不垂直不垂直于于x轴，所以两个要求不能同时满足，可见原力系不轴，所以两个要求不能同时满足，可见原力系不可能有合力，而必然成平衡。可能有合力，而必然成平衡。三力矩形式的平衡方程，三力矩形式的平衡方程，同学可自己给予证明。同学可自己给予证明。第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程理论力学电子教程理论力学电子教程虽然平衡方程可以写成不同的形式，但虽然平衡方程可以写成不同的形式，但平面任意力系的独立平衡方程只有三个，而平面任意力系的独立平衡方程只有三个，而不可能有四个或更多。于是可知不可能有四个或更多。于是可知：对于平对于平面任意力系来说，利用平衡方程，只能求解面任意力系来说，利用平衡方程，只能求解三个未知数。三个未知数。第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程理论力学电子教程理论力学电子教程至于至于平面平行力系平面平行力系，如取，如取y 轴平行于各力，轴平行于各力，则在方程（则在方程（3-13）中，）中，Fix0，因而平衡方程因而平衡方程成为成为Fiy，Mio(3-16)也可表示为二力矩形式，写成也可表示为二力矩形式，写成MiA，MiB(3-17)请考虑：对矩心请考虑：对矩心A、B 的选取有否限制？的选取有否限制？第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程理论力学电子教程理论力学电子教程梁的一端为固定端，另一端悬空，如图，这样梁的一端为固定端，另一端悬空，如图，这样的梁称为悬臂梁。设梁上受最大集度为的梁称为悬臂梁。设梁上受最大集度为 的分的分布荷载布荷载，并在并在 端受一集中力端受一集中力 。试求。试求 端的约束力。端的约束力。附图附图 第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程例题3-4理论力学电子教程理论力学电子教程解：解：作梁作梁AB的受力图。为了下面计算方便，的受力图。为了下面计算方便，首先将梁上的分布荷载合成为一个合力首先将梁上的分布荷载合成为一个合力 ，的大小为的大小为由梁的平衡条件得到由梁的平衡条件得到三个平衡方程：三个平衡方程：第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程理论力学电子教程理论力学电子教程将将 代入，依次解得：代入，依次解得：第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程理论力学电子教程理论力学电子教程梁梁AB支承及荷载如图所示。支承及荷载如图所示。已知已知 求各约束力。图中长度单位是求各约束力。图中长度单位是m。解：解：考虑梁的平衡，作示力图。考虑梁的平衡，作示力图。第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程例题3-5理论力学电子教程理论力学电子教程 首先取首先取Fc和和FA的交点的交点D为矩心，由为矩心，由 可直接求得可直接求得 FB，然后由，然后由 分别求出分别求出FC 与与FA，这样就避免了解联立方程。，这样就避免了解联立方程。第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程 从受力图可以看出，如果从受力图可以看出，如果首先用投影方程，则不论怎样首先用投影方程，则不论怎样选取投影轴，每个平衡方程中选取投影轴，每个平衡方程中将至少包含两个未知量。将至少包含两个未知量。理论力学电子教程理论力学电子教程由由得得将将FP与与之值代入，解得之值代入，解得 解得解得 将将FP与与FB、FC 之值代入，解得之值代入，解得 第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程理论力学电子教程理论力学电子教程图所示为一悬臂式起重机简图，A、B、C处均为光滑铰链。水平梁AB自重 P=4kN,荷载 F =10kN,有关尺寸如图所示，BC 杆自重不计。求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的反力。图ABDEP P2m1m1mcF例题3-6理论力学电子教程理论力学电子教程【解解】（1）取AB梁为研究对象。（2）画受力图。未知量三个：独立的平衡方程数也是三个。（3）列平衡方程，选坐标如图所示。（1）（2）（3）ABDEPF理论力学电子教程理论力学电子教程由（3）解得以FT 之值代入（1）、（2），可得则铰链A的反力及与x轴正向的夹角为：理论力学电子教程理论力学电子教程 第五节 静定与超静定问题 物体系统的平衡第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 理论力学电子教程理论力学电子教程第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 一、静定与超静定问题一、静定与超静定问题 对每一类型的力系来说，独立平衡方程的数对每一类型的力系来说，独立平衡方程的数目是一定的，能求解的未知数的数目也是一定目是一定的，能求解的未知数的数目也是一定的。的。如果所考察的问题的未知数目恰好等于独如果所考察的问题的未知数目恰好等于独立平衡方程的数目，这类问题称为立平衡方程的数目，这类问题称为静定问题静定问题；如果所考察的问题的未知力的数目多于独如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的数目，这类问题称为立平衡方程的数目，这类问题称为超静定问题超静定问题或或静不定问题静不定问题。理论力学电子教程理论力学电子教程图是超静定平面问题的几个例子。图是超静定平面问题的几个例子。在图在图a、b中，物体所受的力分别为平面汇交力系和平中，物体所受的力分别为平面汇交力系和平面平行力系，平衡方程都是个。而未知反力是个，面平行力系，平衡方程都是个。而未知反力是个，任何一个未知力都不能由平衡方程解得。任何一个未知力都不能由平衡方程解得。图图 超静定问题的例子超静定问题的例子第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 理论力学电子教程理论力学电子教程 在图在图c中，两铰拱所中，两铰拱所受的力是平面任意力系，受的力是平面任意力系，平衡方程是个，而未平衡方程是个，而未知反力是个，虽然可知反力是个，虽然可以利用以利用MiA求出求出FBy，再利用再利用MiB或或Fiy求出求出FAy，但但Fax 及及FBx 却无法求得，所以却无法求得，所以仍是超静定的。仍是超静定的。图图 超静定问题的例子超静定问题的例子第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 理论力学电子教程理论力学电子教程说明：结构之所以成为超静定的，是因为说明：结构之所以成为超静定的，是因为静力学中把物体抽象成为刚体，略去了物体的静力学中把物体抽象成为刚体，略去了物体的变形；如果考虑到物体受力后的变形，在平衡变形；如果考虑到物体受力后的变形，在平衡方程之外，再列出某些补充方程，问题也就可方程之外，再列出某些补充方程，问题也就可以解决。以解决。超静定结构比静定结构较经济地利用材料，超静定结构比静定结构较经济地利用材料，也较牢固，工程上很多结构都是超静定的。也较牢固，工程上很多结构都是超静定的。第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 理论力学电子教程理论力学电子教程南南京京长长江江大大桥桥的的铁铁路路正正桥桥是是三三跨跨连连续续的的桁桁架架梁梁，是是超静定结构超静定结构。第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 理论力学电子教程理论力学电子教程 图（a）是静定的；图（b）是一次超静定；图（c）又是静定的；图（d)是二次超静定。图（a）图（b）图（c）在下面各图中，并没有给出结构的主动载荷的形式，试问主动载荷会对结构的静定与否产生影响吗？指出哪些是静定，哪些是超静定，并给出超静定的次数。图（d）理论力学电子教程理论力学电子教程二、物体系统的平衡二、物体系统的平衡 实际研究对象往往是由若干个物体组成实际研究对象往往是由若干个物体组成的物体系统。系统内各物体之间的联系构成的物体系统。系统内各物体之间的联系构成内约束内约束。而系统与其他物体的联系则构成。而系统与其他物体的联系则构成外外约束约束。第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 内约束处的约束力是系统内部物体之间相互内约束处的约束力是系统内部物体之间相互作用的力，对整个系统来说，这些力是作用的力，对整个系统来说，这些力是内力内力；而；而主动力和外约束处的约束力则是其他物体作用于主动力和外约束处的约束力则是其他物体作用于系统的力，是系统的力，是外力外力。理论力学电子教程理论力学电子教程 土建工程上常用的三铰拱，由土建工程上常用的三铰拱，由AC、BC 两半拱组成，两半拱组成，连接两半拱的铰连接两半拱的铰C 是内约束，而铰是内约束，而铰A 及铰及铰B 则是外约束。则是外约束。对整个刚架来说，铰对整个刚架来说，铰C 处的约束力是内力，而主动力及处的约束力是内力，而主动力及A、B 处的约束力则是外力。处的约束力则是外力。第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 图图 三铰拱三铰拱 注意：注意：外力和外力和内力是相对的概念，内力是相对的概念，是对一定的考察对象是对一定的考察对象而言的。而言的。理论力学电子教程理论力学电子教程对于某个物体系统，为了求出未知的力，可取对于某个物体系统，为了求出未知的力，可取系统中的任一物体作为考察对象。对于系统中的任一物体作为考察对象。对于平面力系问平面力系问题题而言，根据一个物体的平衡，一般可以写出三个而言，根据一个物体的平衡，一般可以写出三个独立的平衡方程。如果该独立的平衡方程。如果该系统共有系统共有n个物体，则共个物体，则共有有3n个独立的平衡方程，个独立的平衡方程，可可 以求解以求解3n个未知数。个未知数。第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 在解答物体系统的平衡问题时，也可将整个系统在解答物体系统的平衡问题时，也可将整个系统或其中某几个物体的结合作为考察对象，以建立平衡或其中某几个物体的结合作为考察对象，以建立平衡方程。但是，对于一个受平面任意力系作用的物体系方程。但是，对于一个受平面任意力系作用的物体系统来说，不论是就整个系统或其中几个物体的组合或统来说，不论是就整个系统或其中几个物体的组合或个别物体写出的个别物体写出的平衡方程总共只有平衡方程总共只有3n个是独立的个是独立的。理论力学电子教程理论力学电子教程注意：注意：此此3n 个独立平衡方程，是就每个独立平衡方程，是就每一个物体所受的力都是平面任意力系的一个物体所受的力都是平面任意力系的情况得出的结论，如果某一物体所受的情况得出的结论，如果某一物体所受的力是平面汇交力系或平面平行力系，则力是平面汇交力系或平面平行力系，则平衡方程的数目也将相应减少。平衡方程的数目也将相应减少。第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 理论力学电子教程理论力学电子教程联合梁支承及荷载情况如图所示。已知联合梁支承及荷载情况如图所示。已知FP110kN，FP220kN，试求约束反力。试求约束反力。图中长度单位是。图中长度单位是。附图附图 第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 例题3-7理论力学电子教程理论力学电子教程解：联合梁由两个物体组成，共有联合梁由两个物体组成，共有6个独立的平衡个独立的平衡方程，而约束力的未知数也是方程，而约束力的未知数也是6，所以是静定的。，所以是静定的。首先以整个梁作考察对象，首先以整个梁作考察对象，示力图如下：示力图如下：第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 由由F Fixix有有FAx FP2cos600 FAxFP2cos6010kN 可得可得理论力学电子教程理论力学电子教程取取BC 作为考察对作为考察对象，作示力图。象，作示力图。第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 Fix0，FCxFP2cos600 FCx FP2cos6010kNMCi0，FB3msin601.5m0 FB8.66kNFiy，FB FCy FP2sin600 FCy 8.66kN理论力学电子教程理论力学电子教程 再分析整体受力再分析整体受力图图，可写出两个平，可写出两个平衡方程求解。衡方程求解。MiA0 FD4mFB9mFP12m FP2sin607.5m 解得解得 FD18kNFiy=FAyFDFBFP1FP2sin60 0得得 FAy0.66kN第五节第五节 静定与超静定问题物体系统的平衡静定与超静定问题物体系统的平衡 理论力学电子教程理论力学电子教程 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链A，D连接于铅直墙上。如图所示。已知杆AC=CB；杆DC与水平线成45o角；载荷F=10 kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。ABDCF例题3-8理论力学电子教程理论力学电子教程 取AB 杆为研究对象，受力分析如图。FFCFAyFAxllABC解：解平衡方程可得若将力FAx和FAy合成，得ABDCF理论力学电子教程理论力学电子教程 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2 kN，F2=1.5 kN，M=1.2 kNm，l1=1.5 m，l2=2.5 m，试求铰支座A及支座B的约束力。F1ABl2l1llF2M例题3-9理论力学电子教程理论力学电子教程取梁为研究对象，受力分析如图。由平衡方程解方程。解：F1ABl2l1llF2MFAxABxyFAyF1FByF2M理论力学电子教程理论力学电子教程 如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。ABlqFM例题3-10理论力学电子教程理论力学电子教程由平衡方程解方程得取梁为研究对象，受力分析如图解：ABlqFMqABxyMFFAyMAlFAx理论力学电子教程理论力学电子教程P2FAP1P3PFBAB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m例题3-11 一种车载式起重机，车重P1=26 kN，起重机伸臂重P2=4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3=31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。理论力学电子教程理论力学电子教程 取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。由平衡方程。解：PP2FAP1P3FBAB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m不翻倒的条件是：FA0，故最大起吊重量为 Pmax=7.5 kN联立求解 所以由上式可得理论力学电子教程理论力学电子教程l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4例题3-12 组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：l=8 m，F=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M=5 kNm，试求固端A，铰链C和支座E的约束力。理论力学电子教程理论力学电子教程CE1.取CE段为研究对象。受力分析如图。解：联立求解。FE=2.5 kN，FC=2.5 kNF1M3l/8Hl/8FCFE由平衡方程l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4理论力学电子教程理论力学电子教程由列平衡方程。联立解之。FA=15 kN，MA=2.5 kNmMAF2l/4IAFCHl/8l/8FA再取AC段为研究对象，受力分析如图。理论力学电子教程理论力学电子教程 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为P，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计，试求B处的约束力。例题3-13P理论力学电子教程理论力学电子教程FAyFAxFCxFCyPFBxFAyFAxFByFE解：取整体为研究对象。受力分析如图，由平衡方程。再取杆AB为研究对象，受力分析如图。由平衡方程联立求解可得解得 理论力学电子教程理论力学电子教程 (1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重P3应为多少?(2)当平衡荷重P3=180 kN时，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？例题3-14 塔式起重机如图所示。机架重P1=700 kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量P2=200 kN，最大悬臂长为12 m，轨道AB的间距为4 m。平衡荷重P3到机身中心线距离为6 m。试问：AB2 m 2 m6 m12 mP1P2P3理论力学电子教程理论力学电子教程(1)满载时不绕满载时不绕B点翻倒，临界情况下点翻倒，临界情况下FA=0，可得可得 空载时，P2=0，不绕A点翻倒，临界情况下FB=0，可得 取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。则有 75 kNP3350 kN解：AB2 m 2 m6 m12 mP1P2P3理论力学电子教程理论力学电子教程 (2).取P3=180 kN，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力。列平衡方程解方程得AB2 m 2 m6 m12 mP1P2P3理论力学电子教程理论力学电子教程 如图所示，已知重力P，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l,=45。试求：A，E支座的约束力及BD杆所受的力。DKCABEP例题3-15理论力学电子教程理论力学电子教程DKCABE 1.选取整体研究对象，受力分析如图所示。由平衡方程解平衡方程FAPFExFEy解：理论力学电子教程理论力学电子教程 2.选取DEC研究对象，受力分析如图