定积分的应用：定积分的微元法.ppt

通通过过对对不不均均匀匀量量（如如曲曲边边梯梯形形的的面面积积，变变速速直直线线运运动动的的路路程程）的的分分析析，采采用用“分分割割、近近似似代代替替、求求和和、取取极极限限”四四个个基基本本步步骤骤确确定定了了它它们们的的值值，并并由由此此抽抽象象出出定定积积分分的的概概念念，我我们们发发现现，定定积积分分是是确确定定众众多多的的不不均均匀匀几几何何量量和和物物理理量量的的有有效效工工具具。那那么么，究究竟竟哪哪些些量量可以通过定积分来求值呢？可以通过定积分来求值呢？定积分的微元法定积分的微元法 为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。面积转化为定积分的计算过程。step1.分割：任意划分分割：任意划分a,b为为n个小区间个小区间step2.近似：近似：step3.求和：求和：step4.取极限：取极限：分析：分析：在上述问题注意到在上述问题注意到:所求量所求量(即面积即面积)A满足：满足：1。与区间与区间a,b及及a,b上连续函数上连续函数f(x)有关有关;2。对对a,b具有可加性，具有可加性，3。实际上，引出实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：二步，因此求解可简化如下：step1:选取积分变量及积分选取积分变量及积分区间（如区间（如x属于属于a,b）step2:取微区间取微区间x,x+dx 求出求出 step3:这种方法称为定积分的这种方法称为定积分的微元法微元法。构造微元的基本思想及解题步骤构造微元的基本思想及解题步骤1.构造微元的基本思想构造微元的基本思想元素法的实质是局部上元素法的实质是局部上“以直代曲以直代曲”、“以不变代变以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化以均匀变化代不均匀变化”的方法，其的方法，其“代替代替”的原则必须的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部是无穷小量之间的代替。将局部 上所对上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分定积分 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。2.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：选取适当的坐标系；选取适当的坐标系；确定积分变量和变化范围；确定积分变量和变化范围；在在 上求出微元解析式（积分式）。上求出微元解析式（积分式）。把所求的量表示成定积分把所求的量表示成定积分