河北省张家口市2023届高三下学期第二次模拟考试数学试题含答案.pdf

高三数学答案 第1 页(共8页)张家口市2 0 2 3年高三年级第二次模拟考试数学参考答案题号1234567891 01 11 2答案CDCDABCDA B CB CA BB C1.C 解析:由题意可得A=(2,4),B=(-,3),于是,AB=(2,3),因此(RA)(RB)=R(AB)=(-,23,+).故选C.命题意图 本题考查集合的运算及简单不等式的解法,考查学生的数学运算素养.2.D 解析:由题意可得z=1-i,于是,1+iz=1+i1-i=i,故1+iz 3=i3=-i.故选D.命题意图 本题考查复数的几何意义以及复数的除法、乘方运算,考查学生的数学运算素养.3.C 解析:利用圆心距d和半径r=2的关系来确定直线与圆的位置关系.由题意可得x20+y20=2,于是d=2x20+y20=22=2=r,所以,两者相切.故选C.命题意图 本题考查直线与圆的位置关系的判定,考查学生的数学运算和逻辑推理素养.4.D 解析:由向量数量积的性质可得|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4ab.于是,-4ab=2,即32x(-1)+12x=-12,所以,x=12.故选D.命题意图 本题考查向量的运算及数量积的性质,考查学生的逻辑推理和数学运算素养.5.A 解析:设地球的公转周期为5T,则火星的公转周期为9T.设地球、火星运行轨道的半长轴分别为m,n,则m32 5T2=n38 1T2,于是,mn=32 58 1.故选A.命题意图 本题考查函数建模、分数指数幂与根式的互化以及阅读理解能力,考查学生的数学运算和数学建模素养.6.B 解析:在纵断面内,以反射镜的顶点(即抛物线的顶点)为坐标原点,过顶点垂直于灯口直径的直线为x轴,建立直角坐标系,如图,由题意可得A(4 0,4 0).设抛物线的标准方程为y2=2p x(p 0),于是4 02=2p4 0,解得p=2 0.所以,抛物线的焦点到顶点的距离为p2=1 0,即光源到反射镜顶点的距离为1 0 c m.故选B.命题意图 本题考查抛物线的标准方程和几何性质,考查学生阅读理解和将实际问题数学化能力.7.C 解析:根据欧拉函数的定义可得a1=(2)=1,a2=(22)=2,a3=(23)=4,a4=(24)=8,一般地,an=(2n)=2n-1.事实上,(2n)表示从1到2n的正整数中,与2n互质的正整数的个数,相当于去掉从1到2n的正整数中所有2的倍数的个数(共2n-1个数),因此,an=(2n)=2n-2n-1=2n-1.所以,S1 0=1+高三数学答案 第2 页(共8页)2+4+29=1 0 2 3.故选C.命题意图 本题考查数学新定义及数列求和,考查学生灵活运用新定义分析和解决问题的能力,考查学生逻辑推理和数学运算素养.8.D 解析:由题意可得,函数f(x)为增函数.若f(y0)y0,则f(f(y0)f(y0)y0;同理,若f(y0)y0,则f(f(y0)f(y0)y0,均与题设条件不符.由f(f(y0)=y0可得f(y0)=y0,且y00,1.因此,关于x的方程2 l n(x+1)+x-m=x在0,1 上有解,整理得2 l n(x+1)-x2+x=m在0,1 上有解.设g(x)=2 l n(x+1)-x2+x,x0,1,则g(x)=2x+1-2x+1为0,1 上的减函数,注意到g(1)=0,故g(x)0,从而函数g(x)在0,1 上单调递增.所以,g(x)g(0),g(1)=0,2 l n 2.因此,实数m的取值范围是0,2 l n 2.故选D.命题意图 本题考查函数的图象与性质、函数的零点的综合运用,考查学生的逻辑推理和数学运算素养.9.A B C 解析:显然a不是最小的数,也不是最大的数.由于上四分位数即第7 5百分位数,于是1 8 7 5%=1 3.5,将这些数据按照从小到大排列后,第1 4个数为上四分位数.而除去a后,从小到大排列得到的第1 3个数为8 3,所以a的可能取值为8 3,8 4,8 5.故选A B C.命题意图 本题考查统计中的百分位数,考查学生的数据分析和数学运算素养.1 0.B C 解析:由题意,f(x)=c o s(2x-)+12.将其图象向左平移6个单位长度,得到函数g(x)=c o s2x+6 -+12=c o s2x+3-+12,而g(x)-g(-x)=0恒成立,即函数y=g(x)为偶函数,于是3-=k,kZ.又|0,令x1=n,x2=n+1n,当n充分大时,x2-x1=1n 2,不满足|f(x1)-f(x2)|,因此,函数f(x)=x2在0,+)上不一致连续.对于选项B,令x1,x21,+),且x1x2,则|x1-x2|=|x1-x2|x1+x2 0,取=2,当x1,x21,+),且|x1-x2|时,|x1-x2|0,取=0,x1,x2(-,+),当|x1-x2|时,有|s i n x1-s i n x2|=2s i n x1-x22c o s x1+x22 2s i n x1-x22 2|x1-x2|2=,因此,函数f(x)=s i n x在区间(-,+)上一致连续.利用题目给出的一致连续的定义,我们可以得到函数f(x)在区间I不一致连续的定义:对给定的某正数0,不论取值多么小,总至少有x1,x2I,满足|x1-x2|0,充分小,不妨设12,取x1=,x2=2,则|x1-x2|=2 1,这说明,函数f(x)=1x在区间(0,+)上不一致连续.故选B C.命题意图 本题考查学生阅读理解能力及逻辑推理素养,考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力.1 3.-1 6 0 解析:由题意可得2n=6 4,于是,n=6.设第r+1项为常数项,则Cr6x6-r-2x r=(-2)rCr6x6-2r,即6-2r=0,解得r=3.所以,该展开式的常数项为(-2)3C36=-1 6 0.命题意图 本题考查二项展开式通项公式以及二项式系数的性质,考查学生的数学运算素养.1 4.1 解析:函数f(x)的定义域为(-,02,+).由复合函数的单调性可知,f(x)在(-,0 上单调递减,在2,+)上单调递增.而f(0)=4,f(2)=1.所以,函数f(x)的最小值为1.命题意图 本题考查函数的单调性及应用求最值,考查学生的逻辑推理和数学运算素养.1 5.1 解析:由题意可得,点C在抛物线y=x2-a x-3(aR)上,且点D在x轴上方,即b 0.设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+D x+E y+F=0.令y=0,则有x2+D x+F=0;令x=0,则有y2+E y+F=0.设A,B的横坐标分别为x1,x2,则x1,x2也为方程x2+D x+F=0的根,由韦达定理可得,高三数学答案 第4 页(共8页)x1x2=F=-3;同理,-3,b为方程y2+E y+F=0的根,由韦达定理可得-3b=F.因此,-3b=-3,即b=1.命题意图 本题考查圆的定义及方程的应用,考查学生的数学抽象能力和数学运算素养.1 6.1 05 解析:如图,由P M=32NM,可得|P N|P M|=13,又|P F2|P F1|=13,故N F2M F1,且|M F1|=3|F2N|.设|F2N|=m,则|M F1|=3m,而|F2M|=2|F2N|,于是|F2M|=2m.由椭圆的定义可知,2a=|M F1|+|M F2|=3m+2m=5m,即a=5m2.延长MF1交椭圆C于点Q,连接Q F2,则由椭圆的对称性可知,|Q F1|=|F2N|=m.又|Q F1|+|Q F2|=2a,故|Q F2|=4m,即QMF2为等腰三角形,于是,c o s QMF2=14.在MF1F2中,设|F1F2|=2c,由余弦定理可得4c2=9m2+4m2-23m2m14=1 0m2,即c=1 02m.所以,椭圆C的离心率为e=ca=1 02m52m=1 05.命题意图 本题考查椭圆的定义、几何性质、离心率的计算,考查学生数形结合、逻辑推理、直观想象和数学运算素养.1 7.解:(1)由题意,当n=1时,a2=2S1+2=2a1+2=4.(1分)当n 2时,(n-1)an=2Sn-1+2.又n an+1=2Sn+2(nN*),所以,当n 2时,有n an+1-(n-1)an=2an,即an+1n+1=ann.(3分)这表明从第二项起,数列ann 是以a22=2为首项的常数列,即ann=2(n 2).(4分)所以,数列an 的通项公式为an=1,n=1,2n,n 2.(5分)(2)由(1)可得,b1=1a1a2=14,T1=b1=1438.(6分)当n 2时,bn=1anan+1=14n(n+1)=141n-1n+1 ,(7分)所以,Tn=b1+b2+bn=14+1412-13+13-14+1n-1n+1 =14+18-14(n+1)38.综上所述,对nN*,都有Tn38.(1 0分)命题意图 本题考查利用递推关系确定数列的通项公式以及数列求和方法,考查学生的逻辑推理能力和数学运算素养.高三数学答案 第5 页(共8页)1 8.解:(1)由A+B+C=,得t a n A=-t a n(B+C)=-t a nB+t a nC1-t a n Bt a n C,即t a n A+t a n B+t a n C=t a n At a n Bt a n C,(2分)又t a n A+t a n B+t a n C=3 t a n Bt a n C,所以t a n A=3.(4分)因为A 0,2 ,所以,A=3.(5分)(2)由题意可得b(c-b)a2恒成立.由余弦定理可得12=c o s A=b2+c2-a22b c,于是,b2+c2-a2=b c.所以b c-b2=c2-a2,则b(c-b)a2=c2-a2a2=ca 2-1,(7分)由正弦定理得ca=s i n Cs i n A=233s i n C.(8分)在锐角A B C中,A=3,则B+C=2 3,且B,C 0,2 ,故6C2,(9分)所以12 s i n C 1,所以ca33,233 ,(1 0分)因此,b(c-b)a2-23,13 ,(1 1分)于是,13.所以,实数的取值范围是13,+.(1 2分)命题意图 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题,考查边元结构的取值范围,考查学生的逻辑推理和数学运算素养.1 9.解:(1)由题意可得,E FB C,又B C平面A B C,E F平面A B C,所以,E F平面A B C.(2分)又E F平面A E F,平面A E F与底面A B C的交线为l,所以,E Fl.(3分)从而,lB C,而B C平面P B C,l平面P B C,所以,l平面P B C.(4分)(2)由(1)可知,在底面A B C内过点A作B C的平行线,即平面A E F与底面A B C的交线l.由题意可得A C2+B C2=A B2,即A CB C.故A B C的面积S=12A CB C=4.设点P到平面A B C的距离为h,则433=13S h=13 4h,于是h=3.(6分)注意到侧面P A C是边长为2的正三角形,取A C的中点记为D,连接P D,则P D=3,从而P D平面A B C.(8分)取A B的中点记为M,连接DM,则DMA C.于是,以D为坐标原点,D A,DM,D P所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,高三数学答案 第6 页(共8页)则A(1,0,0),P(0,0,3),C(-1,0,0),B(-1,4,0),E-12,0,32 ,F-12,2,32 ,设Q(1,y1,0).于是,P Q=(1,y1,-3),A E=-32,0,32 ,E F=(0,2,0).设平面A E F的法向量为n=(x2,y2,z2),则A En=0,E Fn=0,即-32x2+32z2=0,2y2=0,取z2=1,则x2=33,y2=0,即n=33,0,1 .又直线P Q与平面A E F所成角为,于是s i n=|c o s|=33-31+134+y21=14+y21,(9分)而异面直线P Q,E F所成角为,于是c o s=|c o s|=|y1|4+y21,(1 0分)假设存在点Q满足题设+=2,则s i n=c o s,整理得|y1|=1.(1 1分)所以,这样的点Q存在,且有A Q=1.(1 2分)命题意图 本题考查立体几何中的面与面的交线、线面平行、线面垂直、线面角与异面直线所成角的计算,考查学生的逻辑推理能力和数学表达能力.2 0.解:(1)由题意可得,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.(1分)X=0表示从甲、乙两盒中取出的都是白球,故P(X=0)=C23C25C24C25=95 0;(2分)X=1表示甲盒中取出1个白球1个红球、乙盒中取出2个白球或甲盒中取出2个白球、乙盒中取出1个白球1个红球,故P(X=1)=C12C13C25C24C25+C23C25C14C11C25=1 22 5;(3分)X=3表示从甲盒中取出2个红球、乙盒中取出1个白球1个红球,故P(X=3)=C22C25C14C11C25=12 5.(4分)于是,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=31 0.(5分)所以,随机变量X的分布列为X0123P95 01 22 531 012 5数学期望为E(X)=0 95 0+1 1 22 5+2 31 0+3 12 5=65.(6分)高三数学答案 第7 页(共8页)(2)设事件A1:从甲盒中取出两个红球,事件A2:从甲盒中取出两个白球,事件A3:从甲盒中取出一个红球一个白球,事件B:从乙盒中取出两个白球.则A1,A2,A3两两互斥,且B=A1BA2BA3B.(7分)且P(A1)=C22C25,P(B|A1)=C24C27,P(A2)=C23C25,P(B|A2)=C26C27,P(A3)=C13C12C25,P(B|A3)=C25C27.(1 0分)于是,P(B)=P(A1BA2BA3B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=C22C25C24C27+C23C25C26C27+C13C12C25C25C27=3 77 0.所以,从甲盒中任取两个球放入乙盒后,从乙盒中取出两个白球的概率为3 77 0.(1 2分)命题意图 本题考查概率与统计的综合应用,考查随机变量的分布列和期望的计算以及复杂事件的全概率公式,考查学生的逻辑推理和数学运算素养.2 1.解:(1)由题意可得ba=3,即b2=3a2.(1分)又c=2,即a2+b2=4,所以,a2=1,b2=3.(2分)因此,双曲线C的方程为x2-y23=1.(3分)(2)设点M(x,y),P(x1,y1),Q(x2.y2),x1,x2 1,设直线l的方程为x=m y+2,与双曲线C的方程x2-y23=1联立,整理得(3m2-1)y2+1 2m y+9=0,则3m2-10,=(1 2m)2-3 6(3m2-1)=3 6(m2+1)0,整理得m213.(5分)由根与系数的关系得y1+y2=-1 2m3m2-1,于是x1+x2=m(y1+y2)+4=-43m2-1,注意到x1+x2 2,于是-43m2-1 2,解得m2 0).(1 0分)因此,点M的轨迹是以(-4,0),(4,0)为焦点,实轴长为4的双曲线的右支,(1 1分)由双曲线的定义可知,存在两个定点E1(-4,0),E2(4,0),使得|ME1|-|ME2|=4.(1 2分)命题意图 本题考查双曲线的定义、几何性质、直线与双曲线的位置关系以及动点轨迹,考查学生的逻辑推理、数学抽象和数学运算素养.2 2.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+).由题意,f(x)=-2x+1-ax=-2x2-x+ax.(1分)若函数f(x)为(0,+)上的单调函数,则f(x)在(0,+)上恒非正或恒非负.(2分)又u=2x2-x+a为开口向上的抛物线,从而知f(x)在(0,+)上恒非正,(3分)即u=2x2-x+a 0在(0,+)上恒成立,于是,=1-8a 0,解得,a18.(4分)所以,函数f(x)为(0,+)上的单调递减函数时,实数a的取值范围是18,+.(5分)高三数学答案 第8 页(共8页)(2)若函数f(x)的极值点为x1,x2(x1x2),则x1,x2是方程2x2-x+a=0的两个不等正实根,从而,=1-8a 0,x1+x2=12 0,x1x2=a2 0,解得0 a18.不妨设x1x2,则x1=1-1-8a4,x2=1+1-8a4,且f(x)在(0,x1),(x2,+)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,从而x2为极大值点,x1为极小值点.(7分)因此,|f(x1)-f(x2)|=f(x2)-f(x1)=-x22+x2-al n x2+x21-x1+al n x1=(x1-x2)(x1+x2)+(x2-x1)+al nx1x2=x1-x22+(x2-x1)+al nx1x2=x2-x12+al nx1x2.所以,原不等式等价于x2-x12+al nx1x214-2a,(9分)整理得1-8a4+al n 1-1-8a1+1-8a14-2a,(*)其中0 a18.设1-8a=t,则t(0,1),且a=1-t28,则不等式(*)等价于t4+1-t28l n1-t1+t14-21-t28,其中t(0,1),整理得l n1-t1+t-2t1+t,其中t(0,1),即l n1+-2t1+t 0,得x(-1,0),即函数y=l n(1+x)-x在(-1,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减,于是,当x=0时,y取得最大值0,从而,l n(1+x)x,当且仅当x=0时取等号.而t(0,1),-2t1+t0,所以l n1+-2t1+t -2t1+t,其中t(0,1).所以,原不等式成立,即|f(x1)-f(x2)|x1+x22-2a.(1 2分)命题意图 本题考查函数与导数的综合应用,考查利用导数研究函数的单调性,证明函数极值满足的含参不等式问题,考查学生的逻辑推理、数学建模和数学运算素养.