近世代数期末考试试卷.pdf

近世代数模拟试题二一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3 分，共 1 5 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 G有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则G的子集（）是子群。A、）B、词 c、D、2、下面的代数系统（G,*）中，（）不是群A、G 为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-b B a*b=m ax a,b C、a*b=a+2 b D、a*b=|a-b4、设6、%、内是三个置换，其中6=（1 2）（2 3）（1 3）,a2=（2 4）（1 4）,=（1 3 2 4）,则0 3=（）A、。2|B、6 o 2 C、小 2 D、5 65、任意一个具有2 个或以上元的半群，它（）oA、不可能是群 B、不一定是群C、一定是群 D、是交换群二、填空题（本大题共1 0 小题，每空3 分，共 3 0 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子称为整环。3、已知群G中的元素。的阶等于5 0,则。的阶等于-。4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G与-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么 A PB=-6、若映射S 既是单射又是满射，则称。为-o7、。叫 做 域 厂 的 一 个 代 数 元，如 果 存 在 产 的。必，使得a0+6+=08、a是代数系统（A,0）的元素，对任何x e A均成立x。=x,则称。为-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、-。1 0、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是-。三、解答题（本大题共3小题，每小题1 0 分，共 3 0 分）1、设集合A=1,2,3 G 是 A上的置换群，H是 G的子群，H=I,（1 2）,写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E,）是一个代数系统，问（E,）是不是群，为什么？3、a=4 9 3,b=3 9 1,求（a,b）,a,b 和 p,q。四、证明题（本大题共2小题，第 1 题 1 0 分，第 2小题1 5 分，共 2 5 分）1、若（G,*是群，则对于任意的a、b W G,必有惟一的x C G 使得a*x=b。2、设m 是一个正整数，利用m 定义整数集Z上的二元关系:a b 当且仅当m I a-b。近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3 分，共 1 5 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是()。A、2 阶 B、3阶 C、4阶 D、6阶2、设 G 是群，G 有()个元素，则不能肯定G是交换群。A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格()A、(N,)C、(2,3,4,6,1 2,|(整除关系)D、(P(A),)5、设 S 3=,(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2),那么，在 S3 中可以与(1 2 3)交换的所有元素有()A、(1),(1 2 3),(1 3 2)B、1 2),(1 3),(2 3)C、(1),(1 2 3)D、S3 中的所有元素二、填空题(本大题共1 0 小题，每空3 分，共 3 0 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果/是4与，间的一一映射，。是A的一个元，则广/(“)=-。3、区间 1,2 上的运算a =m i n a,b 的单位元是-。4 可换群 G 中|a|=6,|x|=8,贝 U ax|=-。5、环乙的零因子有-。6、一个子群H的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-o8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-o9、设群G中元素。的阶为m,如果a=e ,那么机与存在整除关系为三、解答题(本大题共3 小题，每小题10分，共 30分)1、用 2 种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链?2、s“52是A的子环,则s m s?也是子环。S1+S2也是子环吗?3、设有置换。=(134 5)(124 5),T=(234)(4 56)G$6。1.求5 和r b；2.确定置换5 和 的 奇 偶 性。四、证明题(本大题共2 小题，第 1题 10分，第2 小题15分，共 25分)1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明H a 的充分必要条件是a岳=a和 a6%=e。近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、(1,0),(1,1)(2,T),(2,0),(2,1)；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、解：把。和r写成不相杂轮换的乘积：o-=(1653)(24 7)(8)r =(123)(4 8)(57)(6)可知。为奇置换，为偶置换。和 可以写成如下对换的乘积：。=(13)(15)(16)(24)(27)r =(13)(12)(4 8)(57)B =4(A +4)C=-(A-A)2、解：设A是任意方阵，令 2,2,则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且A =8 +C。若令有A =8+G,这里和G分别为对称矩阵和反对称矩阵，则而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于o,即：B=B,c =G,所以，表示法唯一。3、答：+,“)不是群，因为中有两个不同的单位元素0和唳四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、对于G中任意元x,y,由于(孙)2=e,所以孙=(孙)7=厂|短=(对 每)-1个x,从厂=e可得x =x )o2、证明在F里ab-ba-a,b e R,b*0)b。所有人 e R,b 0)有意义，作F的子集 l 0显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题(本大题共5 小题，每小题3 分，共 15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3 分，共 30分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；1 0、交换环；三、解答题(本大题共3小题，每小题1 0 分，共 3 0 分)1、解：H 的 3 个右陪集为：I,为 2),(1 2 3),(1 3),(1 3 2 ),(2 3 )H 的 3 个左陪集为：I,(1 2),(1 2 3 ),(2 3),(1 3 2 ),(1 3 )2、答:(E,)不是群，因 为(E,)中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+1 0 2b=3 X 1 0 2+8 51 0 2=1 X 8 5+1 7由此得到(a,b)=1 7,a,b =a X b/1 7=1 1 3 3 9 o然后回代：1 7=1 0 2-8 5=1 0 2-(b-3 X 1 0 2)=4 X 1 0 2-b=4 X (a-b)-b=4 a-5 b.所以 p=4,q=-5.四、证明题(本大题共2小题，第 1 题 1 0 分，第2小题1 5 分，共 2 5 分)1、证明 设 e 是群 G,*的幺元。令*=l*b,则 a*x =a*(a l*b)=(a*a l)*b =e*b =b o 所以，x=a l*b 是 a*x=b 的解。若 x，CG 也是 a*x=b 的解，则 x =e*x =(a l*a)*x =a l*(a*x )=a l*b=x。所以，x =a l*b 是 a*x =b的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合之记为 Z m,每个整数a所在的等价类记为 a =x CZ；m|x -a)或者也可记为a,称之为模m剩余类。若m|a -b也记为a=b(m)。当m=2 时，Z 2 仅含2 个 元:0 与 。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3 分，共 1 5 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题（本大题共1 0 小题，每空3 分，共 3 0 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一;2、。；3、2；4、2 4；5、6、相等；7、商群；8、特征;9、帅；三、解答题（本大题共3 小题，每小题1 0 分，共 3 0 分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1 种，四白一黑1 种，三白二黑2种，等等，可得总共8 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b eSin S2 有 a-b,a b G SlAS2：因为 SI,S2 是 A 的子环，故 a-b,a b CSl 和 a-b,a b G S2 ,因而a-b,a b eSl AS2 ,所以S1 CS2 是子环。S1+S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：ci 0 ,I a=M2（Z）.o|a,ceZ ,S2=0 ZJj易见S 与当均为子环，但Si+5=:a,b,c e zR 是子环.3、解：1.5=(1 2 4 3)(5 6),=(1 6 5 2 4).2.两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第 1 题 1 0 分，第 2小题1 5 分，共 2 5 分）1、证明：假定是R 的一个理想而不是零理想，那么a=O e，由理想的定义a%=l j,因而R 的任意元=这就是说二R,证毕。2、证 必要性：将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e,ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e,所以b=a-lo