自动控制原理 第2章习题解答.docx

1x(t)y(t)kkFm121第第 2 章章 控制系统的数学模型习题及解答控制系统的数学模型习题及解答2-1已知质量-弹簧系统如题 2-1 图所示，图中标明了质量和弹簧的弹性系数。当外力F(t)作用时，系统产生运动，如果在不计摩擦的情况下，以质量 m2的位移 y(t)为输出，外力 F(t)为输入，试列写系统的运动方程。题 2-1 图解：解： 设 质量 m1的位移量为 x(t),根据牛顿第二定律有题 2-2 图md2y2dt2=k (x y)-k y12式可以写作md2x1dt2= F k1(x y)由式也可以得到md2y2dt2=k x(k11+ k )y2k (x y)= m12d2y+k ydt22式两端同时求二阶导数，可得md4y=kd2x(k+k )d2y2dt41dt212dt2将、式代入式中，整理可得d4y(m+ m)k+ mkd2yk kkm+12dt4212 2m+ dt212y =1Fmm1112-2求题 2-2 图中由质量-弹簧-阻尼器组成的机械系统，建立系统的运动方程。其中，x(t)为基底相对于惯性空间的位移，y(t)为质量相对于惯性空间的位移。z(t)=y(t)-x(t)为基底和质量之间的相对位移，z(t)由记录得到， x(t)和 z(t)分别为输入量和输出量。解：解：应用牛顿第二定律可得md2ydt2将z(t)= y(t)- x(t)代入上式，整理可得= kz fdz(t)dtmd2z+ fdz+kz=md2xdt2dtdt2z(t)x(t)mfy(t)k2+u(t)cC1CR1+RuiR1RR+R2uu2oi+uou2Cu (t)ci1C2+u(t)c2uo(a)(b)(c)c2R C2 2- -3 3试求题 2-3 图所示无源RC 电路的微分方程，其中 ui(t)为输入量，uo(t)为输出量。题 2-3 图解解 ：（a）引入中间变量 u (t)表示电容器两端的电压。根据基尔霍夫电流定律有du11Cc+u =u根据基尔霍夫电压定律有dtRcRo12u = u ucio联立消去中间变量，可得描述输入量 ui(t)和输出量 uo(t)之间关系的微分方程为duoR + R+12udu1=Ci+udtR RodtRi121（b）引入回路电流 i(t)和电容器两端的电压 uc(t)作为中间变量，根据基尔霍夫电压定律有另有电容元件的元件约束关系方程R i+u = u1oidui =Cc和联立求解，消去中间变量可得u =ucodtR i2duoR + R+12udu1=Ci+udtR RodtRi121（c）设电容器 C 两端的电压为 u (t)，根据基尔霍夫电流定律有d(ucu )1duCio+(u u ) = Cc2求导可得1dtRio12dtd2(uu )1 d (uu )d2uC1另有输出支路电压方程io+dt2R1duio= Cdt2c 2dt2等式两边求导有R Cc 2+u= u22dtc2od2uc 2dudu+c2=o22dt2dtdtCC23dto+11221o+u2RC2dtRCo1212= R Cd2ui+R C +R C du+11122iu12= R C=o+将、代入式，整理可得R Cd2u21R C + R C + RC du121dtRC2udtRCi12122 2- -4 4试求题 2-4 图所示有源RC 电路的微分方程，其中 ui(t)为输入量，uo(t)为输出量。CRCC+2Ruc(t)R+1Ru (t)+1iuRo(t)u (t)+o(t)0R0（a）（b）题 2-4 图解解 ：（a）设电容器 C 两端的电压为 u (t)（如图所示） ，根据基尔霍夫电流定律有2duc21du可以导出Ci+u1dtRi1+Cc 2= 02dtduCdu1c11iu上式求导可得dtCdtRCi212d2uc1C= 1d2ui1dui根据支路电压定理可得等式两边同时求导有dt2Cdt22duc222dtRCdt12+u= uc2od2uc 2duduc2o22dt2dtdt将、式代入式中，消去中间变量可得dud2uR C +R Cdu1o= R Ci1221iudt21dt2RCdtRCi1212（b）根据基尔霍夫电流定律有1u + Cdu1u = 0写成标准形式有RidtRo12du11o+u = udtRoRi212i+CR C4R(R + R )2(RCs+1)11R R122Cs+1= 令T = R2C，可将微分方程重新整理，得duRTo+ udto= 2uRi12-5写出题 2-3 和题 2-4 中各电路的传递函数。解解: 根据微分方程可以直接写出传递函数U (s)G(s)o23(a)U (s)i(R + R )12U (s)R Cs +1G(s) =o=223(b)U (s)(Ri1+ R )Cs +12U (s)(RC s +1)(R C s +1)G(s) =o=112223(c)U (s)R C R C s2+ (R C +R C + RC )s +1i1122112212U (s)(RC s +1)(R C s +1)G(s) =o= 11222 4(a )U (s)R C si12U (s)R1G(s)o22 4(b)U (s)Ri1R Cs +122-6若某初始状态为零的系统，在单位脉冲输入信号r(t) =(t)作用下，系统的输出响应为g(t) =12e2t+ et，试求系统的传递函数。1213s +2解：解：G(s) = Lg(t) =+=ss +2s+1s(s + 2)(s +1)则传递函数G(s) =3s + 2s(s + 2)(s +1)2-7测速电桥电路如图所示。外加电压为ua，电动机转速为，电动机反电势e和a成正比，即e =C，式中C是由电动机结构决定的常数。当满足R R1aae= R R23时（Rae为电动机电势电阻） ，忽略电动机电动机电枢绕组的电感。求电桥输出开路电压u和转速的关系方程式，并写出传递函数U (s)。(s)解：解：设电阻R1两端的电压为u1(t)，电阻R3两端的电压为u (t)，如题 2-7 图所示，则有3u (t) u13(t) = u(t)根据基尔霍夫电压定律，可得M+u (t )1+u (t)3513G (s)1+Y (s)R(s)G (s)2H (s)1H (s)2Ru = uR + Ra 112忽略电动机电枢绕组电感时，有下面的关系R将、代入式中，可得R + R(u3a e ) = ua3R R R RR1a23u +3e =u(R +R12)(R3+ R )aaR + Ra3a将已知条件R R1a= R R23代入式中，可得Re = uR + Ra3a再代入已知条件ea= C，整理可得eu =R3CR + Re3a式中，Ce是由电动机结构决定的常数。上式两端同时进行拉氏变换并整理，可得电桥输出开路电压u和转速之间的传递函数为U(s)R C(s)=R3e+ R3a显然，题 2-7 图所示测速电桥电路是一个比例环节。2-8简化结构图，求传递函数 Y(s)/R(s)。解解 ：（1）环节H和H12题 2-8 图并联，合并后如图解题 2-8 图（a）所示。(2)前向通道上相邻的两个信号相加点交换位置，如图解题 2-8 图（b）所示(3)分别合并并联连接的两个环节和反馈连接的两个环节如图解题 2-8 图（c）所示3a6H (s)1R(s)G (s)Y (s)1aG (s)2bG (s)3H (s)2(4)将串联的两个环节合并如图解题 2-8 图（d）所示，最后得到的这个函数框中填写的就是输入和输出之间的传递函数 G(s)=Y(s)/R(s)。G (s)1R(s)+Y (s)G (s)2H (s) H (s)12G (s)1R(s)+Y (s)G (s)2H (s) H (s)12（a）（b）R(s)1+ G (s)G (s)2Y(s) R(s)(1+ G (s)G12(s)Y (s)11+G2H (s) G H122(s)1+ G2H (s) G H122(s)（c）（d）解题 2-8 图可得传递函数Y (s)(1+G (s)G (s)R(s)=1+ G21H (s)12G H (s)222-9简化题 2-9 所示系统的结构图，求取传递函数 Y(s)/R(s)。题 2-9 图解解 ：（1）信号分支点 a 后移并与后面的信号分支点b交换得系统结构图如图解题2-9图（a） 。（ 2 ）合并并联的环节 1/G2(s)和 G3(s)，并将该环节前的信号分支点后移，如图解题2-9图（b） 。（ 3 ）结构图变换为大环套小环的形式，由内而外逐级合并反馈联结的环节可得图解题2-9图（c） 。Y(s)G (1+ G G )R(s) =1+ H+ G G123H +G+ G G H2232+ G G G11231217N (s)G (s)4R(s)-+G (s)-Y (s)1G (s)2H (s)G (s)3b21ac3dex3fH (s)G2(s)11 + G (s)G (s)23R(s)G (s)1G (s)21+G2(s)G3(s)G2(s)Y (s)H (s)2R(s)G1(1 + G2G3)1+H2+G2G3H2+G1+G1G2G3+G1G2H1Y (s)H (s)1R(s)G (s)1/G2(s)Y (s)1G (s)2G (s)3H (s)2（a）（b）（c）解题 2-9 图2-102-10 已知系统结构图如题 2-10 图所示，写出给定输入 R(s)和扰动输入 N(s)共同作用下系统输出 Y(s)的表达式。x2x1题 2-10 图g题 2-11 图解解 ：（1）R(s)单独作用下，N(s)=0，系统的结构如图解题2-10图（a）所示。简化结构图可得G (s) =Y (s)=G G + G G1312+ G G G H123RR(s)1+ G2H + G G13+ G G23H + G G12+ G G G H1238N (s)G (s)4+G (s)1G (s)-Y (s)2H (s)G (s)3dR(s)-G (s)1G (s)Y (s)2H (s)G (s)3（a）-G (s)4（b）N (s)-+G G (s) + G G (s) + G G G H (s)Y (s)121 3123-1+G2H(s)N (s)G (s)G (s)4（c）+-G G (s) + G G (s) + G G GH(s)Y (s)1213123-1+G2H(s)（d）解题 2-10 图（2）N(s)单独作用下，R(s)=0，系统的结构如图解题 2-8 图（b）所示；合并内环各环节可得系统结构如图解题 2-8 图（c）所示。（3）将图 N(s)处的信号相加点前移并与前面的信号相加点合并，移动的支路上将增加一个环节 Gd(s)G (s) =1+ G2H (s)d1+G H(s)GG (s) +GG (s) +GG G H (s)212进一步简化可得传递函数1312391221Y (s)G G G + G G G + G G G G H G H 1G (s) =13412412342NN(s)1+G2H + G G13+ G G23H + G G12+ G G G H123（4）R(s)和 N(s)共同作用下，系统的输出Y (s)= G (s)R(s) +G (s)N(s)RN2-11已知如题 2-11 图所示系统的信号流图，试用梅逊公式求取源节点1到汇节点 x2的传输，以及源节点 x1到节点 x3的传输。解：解：源节点 x1到汇节点 x2只有一条前向通道，前向通道传输为P1= 2a信号流图中的回路有 3 个，分别为：L1= ab，L2= df和L3= deg其中 L1 和 L2、L1 和 L3 居委不接触的回路，没有三个互不接触的回路，所以有信号流图特征是为 = 1 (L1+ L2+ L3) + (L1L2+ L1L3)= 1 ab df deg + abdf + abdeg对于前向通道，特征是的余子式为1= 1 (L2+ L3) = 1 df deg根据梅逊公式可得源节点 x1到汇节点 x2的传输为P =2a(1 df deg)P11=1 ab df deg + abdf +abdeg2-12 画出题 2-9 图所示系统的信号流图，利用梅逊公式求取该系统的传递函数。解解：根据由结构图绘制信号流图的原则，输入量、输出量设节点，再在结构图上信号的相加点R之后和信号的分支点处设节点，可得题 2-9 图对应的信号流图如解题图 2-12。图中输入节点 R 到输出节点 Y 有 2 条前向通道，通道的传输为1P= G GG1123;P = G21解题 2-12 图信号流图中的回路有 5 个，回路传输分别为：L = G G H，L= H，L= G G G，L = G和L = G G H1232223123411121没有两两互不接触的回路，更没有三个互不接触的回路，所以有信号流图特征是为 = 1 (L + L12+ L + L34+ L )5= 1 +G G H232+ H + G G G2123+G + G G H1121信号流图中没有与第 1 条前向通道不接触的回路，也没有与第 2 条前向通道不接触的回路，所以特征式的余子式为： = =112根据梅逊公式，可得节点 R 到节点 Y 的传输为1P =(P+ P )而且节点 R 到节点 Y 的传输就是对应变量之间的传递函数，G(s) =Y (s)=G (1 + G G )123R(s)1+ H2+ G G H232+ G + G G G1123+ G G H1211H1aG11YbG2H2G3x1