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高等数学上册复习总结第一章第一章 函数与极限函数与极限1 1、函数、函数定义定义性质性质基本初等函数、初等函数基本初等函数、初等函数反函数反函数复合函数复合函数需要注意的函数需要注意的函数幂指函数幂指函数分段函数分段函数2 2、极限、极限定义定义性质性质无穷大无穷大(小小)量量求极限的方法求极限的方法数列的极限数列的极限函数的极限函数的极限左、右极限左、右极限极限存在的充要条件极限存在的充要条件夹逼准则夹逼准则单调有界性单调有界性定义定义阶的分类阶的分类高阶无穷小高阶无穷小同阶无穷小同阶无穷小等价无穷小等价无穷小无穷小量代换无穷小量代换夹逼准则、单调有界性夹逼准则、单调有界性极限运算法则及函数的连续性极限运算法则及函数的连续性两个重要极限两个重要极限无穷小量乘有界量无穷小量乘有界量3 3、连续函数、连续函数定义定义间断点及间断点及其判定其判定闭区间上连闭区间上连续函数性质续函数性质左、右连续左、右连续函数连续的充要条件函数连续的充要条件第一类第一类第二类第二类可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点无穷远间断点无穷远间断点振荡间断点振荡间断点有界性有界性最大最大(小小)值定理值定理介值定理介值定理4 4、渐近线：、渐近线：铅直、水平渐近线。铅直、水平渐近线。主要技能测试点主要技能测试点1.对极限概念的理解，并能灵活应用各种方法对极限概念的理解，并能灵活应用各种方法 求极限求极限2.对连续概念的理解，会讨论函数连续、间断情形，对连续概念的理解，会讨论函数连续、间断情形，并能判断间断点的类型。并能判断间断点的类型。常见题型常见题型1.函数复合函数复合2.计算各种类型的极限计算各种类型的极限3.确定极限式中的参数确定极限式中的参数4.无穷小的比较无穷小的比较5.函数连续性的讨论及用连续性讨论函数式中的参数函数连续性的讨论及用连续性讨论函数式中的参数6.判断间断点的类型判断间断点的类型7.利用零点定理考虑方程的根利用零点定理考虑方程的根1 1、导数、导数定义定义第二章第二章 导数与微分导数与微分 几何意义几何意义可导与连续关系可导与连续关系求导方法求导方法高阶导数高阶导数x、y定义形式定义形式左、右导数左、右导数导数存在的充要条件导数存在的充要条件定义定义(左右导数左右导数)四则运算四则运算求导公式求导公式复合函数求导复合函数求导参数方程求导参数方程求导对数法求导对数法求导2 2、微分、微分定义定义可导与微分的关系可导与微分的关系隐函数求导隐函数求导主要技能测试点主要技能测试点1.对导数定义的理解，利用导数定义求导数对导数定义的理解，利用导数定义求导数2.掌握导数的各种计算方法掌握导数的各种计算方法,会求各类函数的导数会求各类函数的导数常见题型常见题型1.讨论分段函数的可导性及某点的可导性讨论分段函数的可导性及某点的可导性2.求复合函数的导数（抽象函数）求复合函数的导数（抽象函数）3.求隐函数及由参数方程所确定的函数的导数求隐函数及由参数方程所确定的函数的导数（一阶，二阶）（一阶，二阶）4.幂指函数的导数幂指函数的导数5.求高阶导数求高阶导数3.利用导数的几何意义会求曲线的切线及法线利用导数的几何意义会求曲线的切线及法线6.求曲线某点的切线及法线方程求曲线某点的切线及法线方程中值定理中值定理第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 洛必达法则洛必达法则函数的性态函数的性态罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理：用于求不定式极限用于求不定式极限函数的单调性函数的单调性函数的凹凸性函数的凹凸性函数的极值函数的极值泰勒公式泰勒公式：用于理论分析、近似计算用于理论分析、近似计算驻点定义驻点定义单调性判定单调性判定拐点定义拐点定义凹凸性定义凹凸性定义凹凸性判定凹凸性判定第一充分条件第一充分条件第二充分条件第二充分条件函数的最值函数的最值1 1、内容、内容证明不等式证明不等式(构造函数构造函数)方程根的讨论方程根的讨论利用微分中值定理利用微分中值定理利用函数的单调性利用函数的单调性存在性存在性个数个数利用函数的极利用函数的极(最最)值值2 2、应用、应用介值定理介值定理罗尔定理罗尔定理函数单调性函数单调性极值与最值极值与最值主要技能测试点主要技能测试点1.对罗尔定理、拉格朗日定理的理解，会用罗尔定理对罗尔定理、拉格朗日定理的理解，会用罗尔定理讨论零点，用拉格朗日定理证明不等式讨论零点，用拉格朗日定理证明不等式常见题型常见题型1.利用罗尔定理证明零点的问题利用罗尔定理证明零点的问题2.利用洛比达法则求极限利用洛比达法则求极限3.利用拉格朗日定理和单调性证明不等式利用拉格朗日定理和单调性证明不等式5.判断函数的凹凸性及拐点判断函数的凹凸性及拐点4.求函数的极值和最值求函数的极值和最值2.以导数作为研究函数的工具，综合研究函数的各种以导数作为研究函数的工具，综合研究函数的各种性态（单调性，极值，凹凸性，拐点）的能力性态（单调性，极值，凹凸性，拐点）的能力3.灵活运用洛比达法则求极限灵活运用洛比达法则求极限6.初等函数的迈克劳林展式初等函数的迈克劳林展式基本概念基本概念第四章第四章 不定积分不定积分 基本性质基本性质积分法积分法原函数原函数不定积分不定积分凑微分法凑微分法换元法换元法分部积分法分部积分法积分公式积分公式第一类换元法第一类换元法第二类换元法第二类换元法有理函数的积分有理函数的积分主要技能测试点主要技能测试点1.考察对原函数及不定积分概念的理解，对积分和考察对原函数及不定积分概念的理解，对积分和微分互为逆运算的性质的理解微分互为逆运算的性质的理解常见题型常见题型1.考察对原函数及不定积分概念的理解考察对原函数及不定积分概念的理解2.利用凑微分法计算不定积分利用凑微分法计算不定积分3.利用换元积分计算不定积分利用换元积分计算不定积分4.利用分部积分法计算不定积分利用分部积分法计算不定积分2.掌握计算不定积分的三种计算方法（凑微分，换元掌握计算不定积分的三种计算方法（凑微分，换元法，分部积分法）法，分部积分法）定义定义第五章第五章 定积分定积分性质性质分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限几何意义几何意义牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式换元法换元法分部积分法分部积分法函数可积条件函数可积条件闭区间上连续函数闭区间上连续函数闭区间上有界函数有有限间断点闭区间上有界函数有有限间断点积分中值定理积分中值定理定积分的计算定积分的计算1 1、常义常义积分积分变上限积分变上限积分无穷限的无穷限的反常积分反常积分无界函数的无界函数的反常积分反常积分2 2、反常反常积分积分a为瑕点为瑕点b为瑕点为瑕点c为瑕点为瑕点主要技能测试点主要技能测试点1.掌握计算定积分的三种计算方法（牛顿掌握计算定积分的三种计算方法（牛顿-莱布尼兹莱布尼兹公式，换元公式，分部积分公式）公式，换元公式，分部积分公式）常见题型常见题型1.有关考察定积分性质的题目有关考察定积分性质的题目2.利用利用牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式计算定积分计算定积分3.利用换元积分计算定积分及积分恒等式利用换元积分计算定积分及积分恒等式4.利用函数的奇偶性计算定积分利用函数的奇偶性计算定积分2.会利用积分的换元证明积分恒等式会利用积分的换元证明积分恒等式3.综合利用微分学与积分学知识分析问题和解决问题综合利用微分学与积分学知识分析问题和解决问题的能力（重点为有关积分上限函数的综合性题目）的能力（重点为有关积分上限函数的综合性题目）常见题型常见题型5.有关积分上限的综合性题目（极限，单调性等）有关积分上限的综合性题目（极限，单调性等）6.利用利用分部积分公式分部积分公式计算定积分计算定积分7.计算反常积分（特别为无穷限积分）计算反常积分（特别为无穷限积分）