2020年高考真题——数学（江苏卷）.pdf

绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题 第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、力 口 粗。参考公式：柱体的体积丫=S，其中S是柱体的底面积，是柱体的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共 计70分.请把答案填写在答题卡相对应位f i.1.已知集合人=-1,0,1,2,3=0,2,3,则 4 n B=.2.己知i是虚数单位，则复数z=(l+i)(2-i)的实部是 .3.已知一组数据4,2a,3-。,5,6的平均数为4,则a的值是 .4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是一.5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2,则输入的值是 .(第5题)6 .在平面直角坐标系x O y 中，若双曲线*-?=1 3 0)的一条渐近线方程为丫 =4，则该双曲线的离心率是 .7 .已知y=/(x)是奇函数，当X 2 0时，x)=x 3,则-8)的值是 .J T 28 .已知 s i n?(+a)=:，则 s i n2 a 的值是 .4 39.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 c m,高为2 c m,内孔半轻为0.5 c m,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.(第9题)】。.将 函 数)，=3s in(2 x+：)的图象向右平移个单位长度则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是1 1 .设 S 是公差为d的等差数列，6 是公比为q的等比数列.已知数列。+小 的前n 项和5,=*一 +2 1(e N*),则 d+q 的值是 .1 2 .已知5 x、2+y=l(x,y G R),则+的最小值是 .1 3.在A B C 中，A B =4,A C =3,N B 4 C=90。,。在边 B C 上，延长 A D 到 P,使得 A P=9,若P A m P B +(-m)PC(m为 常 数)，则 C。的长度是 2cp1 4 .在平面直角坐标系x Oy 中，已知P（*,0）,A,B是圆C：*+（丫 一；）2 =3 6 上的两个动点，满足B 4 =P3,则 P A 8 面积的最大值是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 5 .（本小题满分1 4 分）在三棱柱A B C A iB iQ中，AB LAC,B iC _ L平面A B C,E,F 分别是A C,8 1 c的中点.（1）求证：EF 平面 A B iC i；（2）求证：平面A B iC _ L平面A B B i.1 6.（本小题满分1 4 分）在 A B C 中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=0,8 =4 5。.(1)求s inC 的值;（2）在边B C 上取一点D,4使得 co s N 4 0 c=-,求 t an N D 4 c 的值.1 7.（本小题满分1 4 分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷 底。在水平线M N上，桥 A8与/WN平行，OO为铅垂线（O在 A8上）.经 测 量，左侧曲线A。上任一点。到M N的距离九（米）与D到 OO的距离a（米）之间满足关系式九=密/：右侧曲线B 0上任一点F到M N的距离为（米）与F到 OO,的距离b（米）之间满足关系式=-上 廿+6 6己知点8到 的 距 离 为 4 0 米.（1）求桥A B 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩C D和EF,且C E为 8 0 米，其中C,E 在 A B3上（不包括端点）.桥墩EF 每米造价k（万元）、桥墩C D 每米造价5 k （万元也 0）,问OE为多少米时，桥墩C。与 EF 的总造价最低？18.（本小题满分1 6 分）在平面直角坐标系x Oy 中，已知椭圆E:工+工=1 的左、右焦点分别为凡，臼，点 A在4 3椭圆E 上且在第一象限内，A F2 M 2,直线A Fi 与椭圆E 相交于另一点8.（1）求 心 的 周 长；（2）在 x 轴上任取一点P,直线A P 与椭圆E的右准线相交于点Q,求 炉 的 的最小值;（3）设点仞 在椭圆E上，记 CM B 与Z X M 4B 的面积分别为5 i,S2,若$2=3 ,求点M的坐标.1 9.（本小题满分16分）已 知 关 于 x的 函 数 y=/（,尸爪/与（幻=米+伙女,Z?eR）在 区 间。上恒有f(x)g(x(1)若/(力=/+2&g(x)=-x2+2x,D=(-ao,+oo),求 h(x)的表达式;(2)若/(x)=X2-x+1,g(x)=knx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求)的取值范围;（3）若/(x)=X4-2X2,g(x)=4X2-8,h(x)=4(P-r)x-3六+2f2(0|r|/2),D=m,仁卜庭,7 5,求证：n-m/l-cos2 ZADC=-,tanZADC=A。5 5 cos ZADC从34而tan ZADC=tan(l 80-ZADC-Z C)=-tan(ZADC+ZC)=-tan(ZADC+ZC)1 -tan ZADC x tan ZC1 7.本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及使用数学知识分析和解决实际问题的水平.满分14分.解：(1)设的环都与M N垂直，片是相对应垂足.由条件知I,当0 5 =40时，BBX=一/x403+6x40=1 6 0,贝 4 A4,=160.由O T =1 6 0 得 OA=80.40所以 AB=OA+0 5 =80+40=120(米).（第”题）(2)以。为原点，OO,为y 轴建立平面直角坐标系x0y(如图所示).设 F(x,%),x e(0,40),则 y2=一 x3+6x,800EF=160-y2=160+!x3-6x.2 800因为 CE=80,所以 OC=80-x.设。(x-80,y),贝 ij%*(80-x)2,所以 C=160-x=160-，(8 0-X)2=-X2+4X.40 40记桥墩8 和 E F 的总造价为/(x),i 3 if(x)=k(60+x3-6x)+-Jt(x2+4x)则 800 2 40i 3=k(x3 x2+l 60)(0 x ,在x=2 时取等号.所以9 存的最小值为-4.(3)因为椭圆E:?+?=l的左、右焦点分别为耳,玲，点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2J.FtF2)则耳(一1,0),8(l,0),A(l,5.所以直线 A 8:3 x 4 y+3 =0.设 M(x,)，)，因为$2=3 5 所以点M 到直线至距离等于点O到 直 线 距 离 的 3倍.由 此 得 吐 3!=3 x W土包，5 5则 3 x 4 y+1 2 =0 或 3%-4 -6 =0.3 x-4 y+1 2 =0,由),2 得 7/+2 4%+3 2 =0,此方程无解；-1-13 x-4 y-6 =0,由,尤2 v2 得 7%2 1 2%一 4 =0,所以x=2 或工=一2.+-=1 74 317代入直线/:3 x-4 y-6 =0,对应分另i j 得 y=0或 y=1.所以点M 的坐标为(2,0)或(-47,-上19).7 71 9.本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合使用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理水平.满分16分.解：(1)由条件f(x)N/z(x)N g(x),MX2+2X+/-X2+2X.取x=0,得 02520,所以b =0.由1+2 2区，得 V+(2 -Z)x 0,此式对一切X(Y O,+OO)恒成立,所以(2-左)240,贝|味=2,此时+2 x恒成立，所以/z(x)=2 x.(2)%(%)-g(%)=k(x-1-ln x),xG(0,+o o).令(%)=x-l-I n x,贝！/(%)=令(%)=0,得 x=LxX(0,1)1(1,+)r(T)-0+(*)4极小值/所以(X)m m =。.则X-1 2I n X 恒成立，所以当且仅当 2 0 时，f(X)之g(X)恒成立.另一方面，恒成立，即/一工+1 2 丘一左恒成立,也即f(1 +女)尤+1+攵 2 0 恒成立.因为Z20,对称轴为x=F 0,所以(1 +幻2-4(1 +&)4 0,解得一 1 4 A 4 3.所以，k的取值范围是0 4 A V 3.(3)当14Y&时，由 g(x)M M x),#4x2-8 4(r3-f)x-3 r4+2 r ,整理得厂一78 0.(*)令 4=(r 一 fy-(3/-2/-8),则/=r_ 5尸 +3*+8 .记 浓)=/6-5?+3/+8(1 /7 2),则外=6 r -2 0户 +6 f=2 f(3/-1)(-3)0 恒成立，所以夕在 1,&上是减函 数,则s(0)V s(f)V*，即2 4 M )4 7.所以不等式(*)有解，设解为玉4 x 4%,所以 一，“4 2一X =A J7.当0 f l时，/(-1)-/?(-1)=3?+4?-2?-4/-1 .设 v(r)=3 t4+4?一 2户-4 f -1,vr(r)=12?+12?-4?-4 =4(/+1)(3?-1),令叭f)=0,得 t=.3当f e(O,日)时，叭。0,v(r)是增函数.v(0)=-l ,贝 1)=0,则当0 f l时，v(/)0.(或证：v(r)=(r +l)2(3 z +l)(z-l)0.)则/(1)一 (1)0,所以1 任(加，r i).因为 刀扪口-0，V 5，所 以 一+当-/W 0时，因为/(%),g(x)均为偶函数，所以-7。也成立.综上所述，n-m 0,所以5,用5,0,则J要T令、匡=2,则2 一1=当 房 工，即收一1）2=；（：一 帅,1）V%3 J解得4=2,即 后?=2,也 即 祟=4,所以数列 S J是公比为4的等比数列.因为H=q=l,所以S“=4 T.则可1(=1),3x4-2(n2).（3）设各项非负的数列 qJS eN）为 几 3”数歹U,贝I sj-sj=,即-痘=邓“+1-S”.因为4,2 0,而 4=1,所以S,+旧5“0,则令杆=%，则 c,1 =4疹1），即9,-1）3 =万（。：-1）。？1）-（*）若4M 0或 4=1,则（*）只有一解为J=l,即符合条件的数列“只有一个.(此数列为 1,0,0,0,.)3 4 7若 4 1,则(*)(c -l)(c；+C +1)=0 ,A 1 7因为c,；l,所以0；+彳 4%+1 0,则（*）只有一解为c“=l,A 1即符合条件的数列“只有一个.（此数列为1,0,0,0,.）若0 v 4vl,则。;+-%+1 =0的两根分另i j 在（0,1）与（1,+0）内，则 方 程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1,另一个大于1（记此解为t）.所以 s.M=s,或 SM=/S”.因为数列 S“从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列 SJ有无数多个，则对应的 对 有无数多个.综上所述，能存有三个各项非负的数列 4 为数列，彳的取值范围是0 4 1.数学n（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相对应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分1 0 分）平面上点4 2,-1）在矩阵M=（，对应的变换作用下得到点8（3,Y）.-1 b（1）求实数。，力的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵M B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分1 0 分）在极坐标系中，已知点4月,会在直线/c os。=2 上，点 8（a令 在 圆 C：P =4 s i n。上（其中 0 2 0,0 6?2TT）.（1）求 外，0 的值；（2）求出直线/与圆C的公共点的极坐标.C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分1 0 分）设xeR,解不等式2|x +l|+|x|4.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2 2.（本小题满分1 0 分）在三棱锥A-8 C D 中，己知C B=C D=布,BD=2,。为 B D 的中点，A O _L 平面8C D,AO=2,E为 A C 的中点.（1）求直线A 8 与。E 所成角的余弦值；（2）若点F 在 8 c 上，满足8F=，8 C,设二面角F D E C的大小为9,求 s i nO 的值.42 3.（本小题满分1 0 分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X”恰 有 2个黑球的概率为Pn,恰 有 1 个黑球的概率为qn.（1）求 Pi，q i 和 P2，7 2；（2）求2pn+qn与2pn.1+qn.1的递推关系式和X”的数学期望E（X.）（用 n 表示）.数学H（附加题）参考答案21.【选做题】A.选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解水平.满分10分.a 1 2 3 2 a-l=3,解：(1)因 为 八,=,所 以.人,-1 b-1 -4 -2 -b=-4,-2 1 _解得。=6=2,所以.1 2一 2 r(2)因为=,de t(A/)=2 x 2-lx(-l)=5 0 ,所以 M 可逆,1 22 J _从而:.5 5.B.选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解水平.满分10分.解：（1）由 qcos1=2,得 闩=4；=4sin=2,又（0,0）（即（0,=）也在圆C3 6 6上，所以02=2 或0.（2）由 ”.八得 4sin6cos6=2,所以 sin26=l.夕=4sin/因为夕之。，0 30时，原不等式可化为2x+2+x 4,解得0 x ；当一 14x40时，原不等式可化为2x+2 x 4,解得一 IMxMO；当x -l 时，原不等式可化为一2 x-2-x 4,解得2综上，原不等式的解集为 X-2 x .2 2.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象水平和运算求解水平.满分10分.解：（1）连结。C,因为CB=CD,。为8D中点，所以CO_LBD.又AO_L平面8C。，所以A0_L08,AOLOC.以 酝 元 函 为基底，建立空间直角坐标系O-xyz.因为BD=2,CB=CD=非，AO=2,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2).因为E为AC的中点，所以E(0,1,1).贝 4福=(L ，-2)，DE=1.1.1)，所以|cos|=|丽 函|l+0-2|屈AB DE 布-15所以，直线AB与DE所成角的余弦值为姮.15（2）因为点唯8c上，BF=-B C,BC=（-1,2,0）.4一 1 一 1|所 以 研 二 履=（一 75，。）.又 丽=(2,0,0),_ _ 一 7 1故 O F =B+B尸=(一,一,0).4 2设%=（七,必，4）为平面D EF 的一个法向量,则DEn.=0,一 即D F nt=0,%+y +Z 1 =0.7 1 八/+/=。，取 X 1=2,得 乂=-7,4=5,所以 4=(2,-7,5).设z=（，为Z 2）为平面D EC的一个法向量，又 反=（1,2,0）,D E-?=0,_ 即D C -n2=0,则M +%+z 0 =0，x；+2%=。，取”2,得力所 以%=(2,-1,-1).故豆=隼耳=姮.I n,|-|n21 7 7 8x 7 6 1 3所以 si n。=V l-cos2 0=双 奥2 3.【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维水平和推理论证水平.满分10分.、C；C；1 C；C 2解：pi=祗I曰=3,c C C；C 八“、1 2 7P?=5r 9曰=百c1 c1 c1 c1苫 寸 1+才,寸 q_pi _1)1 2 169 1 3 27(2)当“2 2 时，c；C,C C；”.1 2 cp=-P-+才3/-1+o，(i-p”T+q，i，1 0 I r I 1 1 1 1 1q”=才,才/i+(才,才+才 才)“I+才,才-)1 2=一q7+屋 2 4 1 2 1 22x +,得 2P+%=-p_+%-|十 3=(2幺-1 +%-1)+二从而 2pn+qn-l=-(2pn_i+qn_x-1),又 2p、+q-l =g，所以 2p+q =1+3(3严=1+(?,neN*3 1 3 3 1由，有/一 =_w(/_|一?，又不，3 y 3 3 ID所以 q”=(_-)/1+，n e N*.由，有 P =；+(_/=(一g)+；(g)+g，N 1故i-p“一巩=而x”的概率分布贝 ij E(X“)=0X(1 p 一%)+1X%+2X p.=1 +(3 e N X.012p1-p.一q“qPn