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专升本高等数学公式大全专升本高等数学公式大全求导公式表：求导公式表：；(x)x1（为实数）；(C)0（C为常数）(ax)axlna(a0,a1)；(ex)ex；1；(lnx)1；(log x)(a0,a1)axxlna(sin x)cosx；(tanx)sec2x(cosx)sin x；1；(secx)secxtanx；cos2x(cot x)csc2x1；(cscx)cscxcotx；sin2x(arccosx)11x2；(arcsinx)11x2；(arctan x)基本积分表：基本积分表：1；1.(arccot x)1x21x2（k 为常数）.特别地，当k 0时，kdx kxC(1)11x dx xC11xdx ln|x|C(a 0,a 1).axxa dx lnaCxxe dx e C0dx C.sin xdx cosxC22.dx cot xCsin2x.secxtanxdx secxC2cscxdx cosxdx sin xC.dxsec xdx tanxCcos x.cscxcotxdx cscxC11 x2dx arcsinxC1dx arctan xC1 x2 arccotxC.tan xdx ln cosx C.arccosxC.cotxdx ln sin x C.secxdx ln secxtan x C.cscxdx ln cscxcotx C.11xdx arctanCa2 x2aa.11xax2a2dx 2alnxaC.xdx arcsinC(a 0)22aa x11x a2222dx ln xx aC22.a2x122a x dxarcsin x a x C2a213sec xdxsecxtanxlnsecxtanx C2三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：2u1u2x2dusin x，cosx，u tan，dx 2221u1u21u一些初等函数：一些初等函数：幂函数:y x(为实数)指数函数：y ax(a 0,a 1)对数函数：y logax(a 0,a 1)三角函数：y sin x,y cosx,y tan x,y cot x,y secx,y cscx反三角函数：y arcsin x,y arccosx,y arctan x,y arccot xexex双曲正弦:shx 2exex双曲余弦:chx 2shxexex双曲正切:thx chxexexarshx ln(xx21）archx ln(xx21)11 xarthx ln21 x两个重要极限：两个重要极限：sin xlim1xx0 x1 lim1 lim1xxxx01xe等价无穷小量替换等价无穷小量替换当x0时,xsinxtanxarcsinxarctanxxln(1x)e 1,12,2xsin 2xtan 2x，1 x 11x1cosx x22三角函数公式：三角函数公式：诱导公式：诱导公式：函数角 A-90-90+180-180+270-270+360-360+sincosTancot-sincoscoscossinsin-tan-cotCottan-sin-cot-tan-cos-tan-cot-sin-cosTancot-cos-sinCottan-cossin-sincossincos-cot-tan-tan-cotTancot和差角公式：和差角公式：和差化积公式：和差化积公式：sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantancotcot1cot()cotcotsinsin 2sin22sinsin 2cossin22coscos 2coscos22coscos 2sinsin22cos倍角公式：倍角公式：sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2cot2cot12cot2tantan21tan22sin33sin4sin3cos34cos33cos3tantan3tan313tan2半角公式：半角公式：sintan2 1cos1coscos 2221cos1cossin1cos1cossincot 1cossin1cos21cossin1cosabc 2R余弦定理：余弦定理：c2 a2b22abcosCsin AsinBsinC2正弦定理：正弦定理：反三角函数性质：反三角函数性质：arcsin x 2arccosxarctan x 2arccot x高阶导数公式莱布尼兹（高阶导数公式莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式：(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk 1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：罗尔中值定理：f()0拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：曲率：当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds 1 y2dx,其中ytg平均曲率：K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sydM点的曲率：K lim.23s0sds(1 y)直线：K 0;1半径为a的圆：K.a定积分的近似计算：定积分的近似计算：b矩形法：f(x)abba(y0 y1 yn1)nba 1(y0 yn)y1 yn1n2ba(y0 yn)2(y2 y4 yn2)4(y1 y3 yn1)3n梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：功：W F s水压力：F p Am m引力：F k122,k为引力系数rb1函数的平均值：y f(x)dxbaa12均方根：f(t)dtbaa空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：b空间两点的距离：d M1M2(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2向量在轴上的投影：Pr juAB AB cos,是AB与u轴的夹角。Pr ju(a1a2)Pr ja1Pr ja2ab a b cos axbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosic ab axbxjaybyaxbxaybyazbzax2ay2az2 bx2by2bz2kaz,c a b sin.例：线速度：v wr.bzaxaybycyazbz ab c cos,为锐角时，cz向量的混合积：abc(ab)c bxcx代表平行六面体的体积。1、点法式：A(x x0)B(y y0)C(z z0)0，其中n A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax ByCz D 0 xyz3、截距世方程：1abc平面外任意一点到该平面的距离：d Ax0 By0Cz0 DA2 B2C2平面的方程：x x0mtx xy y0z z0空间直线的方程：0t,其中s m,n,p;参数方程：y y0ntmnpz z pt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2221abcx2y22、抛物面：z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2221abcx2y2z2双叶双曲面：222（马鞍面）1abc多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用全微分：dz zzuuudxdydu dxdydzxyxyz全微分的近似计算：z dz fx(x,y)x fy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzz uz vz fu(t),v(t)dtu tv tzz uz vz fu(x,y),v(x,y)xu xv x当u u(x,y)，v v(x,y)时，uuvvdu dxdydv dxdyxyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0，2(x)(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)0，xFzyFzFF(x,y,u,v)0(F,G)u隐函数方程组：J GG(x,y,u,v)0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：FvFuGGuvFvGvx(t)x xy y0z z0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t)(t)(t0)00z(t)在点M处的法平面方程：(t0)(x x0)(t0)(y y0)(t0)(z z0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T,GGGxGxyzGzG(x,y,z)0曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x x0y y0z z03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：方向导数与梯度：FyGy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x x0)Fy(x0,y0,z0)(y y0)Fz(x0,y0,z0)(z z0)0fff函数z f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ff函数z f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)i jxyf它与方向导数的关系是：grad f(x,y)e，其中e cosi sin j，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C2A 0,(x0,y0)为极大值B AC 0时，A 0,(x0,y0)为极小值2则：B AC 0时，无极值B2 AC 0时,不确定重积分及其应用：重积分及其应用：f(x,y)dxdy f(rcos,rsin)rdrdDD曲面z f(x,y)的面积AD z z 1 ydxdyx22平面薄片的重心：x MxMx(x,y)dD(x,y)dDD,y MyMy(x,y)dD(x,y)dDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F Fx,Fy,Fz，其中：Fx fD(x,y)xd(x y a)2222，Fy f3D(x,y)yd(x y a)2222，Fz fa3D(x,y)xd(x y a)22322柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：x rcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz F(r,z)rdrddz,y rsin,z z其中：F(r,z)f(rcos,rsin,z)x rsincos2球面坐标：y rsinsin，dv rdrsinddr r sindrddz rcos2r(,)2F(r,)r sindr0f(x,y,z)dxdydz F(r,)r sindrdddd002重心：x 1Mxdv,y 1Mydv,z 1Mzdv，其中M x dv转动惯量：Ix(y2 z2)dv，Iy(x2 z2)dv，Iz(x2 y2)dv曲线积分：曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(t),则：y(t)L x tf(x,y)ds f(t),(t)2(t)2(t)dt()特殊情况：y(t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x(t)设L的参数方程为，则：y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式：()dxdy PdxQdy格林公式：()dxdy PdxQdyxyxyDLDLQP1当P y,Q x，即：2时，得到D的面积：Adxdy xdy ydxxy2LD平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：QP在时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP。注意奇点，如(0,0)，应xyu(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0 y0 0。曲面积分：曲面积分：22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx,y,z(x,y)1 z(x,y)z(x,y)dxdyxyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy，其中：号；R(x,y,z)dxdy Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正Dxy号；P(x,y,z)dydz Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正DyzQ(x,y,z)dzdx Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdx Rdxdy(PcosQcos Rcos)ds高斯公式：高斯公式：(PQR)dv Pdydz Qdzdx Rdxdy(PcosQcos Rcos)dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：PQR散度：div,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 div 0,则为消失.xyz通量：Ands Ands(PcosQcos Rcos)ds，因此，高斯公式又可写 成：divAdv Ands斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：(RQPRQP)dydz()dzdx()dxdy PdxQdy RdzyzzxxycosyQcoszRdydzdzdxdxdycos上式左端又可写成：xyzxPQRPRQPRQP空间曲线积分与路径无关的条件：，yzzxxyijk旋度：rotAxyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdy Rdz Atds常数项级数：常数项级数：1qn等比数列：1qq q1q(n1)n等差数列：123n 2111调和级数：1是发散的23n2n1级数审敛法：级数审敛法：1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛U设：limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un 0)的审敛法 莱布尼兹定理：unun1如果交错级数满足s u1,其余项rn的绝对值rnun1。limu 0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1 u2 u3 un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1级数：n2收敛；时发散1p级数：npp 1时收敛幂级数：幂级数：1x 1时，收敛于1 x1 x x2 x3 xnx 1时，发散对于级数(3)a0a1x a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x R时发散，其中R称为收敛半径。x R时不定1 0时，R 求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则 0时，R nan 时，R 0函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(x x0)(x x0)(x x0)n2!n!f(n1)()余项：Rn(x x0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn 0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx0 0时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xx x 2!n!常用的幂级数展开式：常用的幂级数展开式：1xn1 x x21 xn0 xnx(1,1)x(,)xnx2e 1 x2!n0n!xn1nx n!x2n1x3x5sinx(1)x(2n1)!3!5!n02n24xxxcosx(1)n1(2n)!2!4!n0nx2n1(1)(2n1)!nx(,)2nx(1)n(2n)!nx(,)xn1x2x3x4ln(1 x)(1)xn1234n0欧拉公式：欧拉公式：xn1(1)n1x(1,1eixeixcosx 2ixe cosxisinx或ixixsinx e e2三角级数：三角级数：a0f(t)A0Ansin(nt n)(ancosnxbnsinnx)2n1n1其中，a0 aA0，an Ansinn，bn Ancosn，t x。正交性：1,sin x,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在,上的积分0。傅立叶级数：傅立叶级数：a0f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期 22n11(n 0,1,2)anf(x)cosnxdx其中b 1f(x)sinnxdx(n 1,2,3)n112122835111224224262正弦级数：an 0，bn余弦级数：bn 0，an11121222（相加）623411121222（相减）12234f(x)sinnxdxn 1,2,3f(x)b02nsinnx是奇函数20f(x)cosnxdxn 0,1,2f(x)a0ancosnx是偶函数2周期为周期为2l的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数：a0nxnxf(x)(ancosbnsin)，周期 2l2n1lll1nxdx(n 0,1,2)anf(x)coslll其中lb 1f(x)sinnxdx(n 1,2,3)nlll微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：一阶微分方程：y f(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy f(x)dx的形式，解法：g(y)dy f(x)dx得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyy f(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u，则u x，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：dy1、一阶线性微分方程：P(x)y Q(x)dx P(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，y CeP(x)dx P(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y (Q(x)edxC)edy2、贝努力方程：P(x)y Q(x)yn，(n 0,1)dx全微分方程：全微分方程：如果P(x,y)dxQ(x,y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy 0，其中：P(x,y)，Q(x,y)xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：二阶微分方程：f(x)0时为齐次d2ydy P(x)Q(x)y f(x)，dxdx2f(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y pyqy 0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2 pr q 0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式两个不相等实根(p 4q 0)两个相等实根(p 4q 0)一对共轭复根(p 4q 0)222(*)式的通解y c1er1xc2er2xy (c1c2x)er1xy ex(c1cosxc2sinx)r1i，r2i4q p2p，22二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程y pyqy f(x)，p,q为常数求解步骤：1、先求出非齐次线性微分方程y pyqy f(x)对应的齐次线性微分方程y pyqy 0的通解yc；2、根据f(x)设出非齐次线性微分方程y pyqy f(x)的特解yp，再把yp代入方程y pyqy f(x)解出特解yp；3、写出方程y pyqy f(x)的通解y yc yp.x如果f(x)e Pm(x)型，为常数，则方程y pyqy f(x)的特解形式为y exxkQ(x)，pm其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式，而k的选取应满足 0不是特征根.k 1是特征单根2是特征重根pmmx如果f(x)e Pl(x)cosx Pn(x)sinx型，则方程y pyqy f(x)的特解形式为y xkexR(x)cosx I(x)sinx其中Rm(x),Im(x)是两个m次多项式，mmaxl,n，0k 1 i不是特征根 i是特征根.