圆锥曲线专题圆锥曲线中的最值和范围问题.pdf

圆锥曲线中参数范围与最值问题圆锥曲线中参数范围与最值问题【方法技巧与总结】1.求最值问题常用的两种方法【方法技巧与总结】1.求最值问题常用的两种方法(1 1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法(2 2)代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法2.求参数范围问题的常用方法构建所求几何量的含参一元函数，形如代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法2.求参数范围问题的常用方法构建所求几何量的含参一元函数，形如AB=fk，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：a(a0 0)；(3 3)反比例函数；反比例函数；(4 4)分式函数若出现非常规函数，则分式函数若出现非常规函数，则x可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决这里找自变量的取值范围在 可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决这里找自变量的取值范围在 0或者换0或者换(1 1)二次函数；二次函数；(2 2)“对勾函数”“对勾函数”y=x+元的过程中产生除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系利用基本不等式求出参数的取值范围利用函数值域的求法，确定参数的取值范围【题型归纳目录】题型一：弦长最值问题题型二：三角形面积最值问题题型三：四边形面积最值问题题型四：弦长的取值范围问题题型五：三角形面积的取值范围问题题型六：四边形面积的取值范围问题题型七：向量数量积的取值范围问题题型八：参数的取值范围【典例例题】题型一：弦长最值问题元的过程中产生除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系利用基本不等式求出参数的取值范围利用函数值域的求法，确定参数的取值范围【题型归纳目录】题型一：弦长最值问题题型二：三角形面积最值问题题型三：四边形面积最值问题题型四：弦长的取值范围问题题型五：三角形面积的取值范围问题题型六：四边形面积的取值范围问题题型七：向量数量积的取值范围问题题型八：参数的取值范围【典例例题】题型一：弦长最值问题y2 2x2 2例1.已知圆例1.已知圆O:x+y=r的任意一条切线的任意一条切线l与椭圆与椭圆M:+=1都有两个不同的交点1都有两个不同的交点A，B6363(1 1)求圆求圆O半径半径r的取值范围；的取值范围；(2 2)是否存在圆是否存在圆 O，满足，满足OAOB恒成立？若存在，求出圆恒成立？若存在，求出圆 O的方程及的方程及|OA|OB|的最大值；若不存在，的最大值；若不存在，222222说明理由说明理由y2 2x2 2【解析】解：(1 1)要使圆O:x+y=r的任意一条切线l与椭圆M:+=1 1都有两个不同的交点，6363则圆必在椭圆的内部，0 0r b 0 0)的离心率为的离心率为，过椭圆右焦点过椭圆右焦点 F 作两条相互作两条相互2 2ab垂直的弦，垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为当其中一条弦所在直线斜率为0 0时，时，两弦长之和为两弦长之和为6 62 2(1 1)求椭圆的方程；求椭圆的方程；(2 2)A，B是抛物线是抛物线 C2 2:x2 2=4 4y上两点，上两点，且且 A，B处的切线相互垂直，处的切线相互垂直，直线直线 AB与椭圆与椭圆 C1 1相交于相交于 C，D两点，两点，求弦求弦|CD|的最大值的最大值yx2 22 2【解析】解：(1 1)椭圆C1 1:2 2+2 2=1 1(ab0 0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，2 2ab当其中一条弦所在直线斜率为0 0时，两弦长之和为6 6，2 2c2 2e e=a=2 22 2a+2 2b2 2=6 6，解得a=2 2，b=c=2 2，a2 22 2a=b+c2 2yx2 2椭圆方程为+=1 14 42 2(2 2)设直线AB为：y=kx+m，A(x1 1，y1 1)，B(x2 2，y2 2)，C(x3 3，y3 3)，D(x4 4，y4 4)，2 2y=kx+m得x2 2-4 4kx-4 4m=0 0，x2 2=4 4y，则x1 1+x2 2=4 4k，x1 1x2 2=-4 4m，x由x2 2=4 4y，得y=，2 2xx故切线PA，PB的斜率分别为kPA=1 1，kPB=2 2，2 22 2再由PAPB，得kPAkPB=-1 1，xxx x-4 4m1 12 2=1 12 2=-m=-1 1，2 22 24 44 4解得m=1 1，这说明直线AB过抛物线C1 1的焦点F，由y=kx+1 1由x2 2，得(1 1+2 2k2 2)x2 2+4 4kx-2 2=0 0，y2 2+=1 14 42 2(4 4k)2 2-4 4(1 1+2 2k2 2)(-2 2)2 2|CD|=1 1+k=1 1+k2 22 21 1+2 2k 8 8(1 1+4 4k2 2)3 31 1+2 2k2 22 2时取等号，2 2弦|CD|的最大值为3 3当且仅当k=yx2 22 22 2 6 6例例3.3.设椭圆设椭圆C:2 2+2 2=1 1(ab0 0)经过点经过点,，且其左焦点坐标为且其左焦点坐标为(-1 1,0 0)3 33 3ab()求椭圆的方程；求椭圆的方程；2 2()过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l，m，其中其中 l 交椭圆于交椭圆于 M，N，m 交椭圆于交椭圆于 P，Q，求求|MN|+|PQ|的最小值的最小值y2 2x2 22 22 2 6 6【解析】解：()椭圆C:2 2+2 2=1 1(ab0 0)经过点,，且其左焦点坐标为(-1 1,0 0)，3 33 3abc=1 1，2 2a=2525+2424+1 1+2424=4 4，b=a2 2-c2 2=3 3，9 99 99 99 92 2yx2 2椭圆的方程为：+=1 1(4 4分)4 43 3()当直线l1 1，l2 2中有一条直线的斜率不存在时，|MN|+|PQ|=7 7(5 5分)当直线l1 1的斜率存在且不为0 0时，设直线l1 1的方程y=k(x-1 1)，设M(x1 1，y1 1)，N(x2 2，y2 2)，y=k(x-1 1)由x2 2，得(3 3+4 4k2 2)x2 2-8 8k2 2x+4 4k2 2-1212=0 0，y2 2+=1 14 43 38 8k2 24 4k2 2-1212x1 1+x2 2=，x1 1x2 2=，3 3+4 4k2 23 3+4 4k2 2 1212(1 1+k2 2)|MN|=(1 1+k)(x1 1-x2 2)=1 1+k(x1 1+x2 2)-4 4x1 1x2 2=，3 3+4 4k2 21212(1 1+k2 2)1 1设直线l2 2的方程为y=-(x-1 1)，同理得：|PQ|=，k4 4+3 3k2 28484(k2 2+1 1)2 2所以|MN|+|PQ|=，(9 9分)(4 4+3 3k2 2)(3 3+4 4k2 2)1 11 14848设t=k2 2+1 1，则t1 1，所以=时，|MN|+|PQ|有最小值b0 0)上，上，且点且点Q到到C的两焦点的距离之和为的两焦点的距离之和为4 4 2 2ab(1 1)求求C的方程；的方程；8 8(2 2)设圆设圆O:x2 2+y2 2=上任意一点上任意一点P处的切线处的切线l交交C于点于点M，N，求求|OM|ON|的最小值的最小值5 54 41 1【解析】解：(1 1)由题意可得2 2+2 2=1 1，且2 2a=4 4 2 2，ab解得a=2 2 2 2，b=2 2，y2 2x2 2所以椭圆C的方程为+=1 1；8 82 24040(2 2)当直线MN的斜率不存在时，可设切线方程为x=，5 52 2 10102 2 10102 2 10102 2 1010代入椭圆x2 2+4 4y2 2=8 8，可得M，N，-，5 55 55 55 5 1616则OMON=0 0，且|OM|ON|=；5 5当直线MN的斜率存在时，设切线的方程为y=kx+m，2 2由切线与圆x2 2+y2 2=化为5 5m2 2=8 8+8 8k2 2，8 8相切，可得5 5|m|=1 1+k2 28 8，5 5由y=kx+m与椭圆方程联立，可得(1 1+4 4k2 2)x2 2+8km8kmx+4 4m2 2-8 8=0 0，8km8km4 4m2 2-8 8设M(x1 1，y1 1)，N(x2 2，y2 2)，则x1 1+x2 2=-，x1 1x2 2=，1 1+4 4k2 21 1+4 4k2 2 OM ON=x1 1x2 2+y1 1y2 2=x1 1x2 2+(kx1 1+m)(kx2 2+m)=(1 1+k2 2)x1 1x2 2+kmkm(x1 1+x2 2)+m2 2 4 4m2 2-8 88km8km8 8+8 8k2 22 22 2=(1 1+k2 2)+kmkm-+m，代入m=，可得OMON=0 0，1 1+4 4k2 25 51 1+4 4k2 2即OMON，由OPMN，所以|OM|ON|=|OP|MN|=2 22 28 8|MN|，5 52 22 26464k2 2m2 2-4 4(4 4m-8 8)(1 1+4 4k2 2)2 21 1+4 4k2 2而|MN|=1 1+k(x1 1+x2 2)-4 4x1 1x2 2=1 1+k 4 4 2 2+8 8k2 2-m2 21 1+4 4k2 22 22 23232k4 4+4 4 10105 55 52 2=1 1+k=2 25 51 1+4 4k当k=0 0时，上式取得等号=1 1+k2 2所以|OM|ON|的最小值为1616k4 4+1717k2 2+1 1=4 4 10105 51616k4 4+8 8k2 2+1 12 24 4 10109 9k1 1+，4 42 25 51616k+8 8k+1 18 84 4 1010=16165 55 55 5y2 2x2 2变式变式2.2.已知椭圆已知椭圆2 2+2 2=1 1(ab0 0)的左、的左、右焦点分别为右焦点分别为 F1 1、F2 2，焦距为焦距为2 2，点点E在椭圆上当线段在椭圆上当线段 EF2 2的的ab2 2-1 1中垂线经过中垂线经过F1 1时，时，恰有恰有coscosEF2 2F1 1=2 2(1 1)求椭圆的标准方程；求椭圆的标准方程；(2 2)直线直线 l 与椭圆相交于与椭圆相交于 A、B 两点，两点，且且|AB|=2 2，P 是以是以 AB 为直径的圆上任意一点，为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，为坐标原点，求求|OP|的最大值的最大值【解析】解：(1 1)由焦距为2 2知c=1 1，连结EF1 1，线段EF2 2的中垂线经过F1 1时，|EF1 1|=2 2c=2 2，|F2 2N|2 2-1 12 2-1 1coscosEF2 2F1 1=|F2 2N|=2 2-1 1，2 22 2|F1 1F2 2|EF2 2|=2 2 2 2-2 2，2 2a=|EF1 1|+|EF2 2|=2 2 2 2，a=2 2，x2 2由所以椭圆方程为+y2 2=1 1；2 2(2 2)当l的斜率不存在时，AB恰为短轴，此时|OP|=1 1；x2 2+y2 2=1 1当l的斜率存在时，设l:y=kx+m联立2 2，得到(2 2k2 2+1 1)x2 2+4km4kmx+2 2m2 2-2 2=0 0，y=kx+m-4km4km2 2m2 2-2 22 22 2=1616k-8 8m+8 80 0，x1 1+x2 2=2 2，x1 1x2 2=2 2k+1 12 2k2 2+1 12 2 2 2 1 1+2 2k2 2-m2 22 2k2 2+1 12 2|AB|=1 1+k2 2=2 2，化简得m=2 2k2 2+1 12 2k2 2+2 2-2km2kmm4 4k2 2+1 12 22 2又设M是弦AB的中点，M2 2,2 2，|OM|=2 2m，2 22 2k+1 1 2 2k+1 1(2 2k+1 1)4 4k2 2+1 12 2k2 2+1 14 4k2 2+1 1|OM|=，令4 4k2 2+1 1=t1 1，2 22 22 22 22 2(2 2k+1 1)2 2k+2 2(2 2k+1 1)(2 2k+2 2)4 4t4 44 4则|OM|2 2=4 4-2 2 3 3，|OM|4 4-2 2 3 3=3 3-1 1(仅当 t=3 3(t+1 1)(t+3 3)2 2 3 3+4 4t+4 4t3 3 时取等)，3 3-1 1又|OP|OM|+|MP|=|OM|+1 13 3(仅当k2 2=时取等号)4 4综上，|OP|maxmax=3 32 2题型二：题型二：三角形面积最值问题三角形面积最值问题y2 2x2 22 2例例4.4.已知椭圆已知椭圆 C:2 2+2 2=1 1(ab0 0)的离心率是的离心率是，F1 1，F2 2分别是椭圆分别是椭圆 C的左、的左、右焦点以线段右焦点以线段|F1 1F2 2|2 2ab为直径的圆的内接正三角形的边长为为直径的圆的内接正三角形的边长为6 6(1 1)求椭圆求椭圆C的标准方程；的标准方程；(2 2)已知点已知点P(6 6，2 2 6 6)，直线直线l:y=x+m与椭圆与椭圆C交于交于A，B两点，两点，求求 PAB面积的最大值面积的最大值c2 26 6【解析】解：(1 1)由题意可知，e e=，=2 2c，所以a=2 2，c=2 2，a2 2sin60sin60所以b2 2=a2 2-c2 2=2 2，y2 2x2 2所以椭圆C的标准方程为：+=1 1；4 42 2(2 2)方法一：设点A(x1 1，y1 1)，B(x2 2，y2 2)，2 2x2 2+y=1 1由4 4，消去y，整理得：3 3x2 2+4 4mx+2 2m2 2-4 4=0 0，2 2y=x+m 则=1616m2 2-1212(2 2m2 2-4 4)=-8 8m2 2+48480 0，所以m2 26 6，所以-6 6 m6 6，4 4m2 2m2 2-4 4所以x1 1+x2 2=-，x1 1x2 2=，3 33 32 22 24 4 6 6-m2 24 4m2 2m-4 42 22 2所以|AB|=1 1+k(x1 1+x2 2)-4 4x1 1x2 2=1 1+1 1-4 4=，3 33 33 3|6 6-2 2 6 6+m|m-6 6|P(6 6,2 2 6 6)到直线l:x-y+m=0 0的距离为d=，2 21 12 2+(-1 1)2 21 11 14 4 6 6-m2 2|m-6 6|2 2所以S PAB=|AB|d=(6 6-m)6 6-m2 2，2 22 23 33 32 2设6 6-m=t(0 0,2 2 6 6)，则m=6 6-t，2 22 22 22 2所以S PAB=t-(t-6 6)2 2+6 6=t(-t2 2+2 2 6 6t)=-t4 4+2 2 6 6t3 3，3 33 33 3令g(t)=-t4 4+2 2 6 6t3 3，t(0 0,2 2 6 6)，3 3 6 6则g(t)=-4 4t3 3+6 6 6 6t2 2=2 2t2 2(-2 2t+3 3 6 6)，当0 0t0 0，g(t)单调递增，2 23 3 6 6当t2 2 6 6 时，g(t)b0 0)经过点经过点D(2 2,0 0)，E1 1,两点两点2 2ab(1 1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程；2 2(2 2)若直线若直线 l:y=kx+m与椭圆与椭圆 C交于不同两点交于不同两点 A，B，点点G是线段是线段 AB的中点，的中点，点点O为坐标原点，为坐标原点，设射线设射线 OG交椭圆交椭圆C于点于点Q，且且OQ=OG证明：证明：2 2m2 2=4 4k2 2+1 1；求求 AOB的面积的面积S()的解析式，的解析式，并计算并计算S()的最大值的最大值y2 2x2 23 3【解析】(1 1)解：椭圆C:2 2+2 2=1 1(ab0 0)经过点D(2 2,0 0)，E1 1,两点，2 2ab4 4a2 2=1 1，1 1+3 3=1 1a2 24 4b2 2解得a=2 2，b=1 1，x2 2椭圆方程为+y2 2=1 14 4(2 2)证明：令A(x1 1，y1 1)，B(x2 2，y2 2)，y=kx+m，消去y，得(1 1+4 4k2 2)x2 2+8km8kmx+4 4m2 2-4 4=0 0，2 22 2 x+4 4y=4 4=(8km8km)2 2-4 4(1 1+4 4k2 2)(4 4m2 2-4 4)0 0m2 21 1，2 22 24 4 1 1+4 4k2 2-m2 2-8km8km4 4m-4 4|x1 1-x2 2|=-4 4=，1 1+4 4k2 21 1+4 4k2 21 1+4 4k2 21 1在 AOB中，S AOB=|m|x1 1-x2 2|，2 22 2|m|2 2m2 2-m2 22 2 2 2-1 1S()=，1 1，2 2m2 22 2令2 2-1 1=t，t0 0，2 2t2 22 2=b0 0)的短轴顶点分别为的短轴顶点分别为 A，B，且短轴长为且短轴长为 2 2，T为椭圆上异于为椭圆上异于 A，B的任的任ab1 1意一点，意一点，直线直线TA，TBTB的斜率之积为的斜率之积为-3 3(1 1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程；3 3(2 2)设设O为坐标原点，为坐标原点，圆圆O:x2 2+y2 2=的切线的切线l与椭圆与椭圆C相交于相交于P，Q两点，两点，求求 POQ面积的最大值面积的最大值4 4【解析】解：(1 1)由题意可知2 2b=2 2，b=1 1，A(0 0,1 1)，B(0 0,-1 1)，2 2x0 02 2设T(x0 0，y0 0)，满足2 2+y0 0=1 1，a2 2y0 0-1 1y0 0+1 1y0 0-1 11 11 1由kTAkTB=-2 2=-，则a2 2=3 3，2 2x0 0 x0 03 3x0 0ax2 2所以椭圆C的方程：+y2 2=1 1；3 3(2 2)设直线PQ的方程：x=my+t，P(x1 1，y1 1)，Q(x2 2，y2 2)，|t|3 33 32 2由O到直线PQ的距离d=，即t=(1 1+m2 2)，2 22 24 41 1+mx=my+t联立方程组x2 2，消去x，整理得(m2 2+3 3)y2 2+2 2mty+t2 2-3 3=0 0，2 2+y=1 13 3则=(2 2mt)2 2-4 4(m2 2+3 3)(t2 2-3 3)=1212(m2 2-t2 2+3 3)=3 3(m2 2+9 9)0 0，2 2mtt2 2-3 3y1 1+y2 2=-2 2，y1 1y2 2=2 2，m+3 3m+3 3(1 1+m2 2)(m2 2+9 9)2 22 2则|PQ|=1 1+m(y1 1+y2 2)-4 4y1 1y2 2=3 3，(m2 2+3 3)2 23 3+3 3m2 2+m2 2+9 92 2=4 4，(1 1+m2 2)(m2 2+9 9)(3 3+3 3m2 2)(m2 2+9 9)2 21 11 1由=当且仅当 3 3+3 3m2 2=2 22 22 22 22 22 23 33 33 3(m+3 3)(m+3 3)(m+3 3)m2 2+9 9，即m2 2=3 3，m=3 3 时取等号，(1 1+m2 2)(m2 2+9 9)2 2所以|PQ|=3 3 3 3=2 2，2 22 2(m+3 3)3 31 13 31 13 33 3所以 POQ面积S=|PQ|2 2=，2 22 22 22 22 23 3所以 POQ面积的最大值2 2yx2 23 31 1变式变式3.3.已知椭圆已知椭圆C:2 2+2 2=1 1(ab0 0)的焦距为的焦距为2 2 2 2，且经过点且经过点,2 22 2ab(1 1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程；2 2(2 2)过点过点P(0 0,2 2)的直线交椭圆的直线交椭圆C于于A、B两点，两点，求求 AOB(O为原点为原点)面积的最大值面积的最大值【解析】解：(1 1)由2 2c=2 2 2 2 c=2 2 a2 2-b2 2=2 2，3 31 19 91 1由椭圆C经过点,，得2 2+2 2=1 1，2 22 24 4a4 4b联立，解得b=1 1，a=3 3，x2 2椭圆C的方程是+y2 2=1 13 3(2 2)由题意可知直线AB一定存在斜率，设其方程为y=kx+2 2，y=kx+2 2联立x2 2，消去y，得(1 1+3 3k)x2 2+1212kx+9 9=0 0，2 2+y=1 13 3则=144144k2 2-3636(1 1+3 3k2 2)0 0，得k2 21 1，1212k9 9设A(x1 1，y1 1)，B(x2 2，y2 2)，则x1 1+x2 2=-x1 1x2 2=，2 2，1 1+3 3k1 1+3 3k2 21 1S AOB=|S POB-S POA|=2 2|x1 1-x2 2|=|x1 1-x2 2|，2 23636(k2 2-1 1)1212k2 236362 22 2(x1 1-x2 2)=(x1 1+x2 2)-4 4x1 1x2 2=-=，1 1+3 3k2 21 1+3 3k2 2(1 1+3 3k2 2)2 2设k2 2-1 1=t(t0 0)，3636t363636363 3则(x1 1-x2 2)2 2=，16164 4(3 3t+4 4)2 216169 9t+24242 29 9t+2424tt16164 4当且仅当9 9t=，即t=时等号成立，t3 37 73 3此时k2 2=1 1，符合题意，此时 AOB面积取得最大值3 32 2 y2 2x2 26 63 31 1变式变式4.4.在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy中，中，已知椭圆已知椭圆 C:2 2+2 2=1 1(ab0 0)的离心率为的离心率为，且点且点,在椭圆在椭圆3 32 22 2abC上上(1 1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程；(2 2)过点过点P(0 0,2 2)的直线的直线l交椭圆交椭圆C于于A，B两点，两点，求求 AOB的面积最大时的面积最大时l的方程的方程c6 6【解析】解：(1 1)由题意可得e e=，又a2 2-b2 2=c2 2，a3 33 31 19 91 1点,在椭圆C上，可得2 2+2 2=1 1，2 22 24 4a4 4b解方程可得a=3 3，b=1 1，x2 2即有椭圆的方程为+y2 2=1 1；3 3(2 2)设过点P(0 0,2 2)的直线l的方程为x=m(y-2 2)，代入椭圆方程，可得(3 3+m2 2)y2 2+4 4m2 2y+4 4m2 2-3 3=0 0，判别式为1616m4 4-4 4(3 3+m2 2)(4 4m2 2-3 3)0 0，即有-1 1m1 1，4 4m2 24 4m2 2-3 3设A(x1 1，y1 1)，B(x2 2，y2 2)，则y1 1+y2 2=-，y1 1y2 2=，3 3+m2 23 3+m2 24 44 4(4 4m2 2-3 3)1616m2 22 2|AB|=1 1+m|y1 1-y2 2|=1 1+m-(3 3+m2 2)2 23 3+m2 22 21 1-m=6 6 1 1+m，(3 3+m2 2)2 2|2 2m|由O到直线l的距离d=，2 21 1+m1 1则 AOB的面积为S=d|AB|=6 6|m|2 22 21 1-m2 2，(3 3+m2 2)2 2令t=1 1-m2 2，(0 0t1 1)，即有S=6 6(1 1-t)t，(4 4-t)2 2t-t2 27 7t-4 4由 f(t)=，2 2的导数为 f(t)=(t-4 4)(t-4 4)3 34 44 4当0 0t时，f(t)递增，tb0 0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭且椭ab2 2圆经过点圆经过点2 2，2 2(1 1)求椭圆求椭圆M的标准方程；的标准方程；(2 2)直线直线 l:x=ky+n与椭圆与椭圆 M相交于相交于 A，B两点，两点，且以线段且以线段 AB为直径的圆过椭圆的右顶点为直径的圆过椭圆的右顶点 C，求求 ABC面积的最大值面积的最大值【解析】解：(1 1)根据题意，设椭圆的上下顶点为B1 1(0 0,b)，B2 2(0 0,-b)，左焦点为F1 1(-c,0 0)，则B1 1B2 2F1 1是正三角形，所以2 2b=c2 2+b2 2=a，y2 2x2 2则椭圆方程为2 2+2 2=1 1，4 4bb2 22 21 1将2 2，代入椭圆方程，可得2 2+2 2=1 1，解得a=2 2，b=1 1，2 24 4b2 2bx2 2故椭圆的方程为：+y2 2=1 1；4 4x2 2+y2 2=1 1(2 2)由题意，设直线l的方程为x=ky+n，联立4 4，整理可得：(4 4+k2 2)y2 2+2 2kny+n2 2-4 4=0 0，x=ky+n2 2knn2 2-4 4设A(x1 1，y1 1)，B(x2 2，y2 2)，则y1 1+y2 2=-，y1 1y2 2=，4 4+k2 24 4+k2 2因为以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C(2 2,0 0)，所以CACB=0 0由CA=(x1 1-2 2，y1 1)，CB=(x2 2-2 2，y2 2)，则(x1 1-2 2)(x2 2-2 2)+y1 1y2 2=0 0，将x1 1=ky1 1+n，x2 2=ky2 2+n代入上式并整理得(1 1+k2 2)y1 1y2 2+k(n-2 2)(y1 1+y2 2)+(n-2 2)2 2=0 0，(1 1+k2 2)(n2 2-4 4)-2 2k2 2n(n-2 2)则+(n-2 2)2 2=0 0，2 22 24 4+k4 4+k6 6化简可得(5 5n-6 6)(n-2 2)=0 0，解得：n=，或n=2 2，5 5因为直线x=ky+n不过点C(2 2,0 0)，6 66 6所以n2 2，故n=所以直线l恒过点，0 0 5 55 51 1故S ABC=|DC|y1 1-y2 2|2 21 16 6=2 2-(y1 1+y2 2)2 2-4 4y1 1y2 22 25 5-1212k2 24 43636-4 42 25 52525-=2 25 5 4 4+k 4 4+k2 22525(4 4+k2 2)-2626(4 4+k2 2)2 21 11 1设t=2 20 0b0 0)的左、的左、右焦点分别是右焦点分别是 F1 1，F2 2，离心率离心率 e eab1 1=，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：完成下面的问题：2 23 3椭圆椭圆C过点过点1 1,；2 2以点以点 F1 1为圆心，为圆心，3 3为半径的圆与以点为半径的圆与以点 F2 2为圆心，为圆心，1 1为半径的圆相交，为半径的圆相交，且交点在椭圆且交点在椭圆 C上上(只能从中只能从中2 2选择一个作为已知选择一个作为已知)(1 1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程；(2 2)已知过点已知过点 F2 2的直线的直线 l交椭圆交椭圆 C于于M，N两点，两点，点点 N关于关于 x轴的对称点为轴的对称点为 N，且且F2 2，M，N三点构成一三点构成一个三角形，个三角形，求证直线求证直线MN过定点，过定点，并求并求F2 2MN面积的最大值面积的最大值c1 1e e=a=2 2a2 2=4 41 19 9【解析】解：(1 1)选：由题意知+，2 2 2 22 2=1 1b=3 34 4ba2 22 2a=b+c2 2y2 2x2 2所以椭圆C的方程为+=1 1选：设圆F1 1与圆F2 2相交于点Q4 43 3由题意知：|QF1 1|+|QF2 2|=3 3+1 1=4 4又因为点Q在椭圆上，所以2 2a=4 4，a=2 2y2 2c1 1x2 22 2又因为e e=-，c=1 1，b=3 3所以椭圆C的方程为+=1 1a2 24 43 3(2 2)由题易知直线MN斜率存在且不为0 0，因为F2 2(1 1,0 0)，故设直线MN的方程为x=ty+1 1，x=ty+1 1设M(x1 1，y1 1)，N(x2 2，y2 2)，x2 2，y2 2+=1 14 43 3-6 6t-9 9(3 3t2 2+4 4)y2 2+6 6ty-9 9=0 0，y1 1+y2 2=2 2，y1 1y2 2=2 2，3 3t+4 43 3t+4 4因为点N关于x轴的对称点为N，所以N(x2 2，-y2 2)，y1 1+y2 2所以直线MN的方程为y+y2 2=(x-x2 2)，x1 1-x2 2y2 2(x1 1-x2 2)x1 1y2 2+x2 2y1 1令y=0 0，x=x2 2+=又x=ty+1 1，y1 1+y2 2y1 1+y2 2-9 9-1818t2 2t3 32 2ty1 1y2 2+y1 1+y2 22 2ty1 1y2 23 3t+4 43 3t2 2+4 4x=+1 1=+1 1=3 3+1 1=4 4y1 1+y2 2y1 1+y2 2-6 6t-6 6t3 3t2 2+4 43 3t2 2+4 4所以直线MN过定点E(4 4,0 0)，6 6|t|1 11 1-6 6t3 33 36 63 3 3 3SF MN=|F2 2E|y1 1+y2 2|=3 3=2 2=2 22 22 22 22 24 44 43 3t+4 43 3t+4 43 3|t|+|t|4 42 2 3 3当且仅当3 3|t|=，即t=时，取等号3 3|t|2 2所以F2 2MN面积的最大值为3 3 3 34 4x2 2变式变式7.7.已知椭圆已知椭圆C:+y2 2=1 1的左、的左、右焦点分别是右焦点分别是F1 1，F2 2，过过F2 2的直线的直线l与椭圆相交于与椭圆相交于A，B两点两点2 2(1 1)若直线若直线l的倾斜角为的倾斜角为4545，试求试求AB的中点坐标；的中点坐标；(2 2)求求 ABF1 1面积的最大值及此时直线面积的最大值及此时直线l的方程的方程x2 2【解析】解：(1 1)椭圆+y2 2=1 1的左焦点F1 1(-1 1,0 0)，F2 2(1 1,0 0)，2 2过F2 2且倾斜角为4545的直线l为y=x-1 1，设A(x1 1，y1 1)，B(x2 2，y2 2)，y=x-1 1联立方程组：x2 2，消去y得：3 3x2 2-4 4x=0 0，2 2+y=1 12 24 42 2则x1 1+x2 2=，所以y1 1+y2 2=x1 1+x2 2-2 2=-，3 33 32 21 1则AB的中点坐标为，-；3 33 3(2 2)当直线l垂直x轴时，直线l的方程为x=1 1，2 21 11 1代入椭圆方程可得y=，此时|AB|=2 2，则SABF=|AB|F1 1F2 2|=2 2 2 2=2 2；2 22 22 2当直线l不垂直x轴时，设直线方程为x=ty+1 1(t0 0)，1 1x=ty+1 1联立x2 2，得(t2 2+2 2)y2 2+2 2ty-1 1=0 0，2 2+y=1 12 22 2t1 1y1 1+y2 2=-2 2，y1 1y2 2=-2 2，t+2 2t+2 22 22 2 2 2 t2 2+1 14 4t1 12 2|y1 1-y2 2|=(y1 1+y2 2)-4 4y1 1y2 2=+4 42 2=(t2 2+2 2)2 2t+2 2t2 2+2 2 1 12 2 2 2 t2 2+1 1SABF=|y1 1-y2 2|2 2=|y1 1-y2 2|=，2 2t2 2+2 22 2 2 2m2 2 2 22 2 2 2令t2 2+1 1=m(m1 1)，则t2 2=m2 2-1 1，则SABF=2 2=0 0，|AD|=(1 1+t)(y1 1+y2 2)-4 4y1 1y2 2=1 1+t，3 3t2 2+4 42 2又到的距离为d=，2 21 1+t1212 1 1+t2 2SADF=，令m=1 1+t2 21 1，2 23 3t+4 41212则SADF=，1 13 3m+m1 1y=3 3m+在1 1，+)上单调递增m当m=1 1即t=0 0时，SADF取得最大值3 3，2 22 22 22 22 22 2所以四边形面积的最大值为3 3例例8.8.已知抛物线已知抛物线 C:x2 2=2 2py(p 0 0)的焦点为的焦点为 F，直线直线 y=kx+2 2 与抛物线与抛物线 C 交于交于 A，B 两点，两点，若若 k=1 1，则则|BF|-|AF|=4 4 3 3(1 1)求抛物线求抛物线C的方程；的方程；(2 2)分别过点分别过点 A，B作抛物线作抛物线 C的切线的切线 l1 1、l2 2，若若l1 1，l2 2分别交分别交 x轴于点轴于点 M，N，求四边形求四边形 ABNM面积的最小面积的最小值值【解析】解：(1 1)抛物线x2 2=2 2py(p0 0)的焦点为F0 0,p，2 2设A(x1 1，y1 1)，B(x2 2，y2 2)，则AB方程y=kx+2 2与抛物线方程联立，整理得x2 2-2 2pkx-4 4p=0 0，x1 1+x2 2=2 2pk，x1 1x2 2=-4 4p，|x1 1-x2 2|=(x1 1+x2 2)2 2-4 4x1 1x2 2=4 4p2 2k2 2+1616p若k=1 1，|BF|-|AF|=|y1 1-y2 2|=k|x1 1-x2 2|=4 4p2 2+1616p=4 4 3 3，p=2 2，即抛物线C的方程为x2 2=4 4y(2 2)(方法一)x2 21 1由(1 1)知y=且x1 1+x2 2=4 4k，x1 1x2 2=-8 8，|x1 1-x2 2|=4 4 k2 2+2 2，y=x，4 42 21 11 11 12 2所以切线l1 1的方程为y-y1 1=x1 1(x-x1 1)即y=x1 1x-x1 1，2 22 24 41 11 12 2同理切线l2 2的方程为y=x2 2x-x2 2，2 24 4x+x2 21 1联立得x=1 1，y=x1 1x2 2=-2 2，2 24 4x+x2 2即切线l1 1与l2 2的交点为P1 1,-2 2，2 2xx1 11 12 2由切线l1 1:y=x1 1x-x1 1，得M1 1,0 0，同理可得N2 2,0 0，2 24 42 22 2xx1 11 1S PMN=2 21 1-2 2=|x1 1-x2 2|=2 2 k2 2+2 2，2 22 22 22 2又|AB|=1 1+k2 2|x1 1-x2 2|=4 4 1 1+k2 2k2 2+2 2，k(x1 1+x2 2)+4 42 2|2 2k2 2+4 4|点P到直线AB的距离为d=，1 1+k2 21 1+k2 21 1S PAB=|AB|d=4 4 k2 2+2 2|k2 2+2 2|，(1010分)2 2四边形ABNM的面积S=S PAB-S PMN=4 4 k2 2+2 2(k2 2+2 2)-2 2 k2 2+2 2=2 2 k2 2+2 2(2 2k2 2+3