椭圆标准方程及几何性质学习教案.pptx

椭圆标准方程及几何椭圆标准方程及几何(j h)性质性质第一页，共78页。第一节第一节 椭圆椭圆(tuyun)的的 标准方程标准方程第1页/共78页第二页，共78页。2008年9月25日晚21时10分04秒，“神舟 七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空(shn kn)，实现了太空行走，标志着我国航天事业又上了一个新台阶。第2页/共78页第三页，共78页。第3页/共78页第四页，共78页。生活(shnghu)中的椭圆第4页/共78页第五页，共78页。数学数学数学数学(shxu)(shxu)(shxu)(shxu)实实实实验：验：验：验：新课讲解(jingji)第5页/共78页第六页，共78页。结合实验以及结合实验以及(yj)“圆的定义圆的定义”,思考讨论一下应该思考讨论一下应该如何定义椭圆？如何定义椭圆？思考思考思考思考(sko)(sko)：F1F2M第6页/共78页第七页，共78页。F1F2M平面内到两个定点平面内到两个定点平面内到两个定点平面内到两个定点F1F1、F2F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数的距离的和等于常数的距离的和等于常数(chngsh)(chngsh)（大于（大于（大于（大于|F1F2|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点这两个定点这两个定点这两个定点F1F1、F2F2叫做椭圆的焦点叫做椭圆的焦点叫做椭圆的焦点叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。两焦点之间的距离叫做焦距。两焦点之间的距离叫做焦距。两焦点之间的距离叫做焦距。1 1、椭圆、椭圆(tuyun)(tuyun)的定义的定义 如果设轨迹上任一点如果设轨迹上任一点M到两定点到两定点F1、F2的距离的距离(jl)和和为常数为常数2a，两定点之间的距离，两定点之间的距离(jl)为为2c，则椭圆定，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：义还可以用集合语言表示为：P=M|MF1|+|MF2|=2a（2a2c）第7页/共78页第八页，共78页。平面内到两个定点平面内到两个定点平面内到两个定点平面内到两个定点(dn din)F1(dn din)F1、F2F2的距离的和等的距离的和等的距离的和等的距离的和等于常于常于常于常数（大于数（大于数（大于数（大于|F1F2|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点这两个定点这两个定点这两个定点(dn din)F1(dn din)F1、F2F2叫做椭圆的焦点叫做椭圆的焦点叫做椭圆的焦点叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。两焦点之间的距离叫做焦距。两焦点之间的距离叫做焦距。两焦点之间的距离叫做焦距。（1 1）平面曲线）平面曲线（2 2）到两定点）到两定点(dn din)F1(dn din)F1，F2F2的距离等的距离等于定长于定长2a2a（3 3）定长）定长|F|F1 1F F2 2|(2a2c)|(2a2c)理解：椭圆上的点要满足怎样理解：椭圆上的点要满足怎样理解：椭圆上的点要满足怎样理解：椭圆上的点要满足怎样(znyng)(znyng)的几的几的几的几何条件？何条件？何条件？何条件？第8页/共78页第九页，共78页。动点动点M M的轨迹的轨迹(guj)(guj)：线段线段(xindun)F1F2.(xindun)F1F2.MF1 F2 动点动点M M的轨迹的轨迹(guj)(guj)：不存在不存在.时，即a=c时当2121FFMFMF=+时，即ac时当2121FFMFMF0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数(chngsh)2a(2a2c)，则，则F1、F2的坐标分别是的坐标分别是(c,0)、(c,0).（想一想：下面（想一想：下面(xi mian)怎样化简？）怎样化简？）由由椭圆的定义椭圆的定义，代入坐标代入坐标OxyMF1F2第11页/共78页第十二页，共78页。则方程则方程则方程则方程(fngchng)(fngchng)可可可可化为化为化为化为观察左图，观察左图，观察左图，观察左图，你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示(biosh)(biosh)c c、a a 的线段吗？的线段吗？的线段吗？的线段吗？即即即即a2-c2 a2-c2 有什么几何有什么几何有什么几何有什么几何(j h)(j h)意义？意义？意义？意义？（）第12页/共78页第十三页，共78页。焦点焦点(jiodin)(jiodin)在在y y轴：轴：焦点焦点(jiodin)(jiodin)在在x x轴：轴：椭圆椭圆(tuyun)(tuyun)的的标准方程标准方程1oFyx2FM1 12 2yoFFMx F1（-c，0）、F2（c，0）F1（0，-c）、F2（0，c）第13页/共78页第十四页，共78页。注意理解以下几点：注意理解以下几点：在椭圆在椭圆(tuyun)(tuyun)的两种标准方程中，都的两种标准方程中，都有有的要求的要求(yoqi)；在椭圆的两种标准方程在椭圆的两种标准方程(fngchng)(fngchng)中，由于中，由于 ，所以可以根据分母的大小来判定焦点所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；在哪一个坐标轴上；椭圆的三个参数椭圆的三个参数之间的关系是之间的关系是 ，其中其中大小不确定大小不确定第14页/共78页第十五页，共78页。思考：思考：（1 1）将一个底面圆半径）将一个底面圆半径(bnjng)(bnjng)为为5 5的圆的圆柱沿与底面成柱沿与底面成600600角作一个截面，截面为椭圆，角作一个截面，截面为椭圆，求其标准方程。求其标准方程。（2 2）椭圆的中心在点（）椭圆的中心在点（m,nm,n），标准方程式），标准方程式什么？什么？第15页/共78页第十六页，共78页。分母哪个分母哪个(n ge)大，焦点就在哪个大，焦点就在哪个(n ge)坐标轴上，反之亦坐标轴上，反之亦然。然。注意注意(zh y)：1.下列方程哪些表示下列方程哪些表示(biosh)的是椭圆，如果是，判断它的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？的焦点在哪个坐标轴上？跟踪练习第16页/共78页第十七页，共78页。变式一变式一:将上题焦点改为将上题焦点改为(i wi)(0，-4)、(0，4)，结果如何？结果如何？变式二变式二变式二变式二:将上题改为两个焦点的距离将上题改为两个焦点的距离将上题改为两个焦点的距离将上题改为两个焦点的距离(jl)(jl)(jl)(jl)为为为为8 8 8 8，椭圆上一点，椭圆上一点，椭圆上一点，椭圆上一点P P P P到两到两到两到两焦点的距离焦点的距离焦点的距离焦点的距离(jl)(jl)(jl)(jl)和等于和等于和等于和等于10101010，结果如何？，结果如何？，结果如何？，结果如何？已知两个焦点的坐标分别已知两个焦点的坐标分别(fnbi)是是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于10；2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程当焦点在当焦点在X X轴时，方程为：轴时，方程为：当焦点在当焦点在Y Y轴时，方程为：轴时，方程为：第17页/共78页第十八页，共78页。例例1.椭圆两个焦点的坐标是（椭圆两个焦点的坐标是（0，-2）和（）和（0，2），并且），并且经过点经过点P ，求标准，求标准(biozhn)方程。方程。解：法解：法1：因为椭圆因为椭圆(tuyun)的焦点在的焦点在y轴轴上，上，设它的标准方程为设它的标准方程为 c=2，且 c2=a2-b2 4=a2-b2 又又椭圆经过点椭圆经过点P 联立联立可求得：可求得：椭圆的椭圆的标准方程为标准方程为 xyF1F2P例题(lt)讲解第18页/共78页第十九页，共78页。法法2：设它的标准设它的标准(biozhn)方程为方程为 由椭圆由椭圆(tuyun)的定的定义知，义知，所以所求椭圆所以所求椭圆(tuyun)的标准的标准方程为方程为求椭圆标准方程的步骤：（1）先判断焦点的位置，设出标准方程；（先定位）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b.（后定量)第19页/共78页第二十页，共78页。1写出适合写出适合(shh)下列条件的椭圆的标准方程：下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=3,焦点在焦点在x 轴；轴；（2）a=5,c=2,焦点在焦点在y 轴上轴上2椭圆椭圆(tuyun)的焦距的焦距(jioj)是是 ，焦点坐标为，焦点坐标为 ；的弦，则的弦，则的周长为的周长为 若若CD为过左焦点为过左焦点跟踪练习第20页/共78页第二十一页，共78页。分母哪个分母哪个(n ge)大，焦点就在哪个大，焦点就在哪个(n ge)轴上轴上 标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点 图图 形形 焦点坐标焦点坐标探究定义探究定义a、b、c 的关系的关系xyF1 1F2 2MOxyF1 1F2 2MOa2-c2=b2(ab0)P=M|MFP=M|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a|=2a（2a2c2a2c）知识(zh shi)总结第21页/共78页第二十二页，共78页。例例例例1.1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)(1)两两两两个个个个(lin(lin)焦焦焦焦点点点点的的的的坐坐坐坐标标标标分分分分别别别别为为为为(4,0)4,0)和和和和(4,0)(4,0)，且椭圆经过点且椭圆经过点且椭圆经过点且椭圆经过点(5,0)(5,0)；(2)(2)焦焦焦焦点点点点在在在在y y轴轴轴轴上上上上，且且且且经经经经过过过过两两两两个个个个(lin(lin)点点点点(0,2)(0,2)和和和和(1,0)(1,0)一、求椭圆的标准一、求椭圆的标准(biozhn)方程方程例题(lt)讲解第22页/共78页第二十三页，共78页。解：解：(1)由于椭圆的焦点在由于椭圆的焦点在x轴上，轴上，设它的标准方程为设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0)2a(54)2(54)210a5.又又c4，b2a2c225169.故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为x225y291.第23页/共78页第二十四页，共78页。(2)由于椭圆的焦点在由于椭圆的焦点在 y 轴上，轴上，设它的标准方程为设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由于椭圆经过点由于椭圆经过点(0,2)和和(1,0)4a20b210a21b21 a24，b21.故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为y24x21.第24页/共78页第二十五页，共78页。1.根据下列条件，求椭圆的标准方程根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)和和B(12，3)；(2)经过点经过点(2，3)且与椭圆且与椭圆9x24y236有有共同的焦点共同的焦点 跟踪(gnzng)练习第25页/共78页第二十六页，共78页。解：解：(1)设所求椭圆的方程为设所求椭圆的方程为x2my2n1(m0，n0且且mn)椭圆经过两点椭圆经过两点A(0,2)、B(12，3)，0m4n1，14m3n1，解得解得 m1，n4.所求椭圆方程为所求椭圆方程为x2y241.第26页/共78页第二十七页，共78页。(2)椭圆椭圆9x24y236的焦点为的焦点为(0，5)则可设所求椭圆则可设所求椭圆方程为方程为x2my2m51(m0)又椭圆经过点又椭圆经过点(2，-3)则有则有4m9m51.解得解得m10或或m2(舍去舍去)所求椭圆的方程为所求椭圆的方程为x210y2151.第27页/共78页第二十八页，共78页。例例2.已已知知动动圆圆M过过定定点点A(3,0)，并并且且内内切切于于定定圆圆B：(x3)2y264，求求动动圆圆圆圆心心M的的轨轨迹迹(guj)方程方程二、利用二、利用(lyng)椭圆的定义求椭圆的定义求轨迹方程轨迹方程例例3.已知圆已知圆B:(x+1)2+y2=16，A(1,0)，C为圆上任意为圆上任意一点一点(y din)，AC中垂线与中垂线与CB交于点交于点P，求点，求点P的轨迹方程。的轨迹方程。第28页/共78页第二十九页，共78页。解：解：设动圆设动圆M的半径为的半径为r，则，则|MA|r，|MB|8r，|MA|MB|8，且，且8|AB|6，动点动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(3,0)，B(3,0)，且，且2a8，a4，c3a2c21697.所求动圆圆心所求动圆圆心M的轨迹方程是的轨迹方程是x216y271.b2第29页/共78页第三十页，共78页。例例4.有一颗地球卫星有一颗地球卫星(wixng)沿地球中心为一个焦沿地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行，卫星点的椭圆轨道运行，卫星(wixng)近地点约近地点约200公公里，远地点约里，远地点约500公里，地球半径公里，地球半径R约约6400公里，求公里，求运行轨道方程。运行轨道方程。xoFF1ABy规律：近地点和远地点规律：近地点和远地点一定是长轴的两个一定是长轴的两个(lin)端点。端点。第30页/共78页第三十一页，共78页。1.1.已已已已知知知知动动动动圆圆圆圆MM和和和和定定定定圆圆圆圆C1C1：x2x2(y(y3)23)26464内内内内切切切切，而而而而和和和和定定定定圆圆圆圆C2C2：x2x2(y(y3)23)24 4外外外外切切切切求求求求动动动动圆圆圆圆圆圆圆圆心心心心MM的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹(guj)(guj)方程方程方程方程跟踪(gnzng)练习第31页/共78页第三十二页，共78页。解：解：设动圆设动圆M的半径的半径(bnjng)(bnjng)为为r，圆心，圆心(yunx(yunxn)n)M(x，y)，两定圆，两定圆圆心圆心(yunx(yunxn)n)C1(0,3)，C2(0，3），半径，半径r18，r22.则则|MC1|8r，|MC2|r2.|MC1|MC2|(8r)(r2)10.又又|C1C2|6，动圆圆心动圆圆心M的轨迹是椭圆，且焦的轨迹是椭圆，且焦点为点为C1(0,3)，C2(0，3)，且，且2a10，a5，c3，b2a2c225916.动圆圆心动圆圆心M 的轨迹方程是的轨迹方程是y225x2161.第32页/共78页第三十三页，共78页。2.设点设点A,B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0)，(5,0)。直线直线AM，BM相交于点相交于点M，且它们，且它们(t men)的斜率的斜率之之积为积为 ，求点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。思考思考(sko)：斜率之积为：斜率之积为m(m2c)的点的轨迹叫做椭圆。这的点的轨迹叫做椭圆。这两个两个(lin)定点叫做椭圆的焦点，两焦定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距点之间的距离叫做椭圆的焦距(2c)。1、椭圆、椭圆(tuyun)的定义的定义注意注意“常数常数(chngsh)2a”的条件：的条件：2a=2c 等于等于线段线段 2ab0)为例为例由标准方程可知，椭圆由标准方程可知，椭圆(tuyun)上点的坐标上点的坐标(x,y)都适合不等式都适合不等式1,即即x2a2 ,y2b2，x a ,y b.1,椭圆的几何性质新课讲解第42页/共78页第四十三页，共78页。x这说明椭圆这说明椭圆(tuyun)位于直线位于直线x=a和和y=b所围成所围成的矩形里。的矩形里。oya-ab-b第43页/共78页第四十四页，共78页。在椭圆上，任取一点在椭圆上，任取一点(x,y),其关于其关于x轴、轴、y 轴和坐标轴和坐标(zubio)原点对称的点仍在椭圆上。原点对称的点仍在椭圆上。所以椭圆关于所以椭圆关于x轴、轴、y 轴和坐标轴和坐标(zubio)原点原点都是对称的。都是对称的。xo(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)y、对称性、对称性 其中坐标轴是椭圆的对称轴其中坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的原点是椭圆的对称中心对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的对称中心叫做(jiozu)椭圆的椭圆的中心中心.第44页/共78页第四十五页，共78页。、顶点、顶点(dngdin)椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点做椭圆的顶点线段线段(xindun)A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短分别叫做椭圆的长轴和短轴，轴，a和和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长xo(a,0)(0,b)(-a,0)(0,-b)yA1A2B1B2第45页/共78页第四十六页，共78页。4 4、离心率、离心率(xn l)(xn l)【定义【定义(dngy)】焦距焦距(jioj)与长轴长的比与长轴长的比【范围范围】0e0即3k2+k+3/40恒成立(chngl)（事实上，点（事实上，点P在椭圆内在椭圆内,直线直线(zhxin)与椭圆恒相交）与椭圆恒相交）K=-1/2所以l:y=(-1/2)x+1（法二）（法二）：设A(x1,y1),B(x2,y2),x12+4y12=4x22+4y22=4点差得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0即2+4k=0K=-1/2所以l:y=(-1/2)x+1代入方程由弦长公式得到弦长。代入方程由弦长公式得到弦长。第71页/共78页第七十二页，共78页。3.椭圆椭圆C中心在原点，交点中心在原点，交点(jiodin)在在x轴上轴上,过点过点P(1,0)的直线的直线L与椭圆交于与椭圆交于A，B，直线，直线y=x/2过过AB中点，同时，椭圆上存在一点中点，同时，椭圆上存在一点N与右焦点与右焦点(jiodin)F关于关于L对称对称(duchn)，求，求L及椭圆及椭圆C.xoAByFN第72页/共78页第七十三页，共78页。4.长轴为长轴为4的椭圆上有的椭圆上有A,B,C三点，三点，A为长轴一端点，为长轴一端点，BC过椭圆中心过椭圆中心O，且，且AC.BC=0，|BC|=2|AC|(1)建立适当坐标系，求椭圆方程建立适当坐标系，求椭圆方程(fngchng)；(2)如果椭圆上有两点如果椭圆上有两点P,Q，使角，使角PCQ的平分线垂直于的平分线垂直于AO,证明：证明：PQ=tABxoAByCPQ第73页/共78页第七十四页，共78页。解解:(1):(1)方程方程(fngchng)(fngchng)：x2+3y2=4x2+3y2=4(2)(2)解：若斜率不存在，CP，CQ重合(chngh)，故两直线都有斜率，令xoAByCPQ由从这里(zhl)就要解出 来（呵呵。很多人已经没勇气再算下去了，解析几何在高考中很多时候就是考计算，这点不算什么）大家注意，硬解那当然就bt了，这方程中肯定有一解是1，因为直线是过了(1,1)的，呵呵，所以另一根用韦达定理求得。第74页/共78页第七十五页，共78页。呵呵(hh)，所以呵呵(hh)，再算 可以再同样算，但是注意(zh y)到就是先的变-就完了，所以所以正好是AB 的斜率，（因为B（-1，-1）所以PQ=tAB第75页/共78页第七十六页，共78页。(2)过点过点 作直线作直线(zhxin)L与椭圆与椭圆x2+4y2=16相交相交于于A、B两点，两点，O为坐标原点，求为坐标原点，求OAB面积的最大值面积的最大值及此时直线及此时直线(zhxin)L倾斜角的正切值。倾斜角的正切值。5.（1)椭圆椭圆(tuyun)x2+4y2=16上有两点上有两点A,B，若，若OA,OB斜率之斜率之xoAByP积为积为-1/4,求求|OA|2+|OB|2；第76页/共78页第七十七页，共78页。，要求(yoqi)的是，又所以(suy)从方程中换掉后就得到(d do)所求的是那么我们把条件一用就该得到（这是解析几何一个大思路，题目给你什么你用什么，叫你求什么你算什么，并且注意点是椭圆上的点进而利用方程减少变量。）（为何要平方，就是为了能用椭圆方程来消元）将代入有化一下就有，故答案为20这个东西。解:(1)第77页/共78页第七十八页，共78页。