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第一章：轴对称及轴对称图形第一章：轴对称及轴对称图形（复习课）（复习课）一、知识结构一、知识结构轴对称及轴对称图形轴对称及轴对称图形线线段段角角等等腰腰三三角角形形等等边边三三角角形形等等腰腰梯梯形形二、知识点回顾：二、知识点回顾：1、轴对称：如果把一个图形沿着某一、轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称。轴对称。2、轴对称图形：把一个图形沿一条、轴对称图形：把一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能互直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。相重合，那么这个图形叫轴对称图形。3、轴对称图形和轴对称的区别与联系？、轴对称图形和轴对称的区别与联系？轴对称轴对称 轴对称图形轴对称图形区区区区别别别别 联系联系图形图形对称点位置对称点位置对称轴条数对称轴条数两个图形之间的两个图形之间的对称关系对称关系一个图形自身一个图形自身的对称特征的对称特征在两个图形上在两个图形上在同一个图形上在同一个图形上一条一条1.都沿某直线翻折后能够互相重合都沿某直线翻折后能够互相重合;2.它们可以互相转化；如果把轴对称的它们可以互相转化；如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一两个图形看作一个整体，那么它就是一个个轴对称图形轴对称图形；如果把轴对称图形沿对；如果把轴对称图形沿对称轴分成两个部分，那么两个部分就是称轴分成两个部分，那么两个部分就是关于这条对称轴成关于这条对称轴成轴对称。轴对称。至少一条至少一条4 4、轴对称的性质：、轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等成轴对称的两个图形全等如果两个图形成轴对称，那么对称如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。轴是对称点连线的垂直平分线。对称点的连线互相平行对称点的连线互相平行对称线段所在直线互相平行或相交对称线段所在直线互相平行或相交于对称轴上的一点于对称轴上的一点成轴对称的两个图形的任何对应部成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称分也成轴对称5、线段的对称性、线段的对称性:n线段是轴对称图形，有线段是轴对称图形，有2 2条对称轴，一条对称轴，一条是线段的垂直平分线所在直线，一条是线段的垂直平分线所在直线，一条是线段本身所在直线；条是线段本身所在直线；n线段的性质：线段垂直平分线上的点线段的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端的距离相等；n线段的判定：到线段两端距离相等的线段的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。点在线段的垂直平分线上。n集合定义：线段的垂直平分线是到线集合定义：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。段两端距离相等的点的集合。6、角的对称性、角的对称性:n角是轴对称图形，角平分线所在直线角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴；是它的对称轴；n角平分线性质：角平分线上的点到角角平分线性质：角平分线上的点到角两端的距离相等；两端的距离相等；n判定：角的内部到角两端距离相等的判定：角的内部到角两端距离相等的点在角平分线上点在角平分线上n集合定义：角平分线是到角两端距离集合定义：角平分线是到角两端距离相等的点的集合。相等的点的集合。7 7、等腰三角形的对称性、等腰三角形的对称性:n等腰三角形是轴对称图形有，等腰三角形是轴对称图形有，1 1条条,顶顶角平分线所在直线是它的对称轴角平分线所在直线是它的对称轴.n性质：等腰三角形的两个底角相等；性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上高互相重合。（简称中线、底边上高互相重合。（简称“三线合一三线合一”）.n判定：等角对等边。判定：等角对等边。8、等边三角形的对称性、等边三角形的对称性:n n等边三角形是轴对称图形等边三角形是轴对称图形,有有3 3条对称轴条对称轴n n性质：三条边相等，三个角都是性质：三条边相等，三个角都是6060n n判定判定:3:3个角相等的三角形是等边三角形个角相等的三角形是等边三角形n n有一个角等于有一个角等于6060的等腰三角形是等边三的等腰三角形是等边三角形；角形；n n有两个角等于有两个角等于6060的三角形是等腰三角形。的三角形是等腰三角形。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半9、等腰梯形的对称性、等腰梯形的对称性n定义：定义：一组对边平行，一组对边不平行，一组对边平行，一组对边不平行，两腰相等两腰相等的四边形为等腰梯形。的四边形为等腰梯形。n对称性对称性:等腰梯形是轴对称图形等腰梯形是轴对称图形,有有1条对条对称轴称轴,过两底中点的直线是它的对称轴；过两底中点的直线是它的对称轴；n性质性质:等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形同一底上的两个角相等;n等腰梯形的对角线相等。等腰梯形的对角线相等。n判定：在同一底上的两个角相等的梯形判定：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。是等腰梯形。三、重要的数学思想三、重要的数学思想：n n分类思想：主要用于等腰三角形；分类思想：主要用于等腰三角形；n n方程思想：主要用于计算边和角；方程思想：主要用于计算边和角；n n化归思想：主要用于把梯形问题转化化归思想：主要用于把梯形问题转化 为三角形来处理。为三角形来处理。n n建模思想：主要用于建立等腰三角形建模思想：主要用于建立等腰三角形 模型模型四、几种常见辅助线作法：四、几种常见辅助线作法：n等腰三角形：作顶角的平分线。等腰三角形：作顶角的平分线。n直角三角形：作斜边上的中线。直角三角形：作斜边上的中线。五、巩固习题：五、巩固习题：n1、在等腰、在等腰ABC中，若中，若A=80，则，则B=_.n2、在等腰、在等腰ABC中，若周长为中，若周长为8cm，且且AB=3cm，则，则BC=_.n n3、如图，在、如图，在ABC中，边中，边AB的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交AB、BC于点于点D、E，且，且AE平分平分BAC=80若若B=30 ,则则C=_.EDCBA4 4、如图，在、如图，在ABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0,AB,AB的中垂线交的中垂线交BCBC于于E,E,垂足为垂足为D,CAE:EAB=3:1,D,CAE:EAB=3:1,则则B=_B=_ EDCBA5 5、如图，、如图，ABCABC中，中，ABAB的垂直平分线的垂直平分线分别交分别交ABAB、BCBC于点于点D D、E E，ACAC的垂直的垂直平分线分别交平分线分别交ACAC、BCBC于点于点F F、G G，若，若BC=20BC=20，则，则AEGAEG的周长为多少？的周长为多少？GEDFABC6.6.如图如图,ABC,ABC和和CDECDE都是等边三都是等边三角形角形,且点且点A,C,EA,C,E在一条直线上在一条直线上.证证:MNC:MNC为等边三角形为等边三角形.ABCDEMNO(1)(1)说明说明AD=BEAD=BE(2)AOE=120(2)AOE=120(3)CM=CN(3)CM=CN(4)CMN(4)CMN为正为正7.7.已知：在已知：在ABCABC中，中，D D是是BCBC上一点上一点,DEAC,DEAC于于E,DFABE,DFAB于于F,F,且且DE=DF.DE=DF.线段线段ADAD与与EFEF有何关系有何关系?并说明理由并说明理由.EFDCAB8.8.如图如图AC=BC,AC=BC,且且ACBC,DACBC,D为为ACAC上的一点上的一点,BD=2AE,AEBE,BD=2AE,AEBE,求证求证:BE:BE平分平分ABC.ABC.ABCEDF9.9.如图在如图在ABCABC中中,CFAB,BEAC,CFAB,BEAC,M,NM,N分别是分别是BCBC与与EFEF的中点的中点,试说明：试说明：MNEF.MNEF.ABCFENM10、已知ABC是等腰三角形，过ABC的一个顶点的一条直线，把ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，问ABC顶角的度数是多少？梯形中常见辅助线梯形中常见辅助线1.1.如图如图,在梯形在梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，2.2.B B7070，C C4040，3.3.求证求证:CD:CDBCBCAD.AD.延长两腰延长两腰,将梯形转化成三角形将梯形转化成三角形.EDBCA平移一腰平移一腰,梯形转化成梯形转化成:平行四边和三平行四边和三角形角形.DBCAF .如图如图,在梯形在梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，AB ABDCDCADAD5 5，BCBC1111，求梯形，求梯形ABCDABCD的面积的面积作梯形的高作梯形的高,梯形转化成梯形转化成:长方形和长方形和直角三角形直角三角形.FEDBCA 如图如图,在梯形在梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E E是是DCDC的中点，的中点，EFABEFAB于点于点F F 求证：求证：S S梯形ABCD=ABEF=ABEF平移底平移底,梯形转化成梯形转化成:三角形三角形.GFEDBCA如图如图,等腰梯形等腰梯形ABCDABCD中，中，ADBC,ADBC,ACBDACBD，AD+BC=10 AD+BC=10，DEBCDEBC于于E E，求求DEDE的长的长ABDCFE平移对角线平移对角线,将梯形转化成：将梯形转化成：平行四边形、三角形平行四边形、三角形.5 5在梯形在梯形ABCDABCD中，中，ABDCABDC，ADADBCBC，AB=1AB=1，DC=5DC=5，ACBDACBD，BECDBECD，则梯形的面积则梯形的面积=FEDCBA 6 6如图如图,梯形梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC的中点的中点,B+C=90,B+C=90，请说明请说明EF=EF=（BC-ADBC-AD）HGFEDCBA小明的妈妈买了一部小明的妈妈买了一部2929英寸（英寸（7474厘米）厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有发现屏幕只有5858厘米长和厘米长和4646厘米宽，厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？释这是为什么吗？我们通常所说的我们通常所说的2929英寸或英寸或7474厘米的电厘米的电视机，是指其荧屏对视机，是指其荧屏对角线的长度角线的长度售货员没搞错售货员没搞错荧屏对角线大约为荧屏对角线大约为74厘米厘米 3.3.如图如图,折叠长方形（四个角都是折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边，使点直角，对边相等）的一边，使点D D落在落在BCBC边上的点边上的点F F处，若处，若AB=8AB=8，AD=10.AD=10.（1 1）你能说出图中哪些线段的长）你能说出图中哪些线段的长?（2 2）求）求ECEC的长的长.1 10 0A4 46 68 81 10 0 x xEFDCB8 8-x x8 8-x x