弹性波的量子化.ppt

4.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论玻恩玻恩-卡曼有限链模型卡曼有限链模型 我们在讨论一维原子链的时候，没有考虑边我们在讨论一维原子链的时候，没有考虑边界条件，边界条件将使问题变复杂界条件，边界条件将使问题变复杂 玻恩玻恩-卡曼提出了一个包含卡曼提出了一个包含 N 个原胞的环状个原胞的环状链作为一个有限链的模型，它包含有限数目的原链作为一个有限链的模型，它包含有限数目的原子，而保持所有原胞完全等价子，而保持所有原胞完全等价 如果如果 N 很大，沿环的运很大，沿环的运动仍可看作是直线的，以前动仍可看作是直线的，以前的运动方程仍使用的运动方程仍使用14.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论 在玻恩在玻恩-卡曼环状链模型下，要求原胞卡曼环状链模型下，要求原胞 n 增增加加 N，振动情况必须复原，因为，振动情况必须复原，因为 n 和和 n+N 对应的对应的是同一个原胞；这就必须要求是同一个原胞；这就必须要求因此因此即即我们知道我们知道所以所以 共共 N 个值个值24.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论 所以，由所以，由 N 个原胞组成的链，个原胞组成的链，K 可以取可以取 N 个个不同的值，每个不同的值，每个 K 对应着一个格波，共有对应着一个格波，共有 N 个格个格波，这正是一维单原子链的自由度数，这样就已波，这正是一维单原子链的自由度数，这样就已经得到链的全部振动模经得到链的全部振动模 玻恩玻恩-卡曼模型要求链头尾相接，实际上起卡曼模型要求链头尾相接，实际上起着边界条件的作用，此模型不改变方程的解，而着边界条件的作用，此模型不改变方程的解，而是对解提出一个条件是对解提出一个条件 ，称为玻恩，称为玻恩-卡曼卡曼条件，或者条件，或者周期性边界条件周期性边界条件34.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论简正坐标简正坐标 我们曾得到一维原子链的解我们曾得到一维原子链的解 表示波矢为表示波矢为 K 的格波引起第的格波引起第 n 个原子的位个原子的位移，则原子的总位移为所有格波的叠加移，则原子的总位移为所有格波的叠加 把上式写成把上式写成44.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论 相当于我们把相当于我们把“坐标轴坐标轴”取为取为其中其中则则 QK 就是就是 un 在此坐标轴上的坐标，称为在此坐标轴上的坐标，称为简正坐标简正坐标，它表示了格波的振幅它表示了格波的振幅54.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论2.基函数是正交归一的，即基函数是正交归一的，即QK 的两个性质的两个性质1.证明：证明：因为因为所以所以64.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论因为因为当当 时，上式显然是成立的；当时，上式显然是成立的；当 时时所以所以74.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论晶格振动能量晶格振动能量 其中动能项其中动能项84.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论势能项势能项94.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论势能项势能项104.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论 显然，这是一些列独立线性谐振子的哈密显然，这是一些列独立线性谐振子的哈密顿量的总和；即通过简正坐标我们把相互耦合顿量的总和；即通过简正坐标我们把相互耦合的原子振动化成了无相互作用的简谐振动的原子振动化成了无相互作用的简谐振动 因此，我们一旦找出了简正坐标，就可以因此，我们一旦找出了简正坐标，就可以直接过渡到量子理论，每一简正坐标对应于一直接过渡到量子理论，每一简正坐标对应于一个谐振子方程个谐振子方程114.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论声子声子 晶格振动的能量是量子化的，与电磁波的光晶格振动的能量是量子化的，与电磁波的光子相仿，这种能量量子被称为子相仿，这种能量量子被称为声子声子(phonon)一角频率为一角频率为 w 的弹性模式被激发到量子数的弹性模式被激发到量子数为为 n 时，也就是当这个模式被时，也就是当这个模式被 n 个声子所占据时，个声子所占据时，其能量为其能量为124.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论 这个模式的这个模式的零点能零点能为为 。声子和光子。声子和光子一样具有零点能，因为它们都等价于一个频率一样具有零点能，因为它们都等价于一个频率为为 w 的量子谐振子，该量子谐振子的能量本征的量子谐振子，该量子谐振子的能量本征值也是值也是134.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论 当电子当电子(或光子或光子)与晶格振动相互作用，交与晶格振动相互作用，交换能量以换能量以 为单元，若电子从晶格获得为单元，若电子从晶格获得 能能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格量，称为吸收一个声子，若电子给晶格 能能量，称为发射声子量，称为发射声子 声子不是真实粒子，称为声子不是真实粒子，称为准粒子准粒子，它反映，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。多体的是晶格原子集体运动状态的激发单元。多体系统集体运动的激发单元，常称为系统集体运动的激发单元，常称为元激发元激发。声。声子是固体中一种典型的元激发子是固体中一种典型的元激发144.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论声子的均方振幅声子的均方振幅设驻波模式的振幅为设驻波模式的振幅为 类似于谐振子，当这种模式的能量对时间求类似于谐振子，当这种模式的能量对时间求平均值时，一半为动能，另一半为势能。动能密平均值时，一半为动能，另一半为势能。动能密度为度为 。体积为。体积为 V 的晶体，动能的晶体，动能154.3 弹性波的量子化弹性波的量子化第第 4 章章 声子（声子（I）：晶格振动）：晶格振动固体固体物理物理导论导论 由于由于 由于由于所以所以可见，该关系式将一个给定模式的位移和该可见，该关系式将一个给定模式的位移和该模式中声子占据数模式中声子占据数 n 联系起来联系起来16