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Chap5 数字滤波器本章主要内容v 引言v 数字滤波器的结构v 无限长单位脉冲响应数字滤波器的设计v 有限长单位脉冲响应数字滤波器的设计vFIR 数字滤波器与IIR 数字滤波器的比较5.1 引言数字滤波器的概念.滤波器：指对输入信号起滤波作用的装置。2.当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽样响应 h（n）时，这样的滤波器称作数字滤波器。对其进行傅氏变换得:5.1 引言 一、DF 按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通，其特点为：（1）频率变量以数字频率 表示，为模拟角频率，T 为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率 为周期；（3）频率特性只限于 范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。5.1 引言(续)二、数字滤波器的性能要求 这里，为通带截止频率 为阻带起始频率0通带阻带过渡带平滑过渡5.1 引言(续)三、DF 频响的三个参量 1、幅度平方响应 2、相位响应3、群延迟它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。5.1 引言(续)四、DF 设计内容 按任务要求确定Filter 的性能指标；数字逼近 用IIR 或FIR 系统函数去逼近这一性能要求；IIR 滤波器的系统函数是 的有理函数，FIR 滤波器的系统函数是 的多项式 选择适当的运算结构实现这个系统函数；通过模拟，验证所设计的系统是否符合给定性能要求；5.2 数字滤波器的结构数字滤波器的表示方法：系统函数：差分方程：对上式进行z 反变换，得到：H(z)X(z)Y(z)5.2 数字滤波器的结构（续）滤波器的功能与实现 滤波就是对输入序列 x(n)进行一定的运算操作,从而得到输出序列.实现滤波从运算上看,只需三种运算：加法、单位延迟、乘常数。数字滤波器的结构表示法1.方框图法：方框图法简明且直观，其三种基本运算，如下图所示：单位延迟乘系数相加5.2 数字滤波器的结构（续）5.2 数字滤波器的结构（续）2.信号流图法三种基本的运算：单位延时：乘系数：求和：5.2 数字滤波器的结构（续）5.2 数字滤波器的结构（续）一、无限长冲击响应数字滤波器结构IIR 滤波器特点：单位冲激响应h（n）是无限长的。系统函数H（z）在有限Z 平面（）上有极点存在。结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。基本结构1.直接I 型（1）系统函数（2）差分方程5.2 数字滤波器的结构（续）（3）结构流程图按差分方程可以写出5.2 数字滤波器的结构（续）（4）特点 第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。*共需（M+N）个存储延时单元。5.2 数字滤波器的结构（续）2.直接型5.2 数字滤波器的结构（续）对以上两式进行z 变换，则：令：则:5.2 数字滤波器的结构（续）3.级联型先将系统函数按零、极点进行因式分解其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表示复共轭零点，dk，dk*表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N25.2 数字滤波器的结构（续）再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子，则得为了方便，分子取正号，分母取负号；这样，流图上的系数均为正。最后，将两个一阶因子组合成二阶因子（或将一阶因子看成是二阶因子的退化形式），则有5.2 数字滤波器的结构（续）当（M=N=6）时Z-1Z-15.2 数字滤波器的结构（续）特点：仅影响第k 对零点，同样仅影响第k 对极点，便于调节滤波器的频率特性。所用的存储器的个数最少。注意：*如果有奇数个实零点，则有一个同样，如果有奇数个实极点，则有一个*通常M=N 时，共有（N+1）/2 节，符号(N+1)/2 表示取（N+1)/2 的整数。5.2 数字滤波器的结构（续）4.并联型将H（Z）展成部分分式形式:其中，均为实数，与复共轭当M N 时，不包含项；M=N 时，该项为G。5.2 数字滤波器的结构（续）当M=N 时，将两个一阶实极点合为一项，将共轭极点化成实系数二阶多项式，H（Z）可表为当N 为奇数时，包含一个一阶节，即5.2 数字滤波器的结构（续）例：M=N=3 时，为奇数，故所以：其结构图如下：5.2 数字滤波器的结构（续）5.转置定理如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入和输出交换其系统函数仍不改变。（原网络）5.2 数字滤波器的结构（续）（转置后的网络）5.2 数字滤波器的结构（续）二、有限长冲击响应数字滤波器结构h(n)为一个N 点序列，Z=0 处为（N-1）阶极点，特点：1）h（n）在有限个n 值处不为零。2）H（z）在3）非递归结构，处收敛，极点全部在Z=0 处。5.2 数字滤波器的结构（续）基本结构1.横截型（卷积型、直接型）它就是线性移不变系统的卷积和公式h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)5.2 数字滤波器的结构（续）用转置定理可得另一种结构h(N-1)h(N-2)h(N-3)h(2)h(1)h(0)2.级联型将H（Z）分解为实系数二阶因子的乘积形式5.2 数字滤波器的结构（续）注：N/2 表示取N/2的整数部分，如*N 为偶数时，N-1 为奇数，这时因为有奇数个根，所以*当N 为奇数时的结构如下：中有一个为零。5.2 数字滤波器的结构（续）特点：每节结构可控制一对零点。所需系数5.2 数字滤波器的结构（续）3.线性相位的FIR 系统网络结构线性相位特性：滤波器对不同频率的正弦波所产生的相 移和正弦波的频率成直线关系。线性相位单位取样响应具有如下特性（后面将会看到）N 为偶数时5.2 数字滤波器的结构（续）N 为奇数时：线性相位FIR 系统的非递归型实现结构如图所示 5.2 数字滤波器的结构（续）偶数阶奇数阶5.2 数字滤波器的结构（续）注：当 且N 为奇数时5.2 数字滤波器的结构（续）4.频率取样型 直接型由频域取样定理得FIR 系统IIR 系统FIR DF 频率取样结构图5.2 数字滤波器的结构（续）5.2 数字滤波器的结构（续）频率取样结构特点 的零点：构成一个梳状滤波器。的极点：该系统在极点处的频率响应为，可看作是一个谐振频率为 的无耗谐振器。在 处，零极点互消，响应只为，故可直接控制滤波器的响应。5.2 数字滤波器的结构（续）改进的频率取样结构1）极点位于单位圆上，系统稳定的允余度为02）均为复数，需大量的复数运算，故实际运算复杂改进方法：1）在半径 且接近于1 的圆上取样，则：5.2 数字滤波器的结构（续）2)将每对共轭对称的复根合并为一个二阶网络，使系数均为实数利用5.2 数字滤波器的结构（续）结构图如下：5.2 数字滤波器的结构（续）特点：优点：1）每个二阶节都与频率取样值 相乘，若，可省掉一部分二阶节，简化结构。2）每一部分结构都很规范，设计方便改进后的系统结构图：5.2 数字滤波器的结构（续）5.2 数字滤波器的结构（续）5.快速卷积如果，的长为N1，h（n）的长为N2。将 补L-N1个零值点，h（n）补L-N2零值点，只要L N1+N2-1,就有由卷积定理得Y（k）=X（k）H（k）所以有这样，就可以得到FIRDF 的快速卷积结构5.2 数字滤波器的结构（续）h(n)L 点DFTL 点DFTX(k)H(k)Y(k)L 点IDFT这里的DFT 和IDFT 均可以利用FFT 算法。快速卷积型结构的特点时可进行高速处理，适合宽带雷达信号的实时数字滤波5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计 一、IIR 数字filter 的设计方法 1、借助模拟filter 的设计方法（1）将DF 的技术指标转换成AF 的技术指标；（2）按转换后技术指标,设计模拟低通filter 的；（3）将（4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF 的技术指标 2、计算机辅助设计法（最优化设计法）先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最 小准则等，然后在此准则下，确定系统函数的系数。但 这种方法需要大量的迭代运算。5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计二、将DF 的技术指标转换为ALF 的技术指标1.意义AF 的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。2.转换举例 例如，一低通DF 的指标：在 的通带范围，幅度特性下降小于1dB；在 的阻带范围，衰减大于15dB；抽样频率；试将这一指标转换成ALF 的技术指标。解：按照衰减的定义和给定指标，则有 假定 处幅度频响的归一化值为1，即5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）这样，上面两式变为由于，所以当没有混叠时，根据关系式模拟filter 的指标为三、ALF的设计ALF 的设计就是求出filter 的系统函数 Ha(S)，使其逼近理想LF 的特性，逼近的形式（filter 的类型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近依据是幅度平方函数，即由幅度平方函数确定系统函数。1.由幅度平方函数确定系统函数2.1）幅度平方函数5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）由于 所以 其中，是AF 的系统函数，是AF 的频响，是AF 的幅频特性。5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）2)Ha（S）Ha（-S）的零极点分布特点（1）如果S1是Ha（S）的极点，那麽-S1就是Ha（-S）的极点；同样，如果S0是Ha（S）的零点，那麽-S0就是Ha（-S）的零点。所以Ha（S）Ha（-S）的零极点是呈象限对称的,例如：（2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为ha（t）是实数时的Ha（S）的零极点以共轭对存在；（3）虚轴上没有极点（稳定系统）；（4）由于filter 是稳定的，所以Ha（S）的极点一定在左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为Ha（S）的零点。5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）3)由 确定 的方法（1）求（2）分解 得到各零极点，将左半面的极点 归于，对称的零点任一半归。若要求最小相位延时，左半面的零点归（全部零极点位于单位圆内）。（3）按频率特性确定增益常数。5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）例6-1 由确定系统函数。解：所以，极点为 零点为均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点为 的零极点，这样由，可确定出，所以。因此5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）2.巴特沃斯低通滤波器 1)幅度平方函数其中，N 为整数，是filter 的阶数；为截止频率。当 时，则即5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）2)幅频特性1.00N=2N=4N=8（1）通带内有最大平坦的幅度特性；（2）不管N 为多少，都通过 点。5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）3)巴特沃斯filter 的系统函数由于 所以其零点全部在 处;即所谓全极点型，它的极点为也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃斯圆上（半径为），共有2N 点。5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）取 左半平面的极点为 的极点，这样极点仅有N 个，即其中，常数 由 的低频特性决定。低阶巴特沃斯滤波器的系统函数已作出表格，见p179-表5 15.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)3.切比雪夫滤波器巴特沃斯滤波器的频率特性曲线：通带和阻带中都是频率的单调函数。希望将精度均匀的分布在整个通带或阻带内切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器：振幅是具有等波纹特性的逼近函数。分类 切比雪夫型滤波器：幅频特性在通带内是等波纹的，阻带内是单调的切比雪夫型滤波器：幅频特性在通带内是单调的，阻带内是等波纹的 5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)切比雪夫型滤波器振幅特性（a）N=3(b)N=4 切比雪夫型滤波器振幅特性（a）N 为奇数(b)N 为偶数 切比雪夫 型（a）幅度平方响应5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)：小于1 的正数，表示通带内振幅波动的幅度：截止频率（带宽）（非3dB 带宽！通常）：N 阶切比雪夫多项式，表达式如下N 为滤波器阶数，极点分布轨迹为椭圆 5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)（b）滤波器参数 的确定 的确定定义通带波纹：5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)N 的确定将 代入切比雪夫 型幅度平方响应表达式，得：5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)的确定：（c）切比雪夫滤波器得极点 共有2N 个极点，分布在以 为长轴，为短轴得椭圆上，N 为奇数时，有极点落在实轴上，N 为偶数时，无极点落在实轴上，这里，切比雪夫滤波器的系统函数5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)4.椭圆滤波器 通带和阻带内都具有“等波纹”振幅特性的滤波器。由于其振幅特性是由雅可比椭圆函数决定的，故称“椭圆滤波器”。5.各种模拟滤波器的比较1）过渡带陡峭要求：椭圆滤波器 切比雪夫滤波器 巴特沃斯滤波器5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)最陡平缓2）设计的复杂性和对灵敏度的要求：椭圆滤波器 切比雪夫滤波器 巴特沃斯滤波器高 低四、由模拟滤波器设计数字滤波器的方法5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)AF 设计完毕以后，还应将 变换成H(z)，也就是将s 平面映射到z 平面，通常有三种方法：（1）脉冲响应不变法；（2）阶跃响应不变法；（3）双线性变换法。需要考虑的两个基本问题（1）H(z)的频响要模仿 的频响，即s 平面的虚轴 应映射到z 平面的单位圆上。（2）的因果稳定性经过映射后在数字滤波器中应得到保持，即s 平面的左半平面映射到z 平面单位圆以内。)S(Ha)S(Ha1.脉冲响应不变法5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)(1)变换原理 为DF 的单位取样响应序列，为AF 的单位脉冲响应。脉冲响应不变法就是使 正好等于 的抽样值，即如果 则有上式表明，先对 沿虚轴作周期延拓，再经过 的映射关系映射到z 平面(s 平面与z 平面的映射关系),n(hZ)z(H),t(hL)s(Ha a=(2)混迭失真 DF 的频响并不是简单的重复AF 的频响，而是AF 的频响的周期延拓，即5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)根据取样定理，只有当AF 的频响带限于折叠频率以内时，即才能使DF 在折叠频率 内重现AF 的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际AF 的频响却不是严格带限的，就会产生混迭失真，如下图所示 5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)00注：当滤波器的指标用数字域频率 给定时，不能用减小T 的办法解决混叠问题。因为：T 减小，带域 加宽 但 不变，即 同倍增大 5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)（3）模拟滤波器的数字化 一般方法：先，再对 抽样，使 方法的简化 设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次，则可展成如下的部分公式：最后，一般说来过程复杂。5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)因此，（1）5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)几点结论 脉冲响应不变法的设计步骤可直接将 写成许多单极 点的部分分式和的形式，然后将各个部分分式用（1）式 代替即可。s 平面的单极点 变为z 平面单极点就可求得。与 的系数相同，均为。AF 是稳定的，DF 也是稳定的。s 平面的极点与z 平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。修正的H(z)由于DF 的频响与T 成反比，当T 很小时，DF 的增益过高，为此做如下修正：5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)DF 频率响应 例 AF 的系统函数为，试用脉冲响应不变法，设计IIRDF，T=1解：设T=15.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)（4）逼近情况 稳定性AF：极点在s 平面的左半平面，DF:极点在z 平面的单位圆内5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)故：由稳定的AF 设计出的DF 也是稳定的。频率特性转换关系对于稳定系统，根据通常：在T 很小时，增益很高，可作以下处理：令：5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)则：此时：（5）优缺点 优点：频率坐标的变换是线性的，因此，如果模拟滤波器的频响是限带于折叠频率以内的话，则通过变换后所得到的数字滤波器的频响可以不失真的反映原响应与频率的关系。缺点：频谱的周期延拓效应，因此，只能用于限带的频响特性。5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)（6）应用场合：适用于涉及某些要求在时域上能模仿模拟滤波器功能的DF，这样，可把模拟滤波器时域特性的许多优点在相应的数字滤波器中保留下来。2 阶跃响应不变变换法(略)5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续)数字滤波器的单位阶跃响应等于模拟滤波器的单位阶跃响应的等间隔取样值。3.转换举例用脉冲响应不变法设计数字巴特沃斯滤波器，要求其性能指标为：在 的通带范围，幅度特性下降小于1dB；在 的阻带范围，衰减大于15dB；解：A.设计指标的转换按照衰减的定义和给定指标，则有 假定 处幅度频响的归一化值为1，即5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）这样，上面两式变为由于，所以当没有混叠时，根据关系式为简便计，假设参数T 为1，则模拟filter 的指标为5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）B.计算滤波器所需的阶数N 和截止频率巴特沃斯滤波器的形式为用dB 表示则得：5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）解方程得为满足或超过给定指标取5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）C.由求得的 确定s 平面上滤波器的极点分布。可得左半平面的三对极点，其坐标分别为：D.模拟滤波器的系统函数5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）E.应用脉冲响应不变法，求得数字滤波器系统函数4.双线性变换法5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到频域，将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激响应不变法设计DF 时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠失真，可采用双变换法。这种方法的基本思想是，先将 S 平面中所设计的非带限的系统函数变换到 平面，并使其为带限的，然后再转换到Z 平面。1）变换原理在S 平面与Z 平面的映射关系中,我们知道，S 平面中一条宽为（如 到）的横带就可以变换到整个Z 平面.因此，可先将整个S 平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个Z 平面上。这样就使S 平面和Z 平面是一一映射关系。如下图所示：5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)时，将由 经过0变到 由上图可知，将 S 平面进行压缩，实际上，就是将其 轴 压缩到 平面的 轴上的 到 的范围内。这可通过正切变换实现：其中C 为任意常数。由上式可知，当 由 经过0变到通过欧拉公式，可得：5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用S 表示Z，可得：将上式关系延拓到整个S 和 平面，则有：借助于 平面和Z 平面的映射关系：，可以得到：可见，也是线性分式变换（函数），这样()间的变换是双向的，故称作双线性变换2）S 平面与Z 平面的映射关系由于可得：5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)当 时，；这就是说，S 平面的 轴映射Z 平面的单位圆上。当 时，上式的分母大于分子，则有；这表明S 左半平面映射到Z 平面的单位圆内。两者均是稳定的。3)变换常数C 的选择5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)由于，所以只有当 很小（一般），和 之间才存在线性关系，即：如果使AF 和DF 在低频处有较确切的对应关系，则选择 这时有，即 4）双线性变换的特点b.S 平面的虚轴（）映射到Z 平面的单位圆上。这是因为 时，不管常数C 为何值，均为1c.稳定的AF，经双线性变换后所得DF 也一定是稳定的，这是因为稳定的AF，其极点必全部位于S 的左半平面上，经双线性变换后，这些极点全部落在单位圆内。d.其突出的优点是避免了频响的混叠失真。说明如下：将 代入双线性变换公式，且 则a.模拟滤波器 中的最大和最小值将保留在数字滤波器 中，因此模拟滤波器的通带或阻带变换成数字滤波器的通带和阻带。5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)即亦即 从 时，则 从；这就是说，S 平面的正虚轴被映射到Z 平面的单位圆的上半部 从 时，则 从；这就是说，S 平面的负虚轴被映射到Z 平面的单位圆的下半部也就是说，从S 平面到Z 平面，频率轴是单位变换关系，而且当为折叠频率，所以不会有高于折叠频率的分量，因此不会产生混叠失真。变。只有能容忍或补偿这种失真时，双线性变换法才是实用的。e.频率的非线性失真从 的关系曲线可以看出，在零频附近，与 之间的变换关系近似于线性，随着 的增加，表现出严重 非线性。因此，DF 的幅频响应 相对于AF 的幅频响应会产生畸5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)5)模拟滤波器的数字化5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)直接代入法 只需将 代入AF 系统函数 就可 得到 DF 的系统函数，即频率响应也可用直接置换得到：未变换前，可将模拟系统函数分解成并联或级联子系统函数，然后在对每个子系统函数分解进行双线性变换，如：并联形式与上述类似.5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续)IIR 数字滤波器的频率转换由低通滤波器设计其他类型的数字滤波器如BF、HF、BS 等。设计方法：将归一化原型模拟低通 所需要的AF DF由模拟低通原型 所需要的DF（不能用冲激响应不变法）由模拟低通原型 数字LF 所需要的DF冲激响应不变法双线性变换法频率转换冲激响应不变法双线性变换法频率转换IIR 数字滤波器的频率转换（续）一、由模拟低通原型 所需的AF 所需的DF（1）数字带通滤波器的设计 模拟低通（LF）模拟带通（ABF）数字带通（DBF）u ALF ABF 的转换 设ALF:ABF:冲激响应不变法双线性变换法IIR 数字滤波器的频率转换（续）w 二者变量之间的转换关系：二者频率之间的转换关系：:带通滤波器的几何中心频率映射关系：