调和点列(一).pdf

第第 2525 讲讲调和点列极点极线调和点列极点极线整理：整理：浙江金华代云龙浙江金华代云龙一、问题综述一、问题综述（一）概念明晰（系列概念）（一）概念明晰（系列概念）：1.1.调和点列：调和点列：如图，在直线l上有两基点A,B，则在l上存在两点C,D到A,B两点的距离比值为定值，即ACAD211）。=，则称顺序点列A,C,B,D四点构成调和点列（易得调和关系BCBDABACAD同理，也可以C,D为基点，则顺序点列A,C,B,D四点仍构成调和点列。所以称A,B和C,D称为调和共轭。2.2.调和线束：调和线束：如图，若A,C,B,D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则直线OA,OC,OB,OD称为调和线束。若另一直线截调和线束，则截得的四点A,C,B,D仍构成调和点列。3.3.阿波罗尼斯圆：阿波罗尼斯圆：如图，A,B为平面中两定点，则满足AP(1)的点P的轨迹为圆O，A,B互为反BP演点。由调和点列定义可知，圆O与直线AB交点C,D满足A,C,B,D四点构成调和点列。5.5.极点极线：极点极线：如图，A,B互为阿圆O反演点，则过B作直线l垂直AB，则称A为l的极点，l为A的极线.6.6.极点极线推广（二次曲线的极点极线）极点极线推广（二次曲线的极点极线）：（1）.二次曲线Ax2 By2Cxy Dx Ey F 0极点P(x0,y0)对应的极线为Ax0 x By0y Cx0y y0 xx xy y D0 E0 F 0222x2 x0 x,y2 y0y,xy x0y y0 xx xy y（半代半不代）,x 0,y 0222x2y2（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程221ab极点P(x0,y0)在椭圆外，PA,PB为椭圆的切线，切点为A,B则极线为切点弦AB:x0 xy0y21；2ab极点P(x0,y0)在椭圆上，过点P作椭圆的切线l，则极线为切线l:x0 xy0y21；a2b极点P(x0,y0)在椭圆内，过点P作椭圆的弦AB，分别过A,B作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.（二）重要性质（二）重要性质性质性质 1 1：调和点列的几种表示形式：调和点列的几种表示形式如图，若A,C,B,D四点构成调和点列，则有x0 xy0y21；a2bACAD211=OC2 OBOA AC AD AB AO ABOD ACBDBCBDABADAC性质性质 2 2：调和点列与极点极线：调和点列与极点极线如图，过极点P作任意直线，与椭圆及极线交点M,D,N则点M,D,N,P成调和点列（可由阿圆推广）性质性质 3 3：极点极线配极原则：极点极线配极原则若点A的极线通过另一点D，则D的极线也通过A一般称A、D互为共轭点推广：推广：如图，过极点P作两条任意直线，与椭圆分别交于点MN,HG，则MG,HN的交点必在极线上，反之也成立。二、典例分析二、典例分析类型类型 1 1：客观题中结论的直接运用：客观题中结论的直接运用例例 1 1（2013山东）过点作圆(x 1)2 y21的两条切线，切点分别为A、B则直线AB的方程为（）（3，1）A2x y 3 0B2x y 3 0C4x y 3 0D4x y 3 0解析：解析：直线AB是点对应的极线，则方程为31x 11 y 1，即2x y 3 0故选 A（3，1）2x0 x222例例 2 2（2010湖北）已知椭圆C:y 1的两个焦点F1，F2，点P(x0,y0)满足0 y01，则22PF1 PF2的取值范围为，直线x0 x y0y 1与椭圆C的公共点个数是2解析：解析：由题知，点P在椭圆内部且与原点不重合 则当P点在线段F1F2上除原点时，(|PF1|PF2|)min 2，当P在椭圆上时，(|PF1|PF2|)max 2a 2 2，则|PF1|PF2|的取值范围为2,2 2)点P(x0,y0)和直线x0 x y0y 1恰好是椭圆的一对极点和极线，因为点P在椭圆内，所以极线与椭圆相离，2故极线与椭圆公共点的个数为0点评：因客观题不需要严格证明，所以一些高观点的运用，往往能达到秒解的效果，从这两个高考题也可点评：因客观题不需要严格证明，所以一些高观点的运用，往往能达到秒解的效果，从这两个高考题也可看出，用普通方法也可解出结果，但用极点极线理论基本秒解，这就拉开了尖子生和普通生的差距，达到看出，用普通方法也可解出结果，但用极点极线理论基本秒解，这就拉开了尖子生和普通生的差距，达到了高考选拔人才的功能。了高考选拔人才的功能。类型类型 2 2：解答题中高观点分析：解答题中高观点分析记记 20102010 年江苏卷一题多解（硬解年江苏卷一题多解（硬解/整体代换整体代换/仿射变换仿射变换/调和点列调和点列/曲线系曲线系/极点极线）极点极线）x2y2例例 3 3（2010 江苏 18）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆1的左右顶点为 A,B，右顶点为95F，设过点T（t,m）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m 0,y1 0,y2 0.（1）设动点 P 满足PF2 PB2 4,求点 P 的轨迹；（2）设x1 2,x21，求点T的坐标；3（第 18 题图）（3）设t 9,求证：直线MN必过x轴上的一定点.（其坐标与m无关）解析：方法一（高考标准答案解析：方法一（高考标准答案 1 1）：直线AT:y mm(x 3)，直线BT:y(x 3)，设M(x1,y1),N(x2,y2)，126my(x13)112联立AT与椭圆，则22xy1115 92403m2x 22403m240m3m26020m180 m得，即M(,)，同理N(,)222280 m80 m20 m20 m40my 180 m2处理一（特殊处理一（特殊+验证）验证）：当x1 x2（MN垂直x轴），解得m 2 10，MN方程为x 1，过定点D(1,0)；40m20m2210m10m80 m20 m，及M,D,N三点共线，即M,N过定,kND2403m23m26040 m240 m21180 m220 m2当x1 x2，kMD点D(1,0)2403m22403m23m260 x 2280 m80 m20 m2，处理二（硬解直线方程）处理二（硬解直线方程）：由得MN方程为：40m40m20my()2280 m80 m20 m2令y 0，解得x 1，即M,N过定点(1,0)方法二（多元未知数整体处理方法二（多元未知数整体处理 此法适用于过椭圆两顶点问题）此法适用于过椭圆两顶点问题）：mm(x 3)，直线BT:y(x 3)，设M(x1,y1),N(x2,y2)，126yy带入直线AT,BT消去m得12 2x13x23直线AT:y 9 x 3y x 3x2y25y91可得：x29 y2，即由椭圆，带入得y9 x 3595 x 35yx 3x 3x 3x239 x 39 x 3，即1，可变形（取倒）为112 22 225y15y2y1y2y1y2（+）/3 得：x11x21（对比直线两点式或与（1，0）斜率），即M,N过定点(1,0)y1y2方法三（伸缩（仿射）变换方法三（伸缩（仿射）变换+调和点列）调和点列）：补充知识.（1）放射变换为另一专题（2）如图，在ABC中，三条高交于点F，高的垂足DE交AF于G，则A,G,F,H成调和点列，即AGAHGFFH本题证明：本题证明：x2y2如图，可将椭圆1伸缩变换为x2 y2 9，因为AMB ANB 90，则B为ATF高的交点，95由上述性质运用知A,D,B,E成调和点列，即定点D(1,0)方法四（二次曲线系）方法四（二次曲线系）：补充：二次曲线系性质：若三个二次曲线系f1(x,y),f2(x,y),f3(x,y)过 4 个相同的点，则一定存在两实数ADAEa 312，设D(a,0)，则，解得a 1，即M,N过DBBE3a6,，使得f1(x,y)f2(x,y)f3(x,y).（可根据六个单项式系数关系求解问题）本题证明：本题证明：如图，本题过A,M,B,N四点的二次曲线有x2y2抛物线1；95直线AM:12y mx3m 0和BN:6y mx3m 0；直线AB:y 0和直线MN:ax by c 0 x2y2所以y(ax by c)(12y mx3m)(6y mx3m)1，观察y与xy的系数有95c 18m 0，则c a，所以MN:by a(1 x)，则M,N过定点D(1,0)a 18m 0方法五（极点极线）方法五（极点极线）：补充：性质性质 3 3本题证明（利用性质本题证明（利用性质 3 3）：如图，点T的轨迹方程为x 9，即1 x0 y1，又AM,BN交点在x 9上，由性质 2 知，95D(1,0)为极点,x 9为对应的极线，即AB,MN交点为D(1,0)，即M,N过定点D(1,0)点评：点评：20102010 年江苏高考题被公认为史上最难高考之一，又一次把葛军老师推向风口浪尖，此题官方解答年江苏高考题被公认为史上最难高考之一，又一次把葛军老师推向风口浪尖，此题官方解答为常规解法，看似简洁，其实其中计算量很大，据说当年没有考生在考场上将此题拿到满分，难度可想而为常规解法，看似简洁，其实其中计算量很大，据说当年没有考生在考场上将此题拿到满分，难度可想而知，但通过高观点（仿射变换知，但通过高观点（仿射变换/调和点列调和点列/二次曲线系二次曲线系/极点极线）分析，我们会发现原来如此“简单”极点极线）分析，我们会发现原来如此“简单”（直（直接是结论的考察）接是结论的考察），所以在平时教学中渗透高观点下的解题思路十分必要，特别是对尖子生的培养。，所以在平时教学中渗透高观点下的解题思路十分必要，特别是对尖子生的培养。三、巩固练习三、巩固练习x2y21.已知点P为2x y 4上一动点 过点P作椭圆切点分别A、B，当点P运动时，1的两条切线，43直线AB过定点，该定点的坐标是2（2014辽宁）已知点A(2,3)在抛物线C：y2 2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点F，则直线BF的斜率为（）A3.（2011希望杯）从直线l:12B23C34D43xy1上的任意一点P作圆O：x2 y2 8的两条切线，切点为A、B，则弦84AB长度的最小值为x2y24.（2009安徽）已知点P(x0,y0)在椭圆22（上，x0 acos，y0 bsin，0，1 a b 0）2ab直线l2与直线l1:x0 xy0y21垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线l2的倾斜角为a2bx2y2（I）证明:点P是椭圆22（与直线l1的唯一交点；1 a b 0）ab（II）证明:tan,tan,tan构成等比数列.5.（2011四川）椭圆有两顶点A(1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P直线AC与直线BD交于点Q（1）当|CD|32时，求直线l 的方程；2x2y26.（2008安徽）设椭圆C:221(a b 0)过点M(2,1)，且左焦点为F1(2,0)ab（1）求椭圆C的方程；（2）当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|AP|QB|AQ|PB|，证明：点Q总在某定直线上参考答案参考答案1.解析：设点P的坐标是，则切点弦AB的方程为（m,2m 4）(3x 8y)m 1216y，令3x 8y 1216y 0，可得x 2,y mx(2m 4)y1，化简得4333，故直线AB过定点(2，)442解析：由题知，p 2p 4，则抛物线方程为y2 8x，设过点A作直线与抛物线C相切与另一2点D，则经过这两个切点的连线BD就是点A对应的极线，其方程是3y 4x2 y 在抛物线的准线上，则焦点F在点A的极线上，B、F、D三点共线 kBF kBD48x。由于点A334，故选 D33.解析：设P(82m,m)，易知P的极线方程为my (8 2m)x 8，即m(2x y)8x 8可得弦AB必过1，2，易得圆O：x2 y2 8上，过1，2的最短的弦长为2 r2 d2max 2 34.分析：（）由题知，P(x0,y0)与直线l1是椭圆的一对极点极线，则直线l1与椭圆相切，点P为切点，5.解析：（2）此题可以用常规方法和曲线系法，具体内容请参考上一讲，本专题研究一下其极点极线性质，0 yy2+mx=1，即对椭圆 x21，若以点P为极点，则其对应的极线过点Q,设P(m,0)，其极线方程为22x=111，故可设点Q的坐标为(,yQ)，所以OPOQ=(m,0)(,yQ)=1，即OPOQ为定值 1mmmc2 2x2y21 1226.解析：（1）由题意得221，解得a 4,b 2，所求椭圆方程为142bac2 a2b2（2）解法：已知PBPAQBQA，说明点P,Q关于椭圆调和共轭，根据定理3，点Q在点P对应的极线上，此极线方程为4x1 y1，化简得2x y 2 0故点Q总在直线2x y 2 042