2015年湖北省高考数学试卷.pdf

2015 年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）i 为虚数单位，i607的共轭复数为（）Ai Bi C 1 D1 2（5 分）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（）A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石 3（5 分）已知（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A212 B211 C210 D29 4（5 分）设 XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）AP（Y2）P（Y1）BP（X2）P（X1）C对任意正数 t，P（Xt）P（Yt）D对任意正数 t，P（Xt）P（Yt）5（5 分）设 a1，a2，anR，n3若 p：a1，a2，an成等比数列；q：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1an）2，则（）Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 6（5 分）已知符号函数 sgnx=，f（x）是 R上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），则（）Asgng（x）=sgnx Bsgng（x）=sgnx C sgng（x）=sgnf（x）Dsgng（x）=sgnf（x）7（5 分）在区间0，1 上随机取两个数 x，y，记 P1为事件“x+y”的概率，P2为事件“|x y|”的概率，P3为事件“xy”的概率，则（）AP1P2P3 BP2P3P1 CP3P1P2 DP3P2P1 8（5 分）将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b（ab）同时增加 m（m 0）个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2，则（）A对任意的 a，b，e1e2 B当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2 C对任意的 a，b，e1e2 D当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2 9（5 分）已知集合 A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合 AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，则 AB中元素的个数为（）A77 B49 C45 D30 10（5 分）设 xR，x 表示不超过 x 的最大整数若存在实数 t，使得t=1，t2=2，tn=n 同时成立，则正整数 n 的最大值是（）A3 B4 C5 D6 二、填空题：本大题共 4 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 11（5 分）已知向量，|=3，则=12（5 分）函数 f（x）=4cos2cos（x）2sinx|ln（x+1）|的零点个数为 13（5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30的方向上，行驶 600m后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD=m 14（5 分）如图，圆 C与 x 轴相切于点 T（1，0），与 y 轴正半轴交于两点 A，B（B在 A的上方），且|AB|=2 （1）圆 C的标准方程为 ；（2）过点 A任作一条直线与圆 O：x2+y2=1 相交于 M，N两点，下列三个结论：=；=2；+=2 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）选修 4-1：几何证明选讲 15（5 分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且 BC=3PB，则=选修 4-4：坐标系与参数方程 16在直角坐标系 xOy 中，以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为 （sin 3cos）=0，曲线 C的参数方程为（t 为参数），l 与 C相交于 A，B两点，则|AB|=三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（11 分）某同学用“五点法”画函数 f（x）=Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+0 2 x Asin（x+）0 5 5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式；（2）将 y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到 y=g（x）的图象若 y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求 的最小值 18（12 分）设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为q，已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求数列an，bn的通项公式（2）当 d1 时，记 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn 19（12 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD 底面 ABCD，且 PD=CD，过棱 PC的中点 E，作 EFPB交 PB于点 F，连接 DE，DF，BD，BE （1）证明：PB平面 DEF 试判断四面体 DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面 DEF与面 ABCD 所成二面角的大小为，求的值 20（12 分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A，B两种奶制品生产 1 吨 A产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 B产品需鲜牛奶 1.5吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元要求每天 B产品的产量不超过 A产品产量的 2 倍，设备每天生产 A，B两种产品时间之和不超过 12 小时假定每天可获取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量（1）求 Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率 21（14 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示O是滑槽 AB的中点，短杆 ON可绕O转动，长杆 MN通过 N处铰链与 ON连接，MN上的栓子 D可沿滑槽 AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子 D在滑槽 AB内作往复运动时，带动 N绕 O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为 C，以 O为原点，AB所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系（1）求椭圆 C的方程；（2）设动直线 l 与两定直线 l1：x2y=0 和 l2：x+2y=0 分别交于 P，Q两点若直线 l 总与椭圆 C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 22（14 分）已知数列an的各项均为正数，bn=n（1+）nan（nN+），e 为自然对数的底数（1）求函数 f（x）=1+xex的单调区间，并比较（1+）n与 e 的大小；（2）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令 cn=（a1a2an），数列an，cn的前 n 项和分别记为 Sn，Tn，证明：TneSn 2015 年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）i 为虚数单位，i607的共轭复数为（）Ai Bi C 1 D1【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可【解答】解：i607=i604+3=i3=i，它的共轭复数为：i 故选：A【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查 2（5 分）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（）A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石【分析】根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534169 石，故选：B【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础 3（5 分）已知（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A212 B211 C210 D29【分析】直接利用二项式定理求出 n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，可得，可得 n=3+7=10（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29 故选：D【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力 4（5 分）设 XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）AP（Y2）P（Y1）BP（X2）P（X1）C对任意正数 t，P（Xt）P（Yt）D对任意正数 t，P（Xt）P（Yt）【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=对称，所以 12，从图中容易得到 P（Xt）P（Yt）故选：C 【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数 和标准差 这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质 5（5 分）设 a1，a2，anR，n3若 p：a1，a2，an成等比数列；q：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1an）2，则（）Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+an 12）（a22+a32+an2）（a1a2+a2a3+an1an）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到【解答】解：由 a1，a2，anR，n3 运用柯西不等式，可得：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）（a1a2+a2a3+an1an）2，若 a1，a2，an成等比数列，即有=，则（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1an）2，即由 p 推得 q，但由 q 推不到 p，比如 a1=a2=a3=an=0，则 a1，a2，an不成等比数列 故 p 是 q 的充分不必要条件 故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键 6（5 分）已知符号函数 sgnx=，f（x）是 R上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），则（）Asgng（x）=sgnx Bsgng（x）=sgnx C sgng（x）=sgnf（x）Dsgng（x）=sgnf（x）【分析】直接利用特殊法，设出函数 f（x），以及 a 的值，判断选项即可【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数 sgnx=，f（x）是 R上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），不妨令 f（x）=x，a=2，则 g（x）=f（x）f（ax）=x，sgng（x）=sgnx 所以 A不正确，B正确，sgnf（x）=sgnx，C不正确；D正确；对于 D，令 f（x）=x+1，a=2，则 g（x）=f（x）f（ax）=x，sgnf（x）=sgn（x+1）=；sgng（x）=sgn（x）=，sgnf（x）=sgn（x+1）=；所以 D不正确；故选：B【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题 7（5 分）在区间0，1 上随机取两个数 x，y，记 P1为事件“x+y”的概率，P2为事件“|x y|”的概率，P3为事件“xy”的概率，则（）AP1P2P3 BP2P3P1 CP3P1P2 DP3P2P1【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积 S1=11=1=，S2=112=1=，S3=1+dx=+lnx|=ln=+ln2，S2S3S1，即 P2P3P1，故选：B 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键 本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小 8（5 分）将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b（ab）同时增加 m（m 0）个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2，则（）A对任意的 a，b，e1e2 B当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2 C对任意的 a，b，e1e2 D当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论【解答】解：由题意，双曲线 C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线 C2：c2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，=，当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2，故选：B【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础 9（5 分）已知集合 A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合 AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，则 AB中元素的个数为（）A77 B49 C45 D30【分析】由题意可得，A=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），B=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），根据定义可求【解答】解：解法一：A=（x，y）|x2+y21，x，yZ=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2）AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，AB=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，3），（0，3），（2，3），（1，3），（1，3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，2）（3，2）（3，1），（1，3），（3，1），（3，0），（3，2）共 45 个元素；解法二：因为集合 A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，所以集合 A中有 5 个元素，即图中圆中的整点，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，中有 55=25 个元素，即图中正方形 ABCD 中的整点，AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B的元素可看作正方形 A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即 774=45 个 故选：C【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素 10（5 分）设 xR，x 表示不超过 x 的最大整数若存在实数 t，使得t=1，t2=2，tn=n 同时成立，则正整数 n 的最大值是（）A3 B4 C5 D6【分析】由新定义可得 t 的范围，验证可得最大的正整数 n 为 4【解答】解：若t=1，则 t 1，2），若t2=2，则 t，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若t3=3，则 t，），若t4=4，则 t，），若t5=5，则 t，），其中1.732，1.587，1.495，1.431 1.495，通过上述可以发现，当 t=4 时，可以找到实数 t 使其在区间1，2），），），）上，但当 t=5 时，无法找到实数 t 使其在区间1，2），），），），）上，正整数 n 的最大值 4 故选：B【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题 二、填空题：本大题共4 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 11（5 分）已知向量，|=3，则=9 【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案【解答】解：由，得=0，即（）=0，|=3，故答案为：9【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题 12（5 分）函数 f（x）=4cos2cos（x）2sinx|ln（x+1）|的零点个数为 2 【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可【解答】解：函数 f（x）的定义域为：x|x 1 f（x）=4cos2cos（x）2sinx|ln（x+1）|=2sinx|ln（x+1）|=sin2x|ln（x+1）|，分别画出函数 y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为 2 所以函数的零点有 2 个 故答案为：2 【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用 13（5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30的方向上，行驶 600m后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD=100 m 【分析】设此山高 h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出 BC，进而在ABC中利用正弦定理求得 h【解答】解：设此山高 h（m），则 BC=h，在ABC中，BAC=30，CBA=105，BCA=45，AB=600 根据正弦定理得=，解得 h=100（m）故答案为：100【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解 14（5 分）如图，圆 C与 x 轴相切于点 T（1，0），与 y 轴正半轴交于两点 A，B（B在 A的上方），且|AB|=2 （1）圆 C的标准方程为（x1）2+（y）2=2；（2）过点 A任作一条直线与圆 O：x2+y2=1 相交于 M，N两点，下列三个结论：=；=2；+=2 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）【分析】（1）取 AB的中点 E，通过圆 C与 x 轴相切于点 T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设 M（cos，sin），N（cos，sin），计算出、的值即可【解答】解：（1）圆 C与 x 轴相切于点 T（1，0），圆心的横坐标 x=1，取 AB的中点 E，|AB|=2，|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径 r=|BC|=，圆心 C（1，），则圆的标准方程为（x1）2+（y）2=2，故答案为：（x1）2+（y）2=2（2）圆心 C（1，），E（0，），又|AB|=2，且 E为 AB中点，A（0，1），B（0，+1），M、N在圆 O：x2+y2=1 上，可设 M（cos，sin），N（cos，sin），|NA|=，|NB|=，=，同理可得=，=，成立，=（）=2，正确+=+（）=，正确 故答案为：【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题 选修 4-1：几何证明选讲 15（5 分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且 BC=3PB，则=【分析】利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PBPC，又 BC=3PB，可得 PA=2PB，在PAB与PAC中，P=P，PAB=PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得PAB PAC，=故答案为：【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力 选修 4-4：坐标系与参数方程 16在直角坐标系 xOy 中，以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为 （sin 3cos）=0，曲线 C的参数方程为（t 为参数），l 与 C相交于 A，B两点，则|AB|=【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案【解答】解：由（sin 3cos）=0，得 y3x=0，由 C的参数方程为（t 为参数），两式平方作差得：x2y2=4 联立，得，即 A（），B（），|AB|=故答案为：【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（11 分）某同学用“五点法”画函数 f（x）=Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+0 2 x Asin（x+）0 5 5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式；（2）将 y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到 y=g（x）的图象若 y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求 的最小值【分析】（1）根据表中已知数据，解得 A=5，=2，=从而可补全数据，解得函数表达式为 f（x）=5sin（2x）（2）由（）及函数 y=Asin（x+）的图象变换规律得 g（x）=5sin（2x+2）令 2x+2=k，解得 x=，kZ令=，解得=，kZ由 0 可得解【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得 A=5，=2，=数据补全如下表：x+0 2 x Asin（x+）0 5 0 5 0 且函数表达式为 f（x）=5sin（2x）（2）由（）知 f（x）=5sin（2x），得 g（x）=5sin（2x+2）因为 y=sinx 的对称中心为（k，0），kZ 令 2x+2=k，解得 x=，kZ 由于函数 y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得=，kZ由 0 可知，当 K=1时，取得最小值【点评】本题主要考查了由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查 18（12 分）设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为q，已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求数列an，bn的通项公式（2）当 d1 时，记 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn【分析】（1）利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当 d1 时，由（1）知 cn=，写出 Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）设 a1=a，由题意可得，解得，或，当时，an=2n1，bn=2n1；当时，an=（2n+79），bn=9；（2）当 d1 时，由（1）知 an=2n1，bn=2n1，cn=，Tn=1+3+5+7+9+（2n1），Tn=1+3+5+7+（2n3）+（2n1），Tn=2+（2n1）=3，Tn=6【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题 19（12 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD 底面 ABCD，且 PD=CD，过棱 PC的中点 E，作 EFPB交 PB于点 F，连接 DE，DF，BD，BE （1）证明：PB平面 DEF 试判断四面体 DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面 DEF与面 ABCD 所成二面角的大小为，求的值 【分析】解法 1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出 PBEF，DE FE=E，所以 PB平面 DEF，即可判断 DE 平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角（2）根据公理 2 得出 DG是平面 DEF与平面 ACBD 的交线利用直线平面的垂直判断出 DG DF，DG DB，根据平面角的定义得出BDF是面 DEF与面 ABCD 所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可 解法 2）（1）以 D为原点，射线 DA，DC，DP分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可 2）由 PD底面 ABCD，所以=（0，0，1）是平面 ACDB 的一个法向量；由（）知，PB平面 DEF，所以=（，1，1）是平面 DEF的一个法向量根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案【解答】解法 1）（1）因为 PD 底面 ABCD，所以 PD BC，由底面 ABCD 为长方形，有 BC CD，而 PD CD=D，所以 BC 平面 PCD 而 DE 平面 PDC，所以 BC DE 又因为 PD=CD，点 E是 PC的中点，所以 DE PC 而 PCCB=C，所以 DE 平面 PBC 而 PB平面 PBC，所以 PBDE 又 PBEF，DE FE=E，所以 PB平面 DEF 由 DE 平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB （2）如图 1，在面 BPC内，延长 BC与 FE交于点 G，则 DG是平面 DEF与平面 ACBD 的交线 由（）知，PB平面 DEF，所以 PBDG 又因为 PD 底面 ABCD，所以 PD DG 而 PD PB=P，所以 DG 平面 PBD 所以 DG DF，DG DB 故BDF是面 DEF与面 ABCD 所成二面角的平面角，设 PD=DC=1，BC=，有 BD=，在 RtPDB中，由 DF PB，得DPB=FDB=，则 tan=tan DPF=，解得 所以=故当面 DEF与面 ABCD 所成二面角的大小为时，=（解法 2）（1）以 D为原点，射线 DA，DC，DP分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系设 PD=DC=1，BC=，则 D（0，0，0），P（0，0，1），B（，1，0），C（0，1，0），=（1，1），点 E是 PC的中点，所以 E（0，），=（0，），于是=0，即 PBDE 又已知 EFPB，而 ED EF=E，所以 PB平面 DEF 因=（0，1，1），=0，则 DE PC，所以 DE 平面 PBC 由 DE 平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 DEB，DEF，EFB，DFB （2）由 PD底面 ABCD，所以=（0，0，1）是平面 ACDB的一个法向量；由（）知，PB平面 DEF，所以=（，1，1）是平面 DEF的一个法向量 若面 DEF与面 ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos=，解得所以所以=故当面 DEF与面 ABCD所成二面角的大小为时，=【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题 20（12 分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A，B两种奶制品生产 1 吨 A产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 B产品需鲜牛奶 1.5吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元要求每天 B产品的产量不超过 A产品产量的 2 倍，设备每天生产 A，B两种产品时间之和不超过 12 小时假定每天可获取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量（1）求 Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率【分析】（1）设每天 A，B两种产品的生产数量分别为 x，y，相应的获利为 z，列出可行域，目标函数，通过当 W=12时，当 W=15时，当 W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到 Z的分布列求出期望即可（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可【解答】（12 分）解：（1）设每天 A，B两种产品的生产数量分别为 x，y，相应的获利为 z，则有 ，如图 1，目标函数为：z=1000 x+1200y 当 W=12时，表示的平面区域如图 1，三个顶点分别为 A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）将 z=1000 x+1200y 变形为，当 x=2.4，y=4.8 时，直线 l：在 y 轴上的截距最大，最大获利 Z=Zmax=2.4 1000+4.8 1200=8160 当 W=15时，表示的平面区域如图 2，三个顶点分别为 A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）将 z=1000 x+1200y 变形为，当 x=3，y=6 时，直线 l：在 y 轴上的截距最大，最大获利 Z=Zmax=31000+61200=10200 当 W=18时，表示的平面区域如图 3，四个顶点分别为 A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）将 z=1000 x+1200y 变形为：，当 x=6，y=4 时，直线 l：y=56x+z1200 在 y 轴上的截距最大，最大获利 Z=Zmax=61000+41200=10800 故最大获利 Z的分布列为：Z 8160 10200 10800 P 0.3 0.5 0.2 因此，E（Z）=81600.3+10200 0.5+10800 0.2=9708（2）由（）知，一天最大获利超过 10000 元的概率 P1=P（Z10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3 天中至少有 1 天最大获利超过10000 元的概率为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力 21（14 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示O是滑槽 AB的中点，短杆 ON可绕O转动，长杆 MN通过 N处铰链与 ON连接，MN上的栓子 D可沿滑槽 AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子 D在滑槽 AB内作往复运动时，带动 N绕 O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为 C，以 O为原点，AB所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系（1）求椭圆 C的方程；（2）设动直线 l 与两定直线 l1：x2y=0 和 l2：x+2y=0 分别交于 P，Q两点若直线 l 总与椭圆 C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 【分析】（1）根据条件求出 a，b 即可求椭圆 C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：（1）设 D（t，0），|t|2，N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，且|=|=1，（t x，y）=2（x0t，y0），且，即，且 t（t 2x0）=0，由于当点 D不动时，点 N也不动，t 不恒等于 0，于是 t=2x0，故 x0=，y0=，代入 x02+y02=1，得方程为 （2）当直线 l 的斜率 k 不存在时，直线 l 为：x=4 或 x=4，都有 SOPQ=，直线l 的斜率k 存在时，直线l 为：y=kx+m，（k），由消去 y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，直线l 总与椭圆C有且只有一个公共点，=64k2m24（1+4k2）（4m216）=0，即 m2=16k2+4，由，可得 P（，），同理得 Q（，），原点 O到直线 PQ的距离 d=和|PQ|=|xPxQ|，可得 SOPQ=|PQ|d=|m|xPxQ|=|m|=|，将代入得 SOPQ=|=8|，当 k2时，SOPQ=8（）=8（1+）8，当 0k2时，SOPQ=8|=8（）=8（1+），0k2时，014k21，2，SOPQ=8（1+）8，当且仅当 k=0 时取等号，当 k=0 时，SOPQ的最小值为 8，综上可知当直线 l 与椭圆 C在四个顶点处相切时，三角形 OPQ的面积存在最小值为 8【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键综合性较强，运算量较大 22（14 分）已知数列an的各项均为正数，bn=n（1+）nan（nN+），e 为自然对数的底数（1）求函数 f（x）=1+xex的单调区间，并比较（1+）n与 e 的大小；（2）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令 cn=（a1a2an），数列an，cn的前 n 项和分别记为 Sn，Tn，证明：TneSn【分析】（1）求出 f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到 1+xex取 x=即可得到答案；（2）由 bn=n（1+）nan（nN+），变形求得，由此推测=（n+1）n然后利用数学归纳法证明（3）由 cn的定义、=（n+1）n、算术几何平均不等式、bn的定义及，利用放缩法证得 TneSn【解答】（1）解：f（x）的定义域为（，+），f（x）=1ex 当 f（x）0，即 x0 时，f（x）单调递增；当 f（x）0，即 x0 时，f（x）单调递减 故 f（x）的单调递增区间为（，0），单调递减区间为（0，+）当 x0 时，f（x）f（0）=0，即 1+xex 令，得，即（2）解：；=；由此推测：=（n+1）n 下面用数学归纳法证明（1）当 n=1 时，左边=右边=2，成立（2）假设当 n=k 时，成立，即 当 n=k+1时，由归纳假设可得=当 n=k+1时，也成立 根据（1）（2），可知对一切正整数 n 都成立（3）证明：由 cn的定义，算术几何平均不等式，bn的定义及得 Tn=c1+c2+cn=ea1+ea2+ean=eSn 即 TneSn【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题