2020届中考数学总复习一元二次方程-精练精析及答案解析.pdf

北京市 Earlybird 方程与不等式一元二次方程 2 一选择题（共 8 小题）1用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米若设它的一条边长为 x米，则根据题意可列出关于 x 的方程为（）Ax（5+x）=6 Bx（5x）=6 Cx（10 x）=6 Dx（102x）=6 2某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x 株，则可以列出的方程是（）A（3+x）（40.5x）=15 B（x+3）（4+0.5x）=15 C（x+4）（30.5x）=15 D（x+1）（40.5x）=15 3用一条长为 40cm的绳子围成一个面积为 acm2的长方形，a 的值不可能为（）A20 B40 C100 D120 4要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（）A x（x+1）=28 B x（x1）=28 Cx（x+1）=28 Dx（x1）=28 5已知关于 x 的一元二次方程（a1）x2+x+a21=0 的一个根是 0，则 a 的值为（）A1 B1 C1 或1 D 6一元二次方程 x21=0的根为（）Ax=1 Bx=1 Cx1=1，x2=1 Dx1=0，x2=1 7三角形的两边分别为 3 和 5，第三边是方程 x25x+6=0 的解，则第三边的长为（）A2 B3 C2 或 3 D无法确定 8方程 x（x+1）=x+1 的解是（）A1 B0 C1 或 0 D1 或1 二填空题（共 8 小题）9如图，某小区规划在一个长 30m、宽 20m的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与 AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为 78m2，那么通道的宽应设计成多少 m？设通道的宽为 xm，由题意列得方程 _ 北京市 Earlybird 10现有一块长 80cm、宽 60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 xcm的小正方形，做成一个底面积为 1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 _ 11某小区 2013 年绿化面积为 2000 平方米，计划 2015 年绿化面积要达到 2880 平方米如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 _ 12某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为 _ 13一块矩形菜地的面积是 120m2，如果它的长减少 2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 _ m 14已知实数 m，n 满足 m n2=1，则代数式 m2+2n2+4m 1 的最小值等于 _ 15已知关于 x 的一元二次方程 ax2+xb=0的一根为1，则 ab 的值是 _ 16已知 x=2 是关于 x 的方程 x2+4xp=0 的一个根，则 p=_，该方程的另一个根是 _ 三解答题（共 8 小题）17解方程：x（x2）=2x+1 18解方程：x26=2（x+1）19如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为120 平方米的矩形草坪 ABCD 求该矩形草坪 BC边的长 20已知 a，b 是方程 x25x+=0 的两根，（1）求 a+b 和 ab 的值（2）求的值 21某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？北京市 Earlybird 22据媒体报道，我国 2010 年公民出境旅游总人数约 5 000 万人次，2012 年公民出境旅游总人数约 7 200 万人次若 2011 年、2012 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果 2013 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2013 年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？23贵阳市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率（2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打 9.8 折销售；不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更优惠？24为建设美丽泉城，喜迎十艺节，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012 年投入了 400 万元，预计到 2014 年将投入 576 万元（1）求 2012 年至 2014 年该单位环保经费投入的年平均增长率；（2）该单位预计 2015 年投入环保经费不低于 680 万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由 北京市 Earlybird 方程与不等式一元二次方程 2 参考答案与试题解析 一选择题（共 8 小题）1用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米若设它的一条边长为 x米，则根据题意可列出关于 x 的方程为（）A x（5+x）=6 Bx（5x）=6 Cx（10 x）=6 D x（102x）=6 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 专题：几何图形问题 分析：一边长为 x 米，则另外一边长为：5x，根据它的面积为 6 平方米，即可列出方程式 解答：解：一边长为 x 米，则另外一边长为：5x，由题意得：x（5x）=6，故选：B 点评：本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式 2某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x 株，则可以列出的方程是（）A（3+x）（40.5x）=15 B（x+3）（4+0.5x）=15 C（x+4）（30.5x）=15 D（x+1）（40.5x）=15 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 专题：销售问题 分析：根据已知假设每盆花苗增加 x 株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（40.5x）元，由题意得（x+3）（40.5x）=15 即可 解答：解：设每盆应该多植 x 株，由题意得（3+x）（40.5x）=15，故选：A 点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键 3用一条长为 40cm的绳子围成一个面积为 acm2的长方形，a 的值不可能为（）A 20 B40 C100 D 120 考点：一元二次方程的应用 专题：判别式法 分析：设围成面积为 acm2的长方形的长为 xcm，由长方形的周长公式得出宽为（402x）cm，根据长方形的面积公式列出方程 x（402x）=a，整理得 x220 x+a=0，由=4004a0，求出 a100，即可求解 北京市 Earlybird 解答：解：设围成面积为 acm2的长方形的长为 xcm，则宽为（402x）cm，依题意，得 x（402x）=a，整理，得 x220 x+a=0，=4004a0，解得 a100，故选：D 点评：本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键 4要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（）A x（x+1）=28 B x（x1）=28 Cx（x+1）=28 D x（x1）=28 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 分析：关系式为：球队总数每支球队需赛的场数2=47，把相关数值代入即可 解答：解：每支球队都需要与其他球队赛（x1）场，但 2 队之间只有 1 场比赛，所以可列方程为：x（x1）=47 故选：B 点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意 2 队之间的比赛只有 1 场，最后的总场数应除以 2 5已知关于 x 的一元二次方程（a1）x2+x+a21=0 的一个根是 0，则 a 的值为（）A 1 B1 C1 或1 D 考点：一元二次方程的解 专题：计算题 分析：由一元二次方程（a1）x2+x+a21=0 的一个根是 0，将 x=0 代入方程得到关于 a 的方程，求出方程的解得到 a 的值，将 a 的值代入方程进行检验，即可得到满足题意a 的值 解答：解：一元二次方程（a1）x2+x+a21=0 的一个根是 0，将 x=0 代入方程得：a21=0，解得：a=1 或 a=1，将 a=1 代入方程得二次项系数为 0，不合题意，舍去，则 a 的值为1 故选：B 点评：此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值 6一元二次方程 x21=0的根为（）A x=1 Bx=1 Cx1=1，x2=1 D x1=0，x2=1 考点：解一元二次方程-直接开平方法 北京市 Earlybird 专题：压轴题 分析：首先把1 移到方程的右边，再两边直接开平方即可 解答：解：x21=0，移项得：x2=1，两边直接开平方得：x=1，故选：C 点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成 x2=a（a0）的形式，利用数的开方直接求解 7三角形的两边分别为 3 和 5，第三边是方程 x25x+6=0 的解，则第三边的长为（）A 2 B3 C2 或 3 D 无法确定 考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系 专题：计算题 分析：求出方程的解得到 x 的值，即可确定出第三边长 解答：解：方程 x25x+6=0，变形得：（x2）（x3）=0，解得：x=2 或 x=3，当 x=2 时，三角形三边分别为 2，3，5，不成立，舍去，则第三边为 3 故选 B 点评：此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 8方程 x（x+1）=x+1 的解是（）A 1 B0 C1 或 0 D 1 或1 考点：解一元二次方程-因式分解法 专题：计算题 分析：方程变形后，利用因式分解法求出解即可 解答：解：方程移项得：x（x+1）（x+1）=0，分解因式得：（x1）（x+1）=0，解得：x=1 或 x=1，故选 D 点评：此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 二填空题（共 8 小题）9如图，某小区规划在一个长 30m、宽 20m的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与 AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为 78m2，那么通道的宽应设计成多少 m？设通道的宽为 xm，由题意列得方程（302x）（20 x）=678 北京市 Earlybird 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 专题：几何图形问题 分析：设道路的宽为 xm，将 6 块草地平移为一个长方形，长为（302x）m，宽为（20 x）m 根据长方形面积公式即可列方程（302x）（20 x）=678 解答：解：设道路的宽为 xm，由题意得：（302x）（20 x）=678，故答案为：（302x）（20 x）=678 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得 6 块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键 10现有一块长 80cm、宽 60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 xcm的小正方形，做成一个底面积为 1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 x270 x+825=0 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 专题：方程思想 分析：本题设小正方形边长为 xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含 x 的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（802x）cm，宽是（602x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出 解答：解：由题意得：（802x）（602x）=1500 整理得：x270 x+825=0，故答案为：x270 x+825=0 点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式另外，要学会通过图形求出面积 11某小区 2013 年绿化面积为 2000 平方米，计划 2015 年绿化面积要达到 2880 平方米如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20%考点：一元二次方程的应用 专题：增长率问题 分析：本题需先设出这个增长率是 x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出 x 的值，即可得出答案 解答：解：设这个增长率是 x，根据题意得：2000（1+x）2=2880 解得：x1=20%，x2=220%（舍去）故答案为：20%点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键 北京市 Earlybird 12某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为 20%考点：一元二次方程的应用 专题：增长率问题 分析：解答此题利用的数量关系是：商品原来价格（1每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可 解答：解：设这种商品平均每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得，125（1x）2=80，解得 x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）；故答案为：20%点评：本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格（1每次降价的百分率）2=现在价格 13一块矩形菜地的面积是 120m2，如果它的长减少 2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 12 m 考点：一元二次方程的应用 专题：几何图形问题 分析：根据“如果它的长减少 2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多 2 米，利用矩形的面积公式列出方程即可 解答：解：长减少 2m，菜地就变成正方形，设原菜地的长为 x 米，则宽为（x2）米，根据题意得：x（x2）=120，解得：x=12 或 x=10（舍去），故答案为：12 点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系 14已知实数 m，n 满足 m n2=1，则代数式 m2+2n2+4m 1 的最小值等于 4 考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方 专题：压轴题；整体思想 分析：已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于 0，即可确定出最小值 解答：解：m n2=1，即 n2=m 10，m1，原式=m2+2m 2+4m 1=m2+6m+9 12=（m+3）212，则代数式 m2+2n2+4m 1 的最小值等于（1+3）212=4 故答案为：4 点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 15已知关于 x 的一元二次方程 ax2+xb=0的一根为1，则 ab 的值是 1 北京市 Earlybird 考点：一元二次方程的解 分析：将 x=1 代入已知一元二次方程，通过移项即可求得（ab）的值 解答：解：关于 x 的一元二次方程 ax2+xb=0 的一根为1，x=1 满足该方程，a1b=0，解得，1 故答案是：1 点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值 即用这个数代替未知数所得式子仍然成立 16 已知 x=2 是关于 x 的方程 x2+4xp=0的一个根，则 p=12，该方程的另一个根是 x=6 考点：一元二次方程的解；根与系数的关系 分析：根据一元二次方程的步骤把 x=2 代入原方程求得 p 值，然后利用因式分解法解方程即可求得方程的另一根 解答：解：x=2 是关于 x 的方程 x2+4xp=0的一个根，22+42p=0，解得 p=12；x2+4xp=0，x2+4x12=0，（x+6）（x2）=0，x+6=0 或 x2=0，解得，x=6 或 x=2，方程的另一个根是 x=6；故答案是：12，x=6 点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是求出 p 的值，再利用因式分解法求另一根 三解答题（共 8 小题）17解方程：x（x2）=2x+1 考点：解一元二次方程-配方法 分析：先去括号，再化为一般形式，移项，配方，用直接开平方法解即可 解答：解：x（x2）=2x+1，x22x=2x+1，x24x+4=5，（x2）2=5 x2=，即 x1=2+，x2=2 点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；北京市 Earlybird（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 18解方程：x26=2（x+1）考点：解一元二次方程-配方法 专题：计算题 分析：方程变形后，配方为完全平方式，开方即可求出解 解答：解：方程整理得：x2+2x=4，配方得：x2+2x+1=5，即（x+1）2=5，开方得：x+1=，解得：x1=1+，x2=1 点评：此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 19如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为120 平方米的矩形草坪 ABCD 求该矩形草坪 BC边的长 考点：一元二次方程的应用 专题：几何图形问题 分析：可设矩形草坪 BC边的长为 x 米，则 AB的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解 解答：解：设 BC边的长为 x 米，则 AB=CD=米，根据题意得：x=120，解得：x1=12，x2=20，2016，x2=20 不合题意，舍去，答：矩形草坪 BC边的长为 12 米 点评：本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键 20已知 a，b 是方程 x25x+=0 的两根，（1）求 a+b 和 ab 的值 北京市 Earlybird（2）求的值 考点：根与系数的关系；分式的化简求值 分析：（1）直接根据根与系数的关系得出答案即可；（2）把原式整理化简，再代入（1）中的数值得出答案即可 解答：解：（1）a，b 是方程 x25x+=0 的两根，a+b=5，ab=；（2）原式=点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系和分式的化简求值，注意先化简，再求值 21某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？考点：一元二次方程的应用 专题：销售问题 分析：设该产品的成本价平均每月降低率为 x，那么两个月后的销售价格为 625（120%）（1+6%），两个月后的成本价为 500（1x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果 解答：解：设该产品的成本价平均每月降低率为 x，依题意得 625（120%）（1+6%）500（1x）2=625500，整理得 500（1x）2=405，（1x）2=0.81，1x=0.9，x=10.9，x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%答：该产品的成本价平均每月应降低 10%点评：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到 125 元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价 22据媒体报道，我国 2010 年公民出境旅游总人数约 5 000 万人次，2012 年公民出境旅游总人数约 7 200 万人次若 2011 年、2012 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；北京市 Earlybird（2）如果 2013 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2013 年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用 专题：增长率问题 分析：（1）设年平均增长率为 x根据题意 2010 年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011 年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次根据题意得方程求解；（2）2012 年我国公民出境旅游总人数约 7200（1+x）万人次 解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x 根据题意得：5000（1+x）2=7200，解得 x1=0.2=20%，x2=2.2（不合题意，舍去）答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20%（2）如果 2013 年仍保持相同的年平均增长率，则 2012 年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200（1+20%）=8640（万人次）答：预测 2013 年我国公民出境旅游总人数约 8640 万人次 点评：此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大 23贵阳市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率（2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打 9.8 折销售；不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更优惠？考点：一元二次方程的应用 专题：增长率问题 分析：（1）设求平均每次下调的百分率为 x，由降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可；（2）分别求出两种优惠方法的费用，比较大小就可以得出结论 解答：（1）解：设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得 6000（1x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）答：平均每次下调的百分率为 10%；（2）由题意，得 方案优惠：4860100（10.98）=9720 元，方案优惠：80100=8000 元 97208000 方案更优惠 点评：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，降低率问题的数量关系的运用，解答时列一元二次方程解实际问题是难点 北京市 Earlybird 24为建设美丽泉城，喜迎十艺节，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012 年投入了 400 万元，预计到 2014 年将投入 576 万元（1）求 2012 年至 2014 年该单位环保经费投入的年平均增长率；（2）该单位预计 2015 年投入环保经费不低于 680 万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由 考点：一元二次方程的应用 专题：增长率问题 分析：（1）等量关系为：2012 年环保经费的投入（1+增长率）2=2014 年环保经费的投入，把相关数值代入求解即可；（2）2015 年该区环保经费=2014 年教育经费的投入（1+增长率）解答：解：（1）设 2012 年至 2014 年该单位投入环保经费的年平均增长率为 x，根据题意，得 400（1+x）2=576，解得 x1=0.2，x2=2.2（不合题意，舍去）答：2012 年至 2014 年该单位投入环保经费的年平均增长率为 20%（2）576（1+20%）=691.2 680 该目标能实现 点评：考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2=b