[优质版]保定市定兴县八年级上期末数学试卷有答案.pdf

2017-2018 学年河北省保定市定兴县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题(本大题共 16 个小题,110 每小题 3 分,1116 每小题 3 分,共 42 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1（3 分）下列四个图形是四款车的标志，其中轴对称图形有几个（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2（3 分）下列说法不正确的是（）A 1 的平方根是 1 B 1 的立方根是 1 C 是 2 的算术平方根 D 3 是 的平方根 3（3 分）如图，ABC CDA，则下列结论错误的是（）A AC=CA B AB=AD C ACB=CAD D B=D 4（3 分）若分式 有意义，则 x 的取值范围是（）A x 0 B x 1 C x 3 D x 0 且 x 1 5（3 分）下列式子中，为最简二次根式的是（）A B C D 6（3 分）下列实数中，是无理数的是（）A B C D|2|7（3 分）下列各数中，可以用说明命题“任何偶数都是 4 的倍数”是假命题的反例是（）A 5 B 2 C 4 D 8 8（3 分）ABC 中 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（）A 如果 C B=A，则 ABC 是直角三角形 B如果 c 2=b2 a 2，则 ABC 是直角三角形，且C=90 C如果（c+a）（c a）=b2，则 ABC 是直角三角形 D 如果 A：B：C=5：2：3，则 ABC 是直角三角形 9（3 分）已知实数 x，y 满足|x 4|+（y 8）2=0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A 20 或 16 B 20 C 16 D 以上答案均不对 10（3 分）如图，AOB和线段 CD，如果 P 点到 OA，OB的距离相等，且 PC=PD，则 P 点是（）A AOB的平分线与 CD的交点 B CD的垂直平分线与 OA的交点 C AOB的平分线与 CD的垂直平分线的交点 D CD的中点 11（2 分）如图，直线 l 外不重合的两点 A、B，在直线 l 上求作一点 C，使得 AC+BC 的长度最短，作法为：作点 B 关于直线 l 的对称点 B；连接 AB与直线 l 相交于点 C，则点 C 为所求作的点在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A 转化思想 B三角形的两边之和大于第三边 C两点之间，线段最短 D 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 12（2 分）观察图形 并判断照此规律从左到右第四个图形是（）A B C D 13（2 分）如图，把矩形纸片 ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为 EBD，那么下列说法错误的是（）A EBD 是等腰三角形，EB=ED B折叠后 ABE 和 CBD 一定相等 C折叠后得到的图形是轴对称图形 D EBA 和 EDC 一定是全等三角形 14（2 分）如图，ABC是等腰三角形，点 O 是底边 BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为 5，面积为 12，则 OE+OF 的值为（）A 4 B C 15 D 8 15（2 分）已知AOB=30，点 P 在 AOB 内部，点 P1与点 P 关于 OA对称，点 P2与点 P 关于 OB对称，则 P1OP2是（）A 含 30角的直角三角形 B顶角是 30的等腰三角形 C等边三角形 D 等腰直角三角形 16（2 分）如图，在 ABC中，已知ACB=90，AB=10cm，AC=8cm，动点 P 从点 A出发，以2cm/s 的速度沿线段 AB向点 B 运动在运动过程中，当 APC为等腰三角形时，点 P 出发的时刻 t 可能的值为（）A 5 B 5 或 8 C D 4 或 二、填空题（本大题共 3 个小题：17、18 每小题 3 分，19 小题 4 分共 10 分.把答案写在题中横线上）17（3 分）若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 18（3 分）若代数式 的值为零，则代数式（a+2）（a 2 1）24 的值是 19（3 分）如图 1，ABC中，AD是 BAC的平分线，若 AB=AC+CD，那么 ACB与 ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图 2，延长 AC到 E，使 CE=CD，连接 DE 由 AB=AC+CD，可得 AE=AB 又因为 AD是 BAC的平分线，可得 ABD AED，进一步分析就可以得到 ACB与 ABC的数量关系（1）判定 ABD 与 AED 全等的依据是；（2）ACB与 ABC的数量关系为：三、解答题（本大题共 7 个小题；共 68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）20（16 分）计算（1）2（2）4+3（3）（2）2（）（2）（4）先化简，再求值：+m+3，其中 m=1 21（8 分）解分式方程：22（8 分）如图，在 ABC 中，边 AB，AC的垂直平分线相交于点 P求证：PB=PC 23（8 分）一船在灯塔 C 的正东方向 8 海里的 A处，以 20 海里/时的速度沿北偏西 30方向行驶（1）多长时间后，船距灯塔最近？（2）多长时间后，船到灯塔的正北方向？此时船距灯塔有多远？（其中：162 82 13.9 2）24（9 分）某市正在进行“打造宜居靓城，建设幸福之都”活动在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标经测算，获得以下信息：信息 1：乙队单独完成这项工程需要 60 天；信息 2：若先由甲、乙两队合做 16 天，剩下的工程再由乙队单独做 20 天可以完成；信息 3：甲队施工一天需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元 根据以上信息，解答下列问题：（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？（2）若该工程计划在 50 天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成 该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？25（9 分）如图，在 ABC中，AB=AC=2，B=40，点 D在线段 BC上运动（D不与 B、C 重合），连接 AD，作ADE=40，DE与 AC交于 E（1）当BDA=115时，BAD=，DEC=；当点 D从 B 向 C 运动时，BDA 逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当 DC等于多少时，ABD 与 DCE 全等？请说明理由；（3）在点 D 的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出 BDA的度数；若不可以，请说明理由 26（10 分）探索研究：已知：ABC 和 CDE 都是等边三角形（1）如图 1，若点 A、C、E 在一条直线上时，我们可以得到结论：线段 AD与 BE的数量关系为：，线段 AD与 BE所成的锐角度数为；（2）如图 2，当点 A、C、E 不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立；灵活运用：如图 3，某广场是一个四边形区域 ABCD，现测得：AB=60m，BC=80m，且ABC=30，DAC=DCA=60，试求水池两旁 B、D两点之间的距离 2017-2018 学年河北省保定市定兴县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 16 个小题,110 每小题 3 分,1116 每小题 3 分,共 42 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1（3 分）下列四个图形是四款车的标志，其中轴对称图形有几个（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：第 2 个、第 3 个图形是轴对称图形，共 2 个 故选：B【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合 2（3 分）下列说法不正确的是（）A 1 的平方根是 1 B 1 的立方根是 1 C 是 2 的算术平方根 D 3 是 的平方根【分析】根据算术平方根、平方根和立方根的定义判断即可【解答】解：A、1 的平方根是 1，正确；B、1 的立方根是 1，正确；C、2 的算术平方根是，正确；D、3 是 的算术平方根，错误；故选：D【点评】此题考查算术平方根、平方根和立方根的定义问题，关键是根据算术平方根、平方根和立方根的定义解答 3（3 分）如图，ABC CDA，则下列结论错误的是（）A AC=CA B AB=AD C ACB=CAD D B=D【分析】根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行判断【解答】解：A、由 ABC CDA 得到：AC=CA，故本选项不符合题意；B、由 ABC CDA 得到：AB=CD，故本选项符合题意；C、由 ABC CDA 得到：ACB=CAD，故本选项不符合题意；D、由 ABC CDA 得到：B=D，故本选项不符合题意；故选：B【点评】本题考查了全等三角形的性质 解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角 4（3 分）若分式 有意义，则 x 的取值范围是（）A x 0 B x 1 C x 3 D x 0 且 x 1【分析】根据分式有意义的条件可得 x（x 1）0，再解即可【解答】解：由题意得：x（x 1）0，解得：x 0 且 x 1，故选：D【点评】此题主要考查了分式有意义，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零 5（3 分）下列式子中，为最简二次根式的是（）A B C D【分析】利用最简二次根式定义判断即可【解答】解：A、原式=2，不符合题意；B、原式为最简二次根式，符合题意；C、原式=，不符合题意；D、原式=，不符合题意，故选：B【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键 6（3 分）下列实数中，是无理数的是（）A B C D|2|【分析】根据无理数的定义即可判定选择项【解答】解：A、是无理数，故本选项符合题意；B、不是无理数，故本选项不符合题意；C、不是无理数，故本选项不符合题意；D、不是无理数，故本选项不符合题意；故选：A【点评】此题主要考查了无理数的定义注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数如，0.8080080008（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式 7（3 分）下列各数中，可以用说明命题“任何偶数都是 4 的倍数”是假命题的反例是（）A 5 B 2 C 4 D 8【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子可据此判断出正确的选项【解答】解：A.5，5 不是偶数，且也不是 4 的倍数，不能作为假命题的反例；故答案 A错误；B.2，2 不是 4 的倍数，可以用说明命题“任何偶数都是 4 的倍数”是假命题的反例是 2，故答案 B 正确；C.4，4 是偶数，且是 4 的倍数，不能作为假命题的反例；故答案 C 错误；D.8，8 是偶数，且也是 4 的倍数，不能作为假命题的反例；故答案 D错误；故选：B【点评】此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定 8（3 分）ABC 中 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（）A 如果 C B=A，则 ABC 是直角三角形 B如果 c 2=b2 a 2，则 ABC 是直角三角形，且C=90 C如果（c+a）（c a）=b2，则 ABC 是直角三角形 D 如果 A：B：C=5：2：3，则 ABC 是直角三角形【分析】直角三角形的判定方法有：求得一个角为 90，利用勾股定理的逆定理【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角 C 为 90 度，故正确；B、解得应为 B=90度，故错误；C、化简后有 c 2=a2+b2，根据勾股定理，则 ABC 是直角三角形，故正确；D、设三角分别为 5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90 度，36 度，54 度，则 ABC 是直角三角形，故正确 故选：B【点评】本题考查了直角三角形的判定 9（3 分）已知实数 x，y 满足|x 4|+（y 8）2=0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A 20 或 16 B 20 C 16 D 以上答案均不对【分析】先根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，再分 4 是腰长与底边两种情况讨论求解【解答】解：根据题意得，x 4=0，y 8=0，解得 x=4，y=8，4 是腰长时，三角形的三边分别为 4、4、8，4+4=8，不能组成三角形；4 是底边时，三角形的三边分别为 4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20 所以，三角形的周长为 20 故选：B【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每一个算式都等于 0 求出 x、y 的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断 10（3 分）如图，AOB 和线段 CD，如果 P 点到 OA，OB的距离相等，且 PC=PD，则 P 点是（）A AOB 的平分线与 CD的交点 B CD的垂直平分线与 OA的交点 C AOB 的平分线与 CD的垂直平分线的交点 D CD的中点【分析】根据线段垂直平分线性质和角平分线性质得出即可【解答】解：P 点到 OA，OB的距离相等，P 在 AOB 的角平分线上，PC=PD，P 在线段 CD的垂直平分线上，P 为 AOB 的角平分线和线段 CD的垂直平分线的交点，故选：C【点评】本题考查了线段垂直平分线性质和角平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质和角平分线性质的内容是解此题的关键 11（2 分）如图，直线 l 外不重合的两点 A、B，在直线 l 上求作一点 C，使得 AC+BC 的长度最短，作法为：作点 B 关于直线 l 的对称点 B；连接 AB与直线 l 相交于点 C，则点 C 为所求作的点在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A 转化思想 B三角形的两边之和大于第三边 C两点之间，线段最短 D 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角【分析】利用两点之间线段最短分析并验证即可【解答】解：点 B 和点 B关于直线 l 对称，且点 C 在 l 上，CB=CB，又AB交 l 与 C，且两条直线相交只有一个交点，CB+CA最短，即 CA+CB 的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边 故选：D【点评】此题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 12（2 分）观察图形 并判断照此规律从左到右第四个图形是（）A B C D【分析】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项【解答】解：观察图形可知：单独涂黑的角顺时针旋转，只有 D符合 故选：D【点评】本题考查学生根据图形，归纳、发现并运用规律的能力注意结合图形解题的思想 13（2 分）如图，把矩形纸片 ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为 EBD，那么下列说法错误的是（）A EBD是等腰三角形，EB=ED B折叠后 ABE和 CBD一定相等 C折叠后得到的图形是轴对称图形 D EBA 和 EDC 一定是全等三角形【分析】对翻折变换及矩形四个角都是直角和对边相等的性质的理解及运用【解答】解：ABCD 为矩形 A=C，AB=CD AEB=CED AEB CED（故 D选项正确）BE=DE（故 A选项正确）ABE=CDE（故 B 选项不正确）EBA EDC，EBD 是等腰三角形 过 E 作 BD边的中垂线，即是图形的对称轴（故 C 选项正确）故选：B【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变 14（2 分）如图，ABC是等腰三角形，点 O 是底边 BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为 5，面积为 12，则 OE+OF 的值为（）A 4 B C 15 D 8【分析】连接 AO，根据三角形的面积公式即可得到 ABOE+ACOF=12，根据等腰三角形的性质进而求得 OE+OF 的值【解答】解：连接 AO，如图，AB=AC=5，S ABC=S ABO+S AOC=ABOE+ACOF=12，AB=AC，AB（OE+OF）=12，OE+OF=故选：B【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键 15（2 分）已知AOB=30，点 P 在 AOB 内部，点 P1与点 P 关于 OA对称，点 P2与点 P 关于 OB对称，则 P1OP2是（）A 含 30角的直角三角形 B顶角是 30的等腰三角形 C等边三角形 D 等腰直角三角形【分析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解【解答】解：P 为 AOB 内部一点，点 P 关于 OA、OB的对称点分别为 P1、P2，OP=OP1=OP2且 P1OP2=2AOB=60，故 P1OP2是等边三角形 故选：C【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等 16（2 分）如图，在 ABC中，已知ACB=90，AB=10cm，AC=8cm，动点 P 从点 A出发，以2cm/s 的速度沿线段 AB向点 B 运动在运动过程中，当 APC为等腰三角形时，点 P 出发的时刻 t 可能的值为（）A 5 B 5 或 8 C D 4 或【分析】没有指明等腰三角形的底边，所以需要分类讨论：AP=AC，AP=PC，AC=PC【解答】解：如图，在 ABC 中，已知ACB=90，AB=10cm，AC=8cm，由勾股定理，得 BC=6cm 当 AP=AC 时，2t=8，则 t=4；当 AP=PC 时，过点 P 作 PD AC于点 D，则 AD=CD，PD BC，PD是 ABC 的中位线，点 P 是 AB的中点，2t=5，即 t=；若 AC=PC=8cm 时，与 PC AC矛盾，不和题意 综上所述，t 的值是 4 或；故选：D【点评】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分类讨论，还要注意 PC的取值范围 二、填空题（本大题共 3 个小题：17、18 每小题 3 分，19 小题 4 分共 10 分.把答案写在题中横线上）17（3 分）若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x 1【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于 0，列出不等式即可求出 x 的取值范围【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x 1 0，x 1 故答案为：x 1【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可 18（3 分）若代数式 的值为零，则代数式（a+2）（a 2 1）24 的值是 24【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零【解答】解：代数式 的值为零，|a|1=0 且 a 2+a 2 0 解得：a=1 原式=1（1）2 1 24=24 故答案为：24【点评】本题主要考查的是分式值为的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键 19（3 分）如图 1，ABC中，AD是 BAC的平分线，若 AB=AC+CD，那么 ACB与 ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图 2，延长 AC到 E，使 CE=CD，连接 DE 由 AB=AC+CD，可得 AE=AB 又因为 AD是 BAC的平分线，可得 ABD AED，进一步分析就可以得到 ACB与 ABC的数量关系（1）判定 ABD 与 AED 全等的依据是 SAS；（2）ACB与 ABC的数量关系为：ACB=2 ABC【分析】（1）根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）SAS；（2）ABD AED，B=E，CD=CE，CDE=E，ACB=2 E，ACB=2 ABC 故答案为：SAS，ACB=2 ABC【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 三、解答题（本大题共 7 个小题；共 68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）20（16 分）计算（1）2（2）4+3（3）（2）2（）（2）（4）先化简，再求值：+m+3，其中 m=1【分析】（1）（2）先把二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式；（3）运用完全平方公式和平方差公式，可使运算简便；（4）先对分式进行化简运算，再代入求值【解答】解：（1）原式=+2 4=；（2）原式=3 4 2+3=2 8+=5；（3）原式=6 12+12（2）2 2=18 12 20+2=12；（4）+m+3=+m+3=（m 1）（m+2）+m+3=m 2+m 2+m+3=m 2+2m+1=（m+1）2 当 m=1 时，原式=（1+1）2=3【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值题目难度不大，掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键 21（8 分）解分式方程：【分析】本题考查解分式方程的能力，因为 3x+3=3（x+1），所以可得方程最简公分母为 3（x+1）然后去分母将方程整理为整式方程求解注意检验【解答】解：方程两边同乘以最简公分母 3（x+1），得 3x=2x（3x+3），解得 检验：当 时，是原分式方程的解【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根 22（8 分）如图，在 ABC 中，边 AB，AC的垂直平分线相交于点 P求证：PB=PC【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等证明【解答】证明：边 AB，AC的垂直平分线相交于点 P，PA=PB，PA=PC PB=PC【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 23（8 分）一船在灯塔 C 的正东方向 8 海里的 A处，以 20 海里/时的速度沿北偏西 30方向行驶（1）多长时间后，船距灯塔最近？（2）多长时间后，船到灯塔的正北方向？此时船距灯塔有多远？（其中：162 82 13.9 2）【分析】（1）根据方向角可知CAD=60，由三角函数可求 AD的长，根据时间=路程速度，列式计算即可求解；（2）根据题意求出 AB的长，再根据时间=路程速度，列式计算即可求解【解答】解：（1）如图所示，由题意可知，当船航行到 D点时，距灯塔最近，此时，CD AB 因为BAC=9030=60，所以ACD=30 所以 AD=AC=8=4（海里）又因为 4 20=0.2（小时）=12（分钟），所以 12 分钟后，船距灯塔最近（2）当船到达灯塔的正北方向的 B 点时，BC AC 此时B=30，所以 AB=2AC=2 8=16（海里）所以 16 20=0.8（小时）=48（分钟）所以 BC 2=AB 2 AC 2=162 82 13.9 2 所以 BC 13.9（海里）即 48 分钟后，船到灯塔的正北方向，此时船距灯塔有 13.9 海里【点评】本题主要考查了方向角含义，三角函数，解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键 24（9 分）某市正在进行“打造宜居靓城，建设幸福之都”活动在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标经测算，获得以下信息：信息 1：乙队单独完成这项工程需要 60 天；信息 2：若先由甲、乙两队合做 16 天，剩下的工程再由乙队单独做 20 天可以完成；信息 3：甲队施工一天需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元 根据以上信息，解答下列问题：（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？（2）若该工程计划在 50 天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需 x 天，总工作量为单位 1，根据题意列方程求解；（2）分别求出甲乙单独和甲乙合作所需要的钱数，然后比较大小【解答】解：（1）设：甲队单独完成这项工程需要 x 天 由题意可列：解得：x=40 经检验，x=40 是原方程的解 答：甲队单独完成这项工程需要 40 天；（2）因为：全程用甲、乙两队合做需要：（3.5+2）24=132 万元 单独用甲队完成这项工程需要：40 3.5=140 万元 单独用乙队完成这项工程需要：60 2=120 万元，但 60 50 所以，全程用甲、乙两队合做该工程最省钱【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验 25（9 分）如图，在 ABC中，AB=AC=2，B=40，点 D在线段 BC上运动（D不与 B、C 重合），连接 AD，作ADE=40，DE与 AC交于 E（1）当BDA=115时，BAD=25，DEC=115；当点 D从 B 向 C 运动时，BDA逐渐变 小（填“大”或“小”）；（2）当 DC等于多少时，ABD 与 DCE 全等？请说明理由；（3）在点 D 的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出 BDA的度数；若不可以，请说明理由【分析】（1）首先利用三角形内角和为 180可算出BAD=18040115=25；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得 DEC 的度数；（2）当 DC=2 时，利用 DEC+EDC=140，ADB+EDC=140，求出 ADB=DEC，再利用AB=DC=2，即可得出 ABD DCE（3）当 BDA的度数为 110或 80时，ADE 的形状是等腰三角形【解答】解：（1）B=40，ADB=115，BAD=18040115=25；ADE=40，ADB=115，EDC=180 ADBADE=18011540=25 DEC=1804025=115，当点 D从 B 向 C 运动时，BDA 逐渐变小；（2）当 DC=2时，ABD DCE，理由：C=40，DEC+EDC=140，又ADE=40，ADB+EDC=140，ADB=DEC，又 AB=DC=2，在 ABD 和 DCE 中，ABD DCE（AAS）；（3）当 BDA 的度数为 110或 80时，ADE 的形状是等腰三角形，BDA=110时，ADC=70，C=40，DAC=70，ADE 的形状是等腰三角形；当 BDA 的度数为 80时，ADC=100，C=4 0，DAC=40，ADE 的形状是等腰三角形【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，关键是要考虑全面，分情况讨论 ADE 的形状是等腰三角形 26（10 分）探索研究：已知：ABC 和 CDE 都是等边三角形（1）如图 1，若点 A、C、E 在一条直线上时，我们可以得到结论：线段 AD与 BE的数量关系为：相等，线段 AD与 BE所成的锐角度数为 60；（2）如图 2，当点 A、C、E 不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立；灵活运用：如图 3，某广场是一个四边形区域 ABCD，现测得：AB=60m，BC=80m，且ABC=30，DAC=DCA=60，试求水池两旁 B、D两点之间的距离【分析】（1）根据等边三角形的性质可得 AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，然后求出 ACD=BCE，再利用“边角边”证明 ACD和 BCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，根据全等三角形对应角相等可得 ADC=BEC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 DPE=DCE；（2）证明 ACD BCE（SAS），得到 AD=BE，DAC=EBC，根据BPA=180 ABP BAP=180 ABC BAC，即可解答（3）如图 3，以 AB为边在 ABC外侧作等边 ABE，连接 CE，由（2）可得：BD=CE，证明EBC是直角三角形，利用勾股定理求出 CE的长度，即可解答【解答】解：（1）如图 1，ABC和 CDE都是等边三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，ACB+BCD=DCE+BCD，即 ACD=BCE，在 ACD 和 BCE中，ACD BCE（SAS），AD=BE，ADC=BEC，由三角形的外角性质，DPE=PEA+DAC，DCE=ADC+DAC，DPE=DCE=60；故答案为：相等，60；（2）如图 2，ABC 和 CDE 都是等边三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，ACB+BCD=DCE+BCD，即 ACD=BCE，在 ACD 和 BCE中，ACD BCE（SAS），AD=BE，DAC=EBC，BPA=180 ABP BAP=180 ABC BAC=60（3）如图 3，以 AB为边在 ABC 外侧作等边 ABE，连接 CE 由（2）可得：BD=CE EBC=60+30=90，EBC是直角三角形 EB=60m BC=80m，CE=100（m）水池两旁 B、D两点之间的距离为 100m【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟记性质与判定方法是解题的关键，难点在于（灵活运用）作出辅助线构造成等边三角形和直角三角形