2023年2019年全国I卷理科数学高考真题.pdf

2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1已知集合 24 2 6 0 M x x N x x x，则 M N=A 4 3 x xB 4 2 x xC 2 2 x xD 2 3 x x2设复数 z 满足=1 i z，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A 2 2+1 1()x y B 2 21(1)x y C 2 2(1)1 y x D2 2(+1)1 y x3 已知0.2 0.32log 0.2 2 0.2 a b c，则A a b cB a c bC c a bDb c a4 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 12（5 12 0.618，称为黄金分割比例)，着名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 12若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm 5函数f(x)=2sincosx xx x在,的图像大致为A B C D 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为 阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻 的概率是 A 516B 1132C 2132D 11167已知非零向量 a，b 满足|2|a b，且()a bb，则 a 与 b 的夹角为 A 6B 3C 2 3D 5 68如图是求 112122的程序框图，图中空白框中应填入 A A=12 AB A=12AC A=11 2AD A=112A9记nS 为等差数列 na的前 n 项和已知4 50 5 S a，则A2 5na nB3 10na nC22 8nS n nD2122nS n n10已知椭圆 C 的焦点为1 21,0 1,0 F F()，()，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若2 2|2|AF F B，1|AB BF，则 C 的方程为A2212xyB2 213 2x yC2 214 3x yD2 215 4x y11关于函数()sin|sin|f x x x 有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间（2，）单调递增 f(x)在,有 4 个零点 f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是A B C D12 已知三棱锥 P?ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为A 6 8B 6 4C 6 2D 6计被测物体的质量以免超过量程称量物体前一定要把天平放在水平桌面再将天平调平后才可以称量称量时移动游码相 确的是把一枚邮票直接放在天平左盘测量测量一枚邮票和一块铁块的质量然后再减去铁块的质量测量枚相同邮票的质 仍然遵循光的反射定律图中木工师傅观察木板是否平整是利用了光的直线传播特点图所示炎热夏天公路上的海市蜃楼二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 曲线 23()exy x x在点(0)0，处的切线方程为 _ 14 记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和若 21 4 613a a a，则 S5=_ 15 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前 期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的 概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4 1 获胜的概率是 _ 16 已知双曲线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线 分别交于 A，B 两点若 1F A AB，1 20 F B F B，则 C 的离心率为 _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17(12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 2 2(sin sin)sin sin sin B C A B C（1）求 A；（2）若 2 2 a b c，求 sinC 18（12 分）如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN 平面 C1DE；（2）求二面角 A?MA1?N 的正弦值19（12 分）已知抛物线 C：y2=3 x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；（2）若3 AP PB，求|AB|20（12 分）已知函数()sin ln(1)f x x x，()f x为()f x的导数证明：计被测物体的质量以免超过量程称量物体前一定要把天平放在水平桌面再将天平调平后才可以称量称量时移动游码相 确的是把一枚邮票直接放在天平左盘测量测量一枚邮票和一块铁块的质量然后再减去铁块的质量测量枚相同邮票的质 仍然遵循光的反射定律图中木工师傅观察木板是否平整是利用了光的直线传播特点图所示炎热夏天公路上的海市蜃楼（1）()f x在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）()f x有且仅有 2 个零点 21（12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1分；若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8)ip i表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00 p，81 p，1 1 i i i ip ap bp cp(1,2,7)i，其中(1)a P X，(0)b P X，(1)c P X假设0.5，0.8(i)证明：1 i ip p(0,1,2,7)i为等比数列；(ii)求4p，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt，（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2 cos 3 sin 11 0（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值23 选修 4 5：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1 证明：计被测物体的质量以免超过量程称量物体前一定要把天平放在水平桌面再将天平调平后才可以称量称量时移动游码相 确的是把一枚邮票直接放在天平左盘测量测量一枚邮票和一块铁块的质量然后再减去铁块的质量测量枚相同邮票的质 仍然遵循光的反射定律图中木工师傅观察木板是否平整是利用了光的直线传播特点图所示炎热夏天公路上的海市蜃楼（1）2 2 21 1 1a b ca b c；（2）3 3 3()()()24 a b b c c a 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学?参考答案 一、选择题 1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 A 7 B 8 A 9 A 10 B 11 C 12 D二、填空题 13 y=3x 141213150.18 162三、解答题17解：（1）由已知得2 2 2sin sin sin sin sin B C A B C，故由正弦定理得2 2 2b c a bc由余弦定理得2 2 21cos2 2b c aAbc因为0 180 A，所以60 A（2）由（1）知120 B C，由题设及正弦定理得2 sin sin 120 2sin A C C，即6 3 1cos sin 2sin2 2 2C C C，可得2cos 602C由于0 120 C，所以2sin 602C，故6 2418解：（1）连结B1C，ME因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，所以 ME B1C，且 ME=12B1C又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND=12A1D计被测物体的质量以免超过量程称量物体前一定要把天平放在水平桌面再将天平调平后才可以称量称量时移动游码相 确的是把一枚邮票直接放在天平左盘测量测量一枚邮票和一块铁块的质量然后再减去铁块的质量测量枚相同邮票的质 仍然遵循光的反射定律图中木工师傅观察木板是否平整是利用了光的直线传播特点图所示炎热夏天公路上的海市蜃楼由题设知 A1B1DC，可得 B1C A1D，故 ME ND，因此四边形 MNDE 为平行四边形，MN ED 又 MN 平面 EDC1，所以 MN 平面 C1DE（2）由已知可得 DE DA 以 D 为坐标原点，DA的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D?xyz，则(2,0,0)A，A1(2，0，4)，(1,3,2)M，(1,0,2)N，1(0,0,4)A A，1(1,3,2)A M，1(1,0,2)A N，(0,3,0)MN 设(,)x y z m为平面A1MA的法向量，则1100A MA Amm，所以3 2 04 0 x y zz，可取(3,1,0)m 设(,)p q r n为平面 A1MN 的法向量，则100MNA N，nn所以3 02 0qp r，可取(2,0,1)n于是2 3 15cos,|52 5m nm nm n，所以二面角1A MA N的正弦值为10519 解：设直线1 1 2 23:,2l y x t A x y B x y（1）由题设得3,04F，故1 23|2AF BF x x，由题设可得1 252x x由2323y x ty x，可得2 29 12(1)4 0 x t x t，则1 212(1)9tx x从而12(1)59 2t，得78t计被测物体的质量以免超过量程称量物体前一定要把天平放在水平桌面再将天平调平后才可以称量称量时移动游码相 确的是把一枚邮票直接放在天平左盘测量测量一枚邮票和一块铁块的质量然后再减去铁块的质量测量枚相同邮票的质 仍然遵循光的反射定律图中木工师傅观察木板是否平整是利用了光的直线传播特点图所示炎热夏天公路上的海市蜃楼所以 l 的方程为 3 72 8y x（2）由 3 AP PB可得 1 23 y y 由 2323y x ty x，可得 22 2 0 y y t 所以 1 22 y y从而 2 23 2 y y，故 2 11,3 y y 代入 C的方程得 1 213,3x x 故 4 13|3AB 20 解：（1）设()()g x f x，则 1()cos1g x xx，21sin()(1x xg x.当 1,2x 时，()gx单调递减，而(0)0,()02g g，可得()gx在 1,2有唯一零点，设为.则当(1,)x 时，()0 gx；当,2x时，()0 g x.所以()g x 在(1,)单调递增，在,2单调递减，故()g x 在 1,2存在唯一极大值点，即()f x 在 1,2存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,).（i）当(1,0 x 时，由（1）知，()f x 在(1,0)单调递增，而(0)0 f，所以当(1,0)x时，()0 f x，故()f x 在(1,0)单调递减，又(0)=0 f，从而 0 x 是()f x 在(1,0 的唯一零点.（ii）当 0,2x时，由（1）知，()f x 在(0,)单调递增，在,2单调递减，而(0)=0 f，计被测物体的质量以免超过量程称量物体前一定要把天平放在水平桌面再将天平调平后才可以称量称量时移动游码相 确的是把一枚邮票直接放在天平左盘测量测量一枚邮票和一块铁块的质量然后再减去铁块的质量测量枚相同邮票的质 仍然遵循光的反射定律图中木工师傅观察木板是否平整是利用了光的直线传播特点图所示炎热夏天公路上的海市蜃楼02f，所以存在,2，使得()0 f，且当(0,)x 时，()0 f x；当,2x时，()0 f x.故()f x 在(0,)单调递增，在,2单调递减.又(0)=0 f，1 ln 1 02 2f，所以当 0,2x时，()0 f x.从而，()f x 在 0,2没有零点.（iii）当,2x时，()0 f x，所以()f x 在,2单调递减.而 02f，()0 f，所以()f x 在,2有唯一零点.（iv）当(,)x 时，ln(1)1 x，所以()f x 0，从而()f x 在(,)没有零点.综上，()f x 有且仅有 2个零点.21 解：X 的所有可能取值为1,0,1.所以 X 的分布列为（2）（i）由（1）得0.4,0.5,0.1 a b c.因此1 1=0.4+0.5+0.1i i i ip p p p，故1 10.1 0.4i i i ip p p p，即1 14i i i ip p p p.又因为1 0 10 p p p，所以1(0,1,2,7)i ip p i为公比为 4，首项为1p的等比数列（ii）由（i）可得88 8 7 7 6 1 0 0 8 7 7 6 1 0 134 1p p p p p p p p p p p p p p p.由于8=1 p，故1834 1p，所以4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.计被测物体的质量以免超过量程称量物体前一定要把天平放在水平桌面再将天平调平后才可以称量称量时移动游码相 确的是把一枚邮票直接放在天平左盘测量测量一枚邮票和一块铁块的质量然后再减去铁块的质量测量枚相同邮票的质 仍然遵循光的反射定律图中木工师傅观察木板是否平整是利用了光的直线传播特点图所示炎热夏天公路上的海市蜃楼22 解：（1）因为2211 11tt，且222 222 221 412 11y t txtt，所以 C 的直角坐标方程为221(1)4yx x.l的直角坐标方程为2 3 11 0 x y.（2）由（1）可设 C 的参数方程为cos,2sinxy（为参数，）.C上的点到l的距离为4cos 11|2cos 2 3 sin 11|37 7.当23时，4cos 113取得最小值 7，故 C 上的点到l距离的最小值为7.23解：（1）因为2 2 2 2 2 22,2,2 a b ab b c bc c a ac，又1 abc，故有2 2 21 1 1 ab bc caa b c ab bc caabc a b c.所以2 2 21 1 1a b ca b c.（2）因为,a b c为正数且1 abc，故有=24.所以3 3 3()()()24 a b b c c a.计被测物体的质量以免超过量程称量物体前一定要把天平放在水平桌面再将天平调平后才可以称量称量时移动游码相 确的是把一枚邮票直接放在天平左盘测量测量一枚邮票和一块铁块的质量然后再减去铁块的质量测量枚相同邮票的质 仍然遵循光的反射定律图中木工师傅观察木板是否平整是利用了光的直线传播特点图所示炎热夏天公路上的海市蜃楼