2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷02（人教A版2019）（全解全析）.pdf

期末测试卷02(本卷满分150分，考试时间120分钟)测试范围：集合与命题、函数与导数、计数原理、三角函数、平面向量一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.X1.已知全集。=/?,集合 A=x 0,B=x|log2(x+l)l,G A =(0,l,3=x(Q A)n 3 =(0,l),故选 B。2.命题“VGN+，*/?,使得/的否定形式是()oA W 九 wN+，HX GT?,使得九2 n%B、VcN+，VX G/?,使得C、0ne.N+，BX ER,使得 2之 工D、/X GR,n2 x【答案】D【解析】命题的否定是条件不变，结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，其否定是 与 w 2 ,X/xw R,使得之 之 工”，故选D。52尢 33.函数/*)二上 一 在其定义域上的图像大致为()。ln|%|【答案】D【解析】/(x)=/(x),/(幻 是奇函数，排除A B选项，当冗1时，/(x)0,故选D。4.(4 +J=)2(N+)展开式中只有第6 项系数最大，则其常数项为()。A、120B、210C、252D、45【答案】B【解析】由展开式中只有第6 项的系数或最大可得展开式只有11项，即2 =10、=5,(6十 4严 展开式的通项为：4+i=G o,/小 (4)=G o,丁令，y/x x3令5-a r =0,可得r=6,此时7；=(=210,故选B。5.如图直角坐标系中，角a(0 a )、角0(-p cosp=I?,13 13 13 13则si吟/c o s s 呜)+；=与i n a-号+g,7 T 八 冗、.兀、八 12 i=sin(+P+)=sin(p+)=cosp=一，故选 D。6.已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工，再由高级技师完成精加工。其中粗加工要完成A、B、C、。四道工序且不分顺序，精加工要完成E、F、G 三道工序且E 为尸的前一道工序，则完成该工艺不同的方法有（）oA、48 种B、96 种C、112种D、144 种【答案】A【解析】由题意可知粗加工的四道工序不分顺序，则共有4=24种不同的方法，精加工中为 厂 的 前 道工序，则E 在产前且相邻，则精加工共有2 种不同的方法，则完成该工艺共有24 x 2=48种不同的方法，故选A。7.半径为2 的圆。上有三点A、B、C 满 足 次+赤+4 1=6,点 P 是圆内一点，则 西 丽+丽 京 的取值范围为（）。A、HM 4）B、HM4C、|0,4）D、0,4【答案】A【解析】如图，与 交 于 点。，由 次+M +=6得：四边形OB4。是菱形，且。4=03=2,则 AO=QD=L B D =D C =6 ,由图 知 丽=丽+丽，PCPD+D C,而 丽=一 反，PB PC-PD-DB2 两2 函2 两2同 理 西=丽+苏，P O =PD+D O,而 房=:PA P O=P D -D O=|P O|2 _|O O|2=|P O F：.PA Pd+PB PC=2PD1-4,点P 是圆内点，则0 0 万|3,4 4 两8.已知函数/(幻=一3、g(x)=n x+l,若,f(m)=g()，贝A、2B、-ln 2C、ln2D、2r上丽+方 正 0,则 eTt,In 鹿+1=E,/n=ln?+3 n=el,E P H-m=er-In/-3,若力(f)=eT inf 3,定义域为(0,+8),则力=e T-1，令(f)=0,解得，=1,t当0，1时/?。)1时-(f)0,二帕)在(l,+oo)内单调递增,.当f=1时 入取得极小值也是最小值，,”M =e-3-n=-2,即”-加的最小值为-2,故选A。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设3、b,1是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题是真命题的有()。A(.5)C (c 4)%=6B、a-ba-bC、(b c)a-(c-a)b 不与 c 垂直D、(37+23)(37-23)=9 向2-4|W【答案】BD【解析】A选项，平面向量的数量积不满足结合律，故A假，B选项，由向量的减法运算可知|协、向、仃-加恰为一个三角形的.条边长，由“两边之差小于第三边“，故B真，C 选项，V(b-c)a-(c-a)b c=(bc)a-c-(c a)b-c=0,5 c)a (ca)/与c垂直，故C假，D选项，(3工+2初(3工 一2初=3=34一2 25=9日|2 4日/，成立，故D真，故选BDo10.设函数/(x)=匕 四 一，则下列结论正确的为()。2+sinxcosxA、/(x)=/(x+7C)B、_ 2A/15B、/(X)m ax=-匕-C、/(X)没有零点D、/(X)为奇函数【答案】AB【解析】/(x)的定义域为R，且/(=公2+sinxcosx4 .X COS（2X+2K）COS 2X,比 T百 七 扁f（x+汽）=-=-=/（X），A 选项正确,2+sin（x+兀）cos（x+汽）2+sin xcos x令 y=f（x）=-cs 冬=0s ,4y=2cos2x-y sin2x=4+y?cosQx+p）,4+2sinxcosx 4+sin2x即 丁415,2岳/2后故-y 0)，定义sicosO=必 也，称“sicosO”为“正余弦函数”。对于“正余弦函数y=sicosx,以上结论中正确的是()。A、该函数的图像与直线y=3有公共点37rB、该函数的一个对称中心是(野,0)4C、该函数是偶函数D、该函数的单调递增区间是 2加一物,2E+二,k e Z4 4【答案】BD【解析】V x0=r-cosx,y0=r-sinx,.y=si cosx=-y0 =-r-s-i-n-x-+-r-c-o-s-x-=sinx+cosx=v2sin(/x +冗)、,r r 4A 选项，*/-lsin(x+)1,-V2 V2sin(x+)72，4 4即该函数的最大值 为 也 !，其图像与直线y=3无公共点，错，B选项，=$沁。$网=正$皿(羽+工)=0,.该函数图像关于点(型,0)对称，对,4 4 4 4C选项，函数y=sicosx=Jsin(x+2)图像不关于y轴对称，不是偶函数，错，D 选项，*.*y=5/cosx=V2 sin(x+),4/由一 二 +24兀Wx+色 W2+2E 得+2Z：7i x +2kji,k e Z、2 4 2 4 4即该函数单调递增区间为 2 E 电,2也+勺，k e Z,对，4 4故选BD。1 2.己知函数/(幻是定义在R上的奇函数，当x 0 时,fx)-ex(%+1)B、函数/(x)有3个零点C、)0的解集为(一8,-1川(0,1)D、VxP wR,都有|/(西)-/(工2)1 0时，-x 0 时,/(%)=-f(-x)=-e-x-(-x+1)=e-x (x-1),错,ex-(x-V),x0/(x)=0,x=0,e-(x+1),x0B 选项，当 x0 时，由/(x)=e*,(x+l)=0,解得 x=-l,当x0 时，由/(x)=e-*.(x-1)=0,解得x=l,当 x=0 时，/(x)=0,.*.函数/(x)有 3 个零点一1、0、1,B,C 选项,当 x0 时,由/(x)=e*+l)0,解得 x 0时，由/(x)=e r-(x-l)0,解得0 x l,/。)0的解集为(8,-1)0(0,1),对,D 选项，当 x0 时，由 f(x)=e,J(x+l)0得 f(x)=e*-(x+2),由 f(x)=e*,(x+2)0得x0得一2 c x e 0,.,.函数/(x)在(-8,-2)上单调递减，在(-2,0)匕单调递增，函数在(-8,0)上有最小值f(-2)=-e-2,K/(x)=ex-(x+l)ex(0+l)=l,又.当x 0时，/(x)=e*-(x+l)=0时3=-1,函数在(一8,0)上只有一个零点,.当x 0时,函 数/(x)的值域为-e-2,1),由奇函数的图像关于原点对称得函数/(x)在火的值域为：(-1,e-2U e-2,1)=(7,1),.对VX|,X2GR,都有|/(再)一/(巧)1 0)上时，取终边上一点6(4,3),则|。|=5,4.y-3 3 x 4 y 3.sina=-=，cosa=-=,tana=,|片0|5 5 P0 5 x 43 12 3 15/.sina-3cosa+tana=-=-，5 5 4 43当角a的终边在射线y 二 2 x(x v 0)上时，取终边上一点2(-4,3),则|2。|=5,4.y 3 _ x-4 _4tana=X3|舄0|5 PtO5 543 12 3/.sina-3cosa+tana=-+-=5 5 49O4故填 2152 或04 41 4.已知随机变量X 3()，P(X=)=-,则尸(X=l)=_。n 274【答案】-9【解析】由题意可知随机变量x服从二项分布，可得p(x=)=c;(!)”(1-3 =2，n n 27几 =27,=3,则X B（3,；）,故 P（X=1）=C；（J】（1 一；）2=?1 5.己知a =(2s i n l 5 0 c o s l 5,2c o s?1 5 0-1),若|+1|=2,且。与a +l 夹角为,则.3 =3【答案】-2【解析】由倍半角公式可得：3 =(s i n 3 0 ,c o s 3 0 0),则|Z|=1,题意由|力+分|=2,且与3 +3 夹角为3*/.7 T得(Q +。)=|。I|Q +人|c o s、=1 x 2x(-)=-1,即 a +。/=一 1,又 a =|a|2=l,。=一 2。1 6 .若关于1的不等式In x-a x 0 有且仅有一个整数解，则实数。的 取 值 范 围 是。【答案】0。0,则X 1,不符合只有一个整数解，当。0,则函数/(X)在(0,+8)上单调递增，/(l)=0-a 0,x l 时，/(x)0,不符合只有一个整数解，当a 0时，/(x)在(0 )上单调递增，在(工,+8)上单调递减，/(x)mi x=/(l)=-ln-l0.a a a则 e a 0,/(l)=0-tz 0 ,解得 0e 时，/()=-lntz-l 0 无解，a综上所述，0 。0,0 (p y ),若,是否存在正整数3,使得函数,f(x)在 0 彳上是单调的？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。【解析】若选择条件，,/(%)的图像关丁直线x=二 对称，令a u+(p=E,k cZ,6co代入x =红，解得中二祈_ 2,k e Z ,6c o 60(p 当左=1 时，(p=,故/(%)=2c os 3 工 +三)，4 分2 6 6当xw 0,二 时，c a r+,+,2 6 6 2 6若函数/(%)在 呜 上单调，函数 二 双 工 在 0,兀 上单调递减，8 分A+-7 T,解得0 (o W*,存在正整数C D =1,使得了(%)在。当 上是单调的。1 0 分2 6 3 2若选择条件，/(x)=c os c ox-V 3s i nc ox =2c os ox +),2 分(p=,当 x w 0,女 时，c or+G,4 分3 2 3 3 2 3若函数/(X)在 0,/I二单调，则有 詈+手 兀，解得。3 4；存在正整数3=1，使得/(X)在 0,上是单调的。1 0 分若选择条件，:/(X)/(0)恒成立，即 f(x)ma x =/(0)=2c os(p=2,二 8S(p=l ,2 分J F*.*0 (p /.p=0 ,/(x)=2c os(u x ,3 分当 x 时，C O X G,若函数/(x)在 g 上单调，则 有 詈 4 兀，解得。8 4 2,8 分二存在正整数8=1 或 8=2,使得/(幻 在 呜 上是单调的。1 0 分1 8.(本 题 满 分 1 2 分)某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位：小时)，统计结果绘成频率分布直方图(如图)。已知甲、乙两班学生人数相同，甲.班学生每天平均学习时间在区间 2,4 的有8 人。(1)求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间 1 0,1 2 的人数。(2)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于1 0 个小时的学生中任取4 人参加测试，设4 人中甲班学生的人数为&,求&的分布列和数学期望。【解析】（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.875+4）x2=1,解得 a=0.0375,2 分Q.甲班学习时间在区间 2,4 的有8 人，.甲班的学生人数 为 言=40,二甲、乙两班人数均为4 0 人，甲班学习时间在区间 10,12 的人数为40 x 0.0375 x 2=3（人）：4 分（2）乙班学习时间在区间 10,12 的人数为40 x0.05x2=4（人），由（1）知甲班学习时间在区间 10,12 的人数为3 人，6 分在两班中学习时间大于10小时的同学共7 人，&的所有可能取值为0、1、2、3,7 分即目的分布列为:故 p(g=o)=与Eq,_ 12，35C?3DP=3)=耳 fC7_4_350123p13512351835435E(4)=0 x +1X +2x +3x =35 35 35 35 711分12分1 9.（本题满分12分）已知向量a=（cosW,sin灰），=（-sin,-co s）,其中工止，兀 。2 2 2 2 2（1）若求 工的值;（2）函数=+，若 c/（x）恒成立，求实数c 的取值范围。【解析】Z+（cos?s呜,s喘c吗），I 分.a+b=(c o s -sin.(s i n -cos|)2=j2-2 s in 2x=6,即sin2x=，3 分2V x e,7i,K2X2K,2=K+=,即工=上 或 x=-；5 分2 6 6 12 12f f 3 x x 3 x x(2)V a-=-cos sin sin cos =-sin2x,7 分2 2 2 2/./(x)=d|Q+1 =2-3sin2x,8 分Jr 2x 2 n,-l sin 2 x 0,0 3sin2x3,10 分2 /(x)=2-3s in 2 x /(x)恒 成 立 得c 5。12 分2 0.（本 题 满 分1 2分）某保险公司针对一个拥有.2 0000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金。保险公司把企业的所有岗位共分为A、8、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图，根 据历史数据统计 出 三 类 工 种 的 赔 付 频 率 如 下 表（并以此估计赔付 频 率）。工种类别ABC赔付频率1谈2方1W7职工类别分布饼图对 于A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为a元、。元、b元,出险后的赔偿金额分别为100万元，100万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元。（1）若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%,试确定保费a、b所要满足的条件;（2）现有如下两个方案供企业选择：方案：企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工；方 案 ：企业于保险公司合作，企业负责职工保费的60%,职工个人负责保费的4 0%,出险后赔偿金由保险公司赔付。若 企 业 选 择 方 案 的 支 出（不包括职工支出）低于选择方案的支出期望，求 保 费a、b所要满足的条件，并判断企业是否可与保险公司合作。（若企业选择方案的支出低于选择方案的支出期望，且 与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作。）【解 析】（1）设 工 种A、B、C职工的每份保单保险公司的效益为随机变量X、丫、Z,则X、丫、Z的分布列为：Xaa-l(X)x lO4P1Yaa-l(X)x lO4Pio521(7ZbZ?-50 x l04P1IF保险公司期望收益：E(X)=a x(l_*)+(“lO O x lO,2 2E(r)=a x(l-)+(a-1 0 0 x l04)x =a-20,E(Z)=6 x(l祸+(b 5 x l()4)x专=8 _ 5 0 ,5分根据要求：(a-1 0)x 20 0 0 0 x 0.6 +(a-20)x 20 0 0 0 x 0.3+(/-5 0)x 20 0 0 0 x 0.1-1 0 x l04 (a x 20 0 0 0 x 0.6 +a x 20 0 0 0 x 0.34-/7 x 20 0 0 0 x 0.1)x 0.2,6分解 得9 a+6 N 27 5,.每张保单的保费需要满足9 a+8227 5 （元）:7分（2）若该企业不与保险公司合作，则安全支出，即赔偿金的期望值为:2(XXX)x(0.6 x11 0 x l(X)x l04+0.3x2x l(X)x l04+0.1 x1T o1x 5 0 x l04)=1 7 x 20 0 0 0 (元)，9 分若该企业与保险公司合作，则安全支出，即保费为：20 0 0 0 x(0.6 x +0.36/+0.1 x Z?)x 0.6 =(0.9xa+0.lxh)x0.6 x 20 0 0 0 (元)，1 1 分解得9。+匕 0 ,求 4；(2)当x l 时，/(x)亘 丫，求实数的取值范围。1-X【解析】(1)/(X)定义域为(0,+8),/(%)=-,1 分XV f(x)0,/(1)=0,故广(1)=0,二 4=1,止 匕 时/(x)=l，3 分X当0 x l 时，r(x)1 时,f (X)0,./(X)在+8)内单调递增,./(x)在 x =l处取得极小值也是最小值，/(%)/(1)=0 ,5分综上a =l ；6分(2)x l 时，/(尤)等价于a-(x-l)2+lnx 0，7 分1-X若aNO,式成立，8分若 avO,由(1)可知 I nx v 元 一 1,6 r-(x-l)2+lnx l-4 1 时，。(工 一 +x-0时/在(oo,)上单调递减，在(-*,+8)上单调递增，a a2-/(x)m in=/(_)=c (。_2)=_ 2,a=l,b=l；4 分a(2)设g(x)=%2+4工 +2,产(x)=h f(x)-g(x)=h/(%+l)-4x-2,由题意，当了 之 一2时，F(x)min 0,由/(0)=%2 2 0,得之2,Fx)=kex(x+1)+kex-2 x-4 =(x+2)(kex-2),6 分2 2 2V x-2,由(%)0得e*xln；由 F(x)vO得xvln,k k k2 2/(x)在(-8,In*)上单调递减，在(In*,+8)上单调递增,k k当In*2/时F(x)在 2,+oo)上单调递增,kF(x)mjn=尸(-2)=-k百2+2=二(2e?%)0,e2当In =2即=2e2时尸。八山=尸(-2)=0,满足F(x)min 0,K7分8分9分当ln -2即 24%0,k k k k k kA*e 2,2e2),11分综上所述，实数上的取值范围为 2,2/。12分