外接球、内切球、棱切球（十五大经典题型）（解析版）-备战2023年高考数学一轮复习微专题（新高考地区专用）.pdf

考向2 8外接球、内切球、棱切球，经 典 题 后 初经典题型一：正方体、长方体模型经典题型二：正四面体模型经典题型三：对棱相等模型经典题型四：直棱柱模型经典题型五：直棱锥模型经典题型六：正棱锥与侧棱相等模型经典题型七：侧棱为外接球直径模型经典题型八：共斜边拼接模型经典题型九：垂面模型经典题型十：最值模型经典题型十一：二面角模型经典题型十二：坐标法模型经典题型十三：圆锥圆柱圆台模型经典题型十四：锥体内切球经典题型十五：棱切球（2 0 2 2 全国高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为3 6 1,且3 4”3 石，则该正四棱锥体积的取值范围是（）【答案】C【解析】球的体积为3 6%，所以球的半径R =3.设正四棱锥的底面边长为2 a,高为/7,贝IJ=2/+/72,32=2a2+（3-/?）2,所以6 =尸，2 a2=l2-h2所以正四棱锥的体积 g”i =九?记/4）二I2=（#一/6所以 y=,4/3-g91 61/2 4-Q E当 3 4/4 2 指 时，V 0,当 2 3 百 时，S/3 时，V=,4 4所以正四棱锥的体积V 的最小值 为2一7,所以该正四棱锥体积的取值范围是y y .故选：C.（2022全国高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百 和 4石，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.IOOT C B.128K C.144冗 D.192兀【答案】A【解析】设正三棱台上卜.底面所在圆面的半径彳,4,所以2 4=*-,2 ,=也叵即4=3透=4,设球心sin 60 sin 60到上下底面的距离分别为4 4，球的半径为R,所以4=V/?2-9,d2=Vz?2-1 6，故E -囚=1或4+4 =1，即河 9-改一16|=1或 痛 M +元=1，解得R?=25符合题意，所以球的表面积为S=4T CR2=1(X)兀.方法技巧一：正方体、长方体外接球1 .正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.2 .长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.3 .补成长方体(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如 图1所示.(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.(3)正四面体尸-A B C可以补形为正方体且正方体的棱长PA如图3所示.方法技巧二：正四面体外接球如图，设正四面体ABQ的 的 棱 长 为 将 其 放 入 正 方 体 中，则正方体的棱长为也a,显然正四面体2和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为/?=也。且=必 ，即正四面体外接球半径为R=2 2 4 4ABB方法技巧三：对棱相等的三棱锥外接球四面体A B C D 中，AB =C D =mf A C =B D =n,A D =B C =t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.4-C2=m2 2 2 2如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则+c 2=2 ,三式相加可得K+休+七=,a2+b2=t2 2I -）-?2而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R,则/+加+。2=4 F，所以R=.方法技巧四：直棱柱外接球如 图 1,图 2,图 3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角第一步：确定球心。的位置,0,是M B C的外心，则。J 平面ABCi第二步：算出小圆。1 的半径H Q =r,OO,=-A 4,=-h（A 4,=也是圆柱的高）;第二步：勾股定理：OA2=OtA2+OfO2=R。=(厂 +r2=R=,解出R方法技巧五：直棱锥外接球如图，平面A B C,求外接球半径.解题步骤：第一步：将 A A 8 C 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径A D,连接P D,则 P D 必过球心。；第二步：。1为 A A B C 的外心，所 以 平 面 他 C,算出小圆。1的半径日。=/(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得，_=_ 9 _ =_ J =2r),O OX=-PA-,sin A sin B sinC 2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2 R)2 =P A?+(2 r)2 o 2 R=J P/V+(2)2 ；R2 =r +o o：。R=，产 +o o：.方法技巧六：正棱锥与侧棱相等模型1.正棱锥外接球半径：R=.2.侧棱相等模型:如图，P 的射影是A A B C 的外心。三棱锥P-A B C的三条侧棱相等=三棱锥P-A B C 的底面A A B C 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心。的位置，取AA8C的外心,则 尸,。,Q三点共线；第二步：先算出小圆。1的半径4 9 1=r,再 算 出 棱 锥 的 高（也是圆锥的高）；尸+h2第三步：勾股定理：。42=0汗+。2=7?2=（72-穴）2+产，解出R=Z _ _2h方法技巧七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形.方法技巧八：共斜边拼接模型如图，在四面体ABC中，AB1.AD,C B L C D,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，8。为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型 命名之.设点。为公共斜边比的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA=O C=O B =O D,即点。到A,B,C,。四点的距离相等，故点。就 是 四 面 体 外 接 球 的 球 心，公共的斜 边 即 就是外接球的一条直径.方法技巧九：垂面模型如 图1所示为四面体尸-A B C,已 知 平 面 平 面A B C,其外接球问题的步骤如下：（1）找出E48和AMBC的外接圆圆心，分别记为。|和。厂（2）分别过01和0?作 平 面 和 平 面45C的垂线，其交点为球心，记为。.（3）过01作 钻 的 垂 线，垂足记为。，连接。2。，则（4）在四棱锥A-OQOO?中，垂直于平面。10。”如图2所示，底面四边形。OQQ的四个顶点共圆且。为该圆的直径.图1图2方法技巧十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等方法技巧十一：二面角模型如 图1所示为四面体P-A B C,己知二面角P-A B-C大小为a,其外接球问题的步骤如下：(1)找出和ABC的外接圆圆心，分别记为01和0?.(2)分别过。和0?作平面P43和 平 面 的 垂 线，其交点为球心，记为。.(3)过01作A 3的垂线，垂足记为。，连接0?。，则Q O LA B.(4)在四棱锥A-O q。2中，垂直于平面。a。?，如 图2所示，底 面 四 边 形 的 四 个 顶点共圆且OD为该圆的直径.方法技巧十二：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为O(x,y,z),利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度.方法技巧十三：圆锥圆柱圆台模型1.球内接圆锥如图1,设圆锥的高为6,底面圆半径为厂，球的半径为R.通常在OC8中，由勾股定理建立方程来计算/?.如图2,当PCCB时，球心在圆锥内部；如图3,当 PC 匚平面4。（7,故 3O_L AR B。，。.乂 BD=2,AB=2五,AC=BC=2 5故A）=JA82-82=7 =2，CD=J8C2-BD）=120-4=4，所以 AC2=A2+C）2 ,即_LC。，故A D C D 8D两两垂直，故以ADCDBQ为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体，如图:则三棱锥A-B C D的外接球即该长方体的外接球，外接球半径为r=S2+22+42=娓,2所以一棱锥A-B C D的外接球的体积 为 与x（府=8隔，故答案为：8 兀3.（多选题）（2022 江 苏 高三开学考试）在棱长为2的正方体A 3 C D-A B C A中，点M,N分别是棱A 2，A 8的中点，则（）A.异 面 直 线 与AC所成角的余弦值为gB.M”RNC.四面体C4耳口的外接球体积为4 6万D.平面MNC截正方体所得的截面是四边形【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系,则用（1,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）6（0,2,2）,A（0,0,2）,N（2,1,0）,.加=(1,0,2),=(-2,2,0),.加国,殉=忑矢=噜,A 错误;M q=(-1,2,0),丽=(2,1,-2),冠 取=0,A MC.1D,2V,B 正确;由题可知四面体C A B R的外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径满足2r=2 g,丫=丛，：丫=兀户=46兀，C 正确；延长C N 交D 4延长线与P,连接M P交AA于Q,延长交。A 延长线于K，连接CK 交于J,则五边形Q M J C N为平面MNC截正方体所得的截面，D 错误.故选：BC.经典题型二：正四面体模型4.（2022 江苏南京高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2,则其外接球与以其一个顶点为球心,1为 半 径 的 球 面 所 形 成 的 交 线 的 长 度 为.【答案】等【解析】设外接球半径为,，外接球球心到底面的距离为h ,如图，在 P D O中，c os=2 xlx64 v 6 J 3 0-=，s i n Z D PO=J 6 6 62在中，0,=P D s i n Z.D OP=6所以交线所在圆的半径 为 叵，6所以交线长度为2万 典 加.6 3故答案为：叵35.（多选题）（2 0 2 2 全 国 高三专题练习）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N ,若线段MN的最小值为布，则（）A.正四面体的棱长为6B.正四面体的内切球的表面积为6灯C.正四面体的外接球的体积为8#%D.线 段 的 最 大 值 为2 m4【答案】A B D【解析】设这个四面体的棱长为。，则此四面体可看作棱长 为 变”的正方体截得的，所以四面体的外接球2即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，设外接球的半径为R，内切球的半径为，则-S/?=4 x l s r,3 3所以r=,力=4 12由题意得/?一厂=遥，所 以 圆 一 旦=指，解得4 =64 12所以A正确，=2 7 6，所以C错误,所以区=也义6=巫,所以外接球的体积为&乃/?=3为4 2 3 3因为内切球半径为，所以内切球的表面积为4G=4%（手 1=6，所以B正确，线 段 的 最 大 值 为/?+r=城+亚=2而，所以D 正确，2 2故选：A B D6.（多选题）（20 22 山东济南模拟预测）在正四面体A 8 C D 中，若 A B =0，则下列说法正确的是（）A.该四面体外接球的表面积为3万B.直线A3 与平面8 8 所成角的正弦值为更3C.如果点M 在 C O 上，则AM+8 M的最小值为几D.过线段A B 一个三等分点且与A 8 垂直的平面截该四面体所得截面的周长为独担1【答案】A C D【解析】A正四面体ABC。中，AB=0，图中点。为外接球的球心，半径为R=Q4=O8,为SCO的外心,n n_ V2 _V2_V6所以“耳-而-不,由于。肉+。：=0正,T因此外接球的表面积为4万=3万，故A正确；由于哈当叫=专 用0、=当,且力B与平面B 8所成的角为4畋,2 6因此s in W q=2=%=故B错误；AB 及 3因为 AELC。于 E,所以 AMmin=AE：8E，CZMPE,所以 BMn“_=BE；因此当M与E点重合时，4 0 +3M最小，最小值为2x亚 =&,故C正确；2在平面ABC中过点T作PT_LAB交AC 于P,在平面ADC中过点T作/?T _ L交AZ）于R,连接尸R.又因为RTcPT=7,所以AB_L平面7 P R,因此平面7PR即为所求，TP=TR=旦,AD=PR=,3 3贝I J ATPR的周长 为 在+如+迪=2 +2 ,3 3 3 3同理在平面A3C中过点N作NQ工AB交BC于。，在 平 面 中 过 点N作NS工AB交8。于S,连接QS,可得平面N Q S,而平面NQS即为所求，NQ=NS=*,BQ=QS=AP=,则ANOS的周长 为 避+逅+至 =2#+2 0 ,故D正确.3 3 3 3故选：ACD.7.（2022 湖北高三阶段练习）有一个棱长为6 的正四面体，其中有一半径为底的球自由运动，正四面4体内未被球扫过的体积为【答案】9/2+cos8 3 8【解析】B如图设正四面体尸-A B C,当球运动到与平面R W、平面B 4 C、平面P 3 C 相切时，可得此时球无法继续向上运动，设切点分别为E，尸，。，则此时球面与正四面体顶点P 之间的部分球无法扫过，同理可得正四面体顶点4 8,C均有相同的空间未被球扫过，作与平面A B C 平行且与此时球相切的平面A 4 G，易 得 棱 锥 为 正 四 面 体，设棱长为叫 作 PG_L平面A B G 于G,2则 PG 经过球心0,易得AG=x3=-a,贝 i P G =3则正四面体P-4 4 G 的体 积/me=-x-a x -a x -a =a3,表面积S=4 x L x 3a=石 ，p-A4c,3 2 2 3 12 2 2设球半径为r，则 w,=g x S x r,即 年 3=$信 2、手，解得a=3,作 人抬 ,易得“为班 中点,3则尸=二，2设 4 个顶点处未被球扫过空间的体积为匕，球的体积为 力,可得i/一%=夜e r 4 x27 4 x12 3（#Y 9夜底-=-71 4/4 8当球沿着P A方向运动且始终与二面角8-P 4-C 相切时，设球与平面P A B、平面P A C的切点始终为E,F,过E,F 的大圆与A4交于M,由垂径定理知O M _LPA,又O E,O F_LPA,易得k J_ P A,则NEMr 即为二面角B-R 4-C 的平面角，易得未被球扫过的部分为柱体，且柱体的底面为扇形0 防 与 四 边 形 之 间 的 部 分，设R 4中点为N,连接8M CN,易 得 班，尸 4 次，尸 4,则/胡匕即为二面角8-2 4 一（的平面角，又 BN=CN=3后,由余弦定理得 cos NBNC=（响+（询 3=1，则 NBNC=cos-11,则 cos N E M F =2cos?N E M O-1=1,2x3&3 6 3 3 3则8 5/“。=逅，匕 11乙臼0 0 =，KljME=V20E=,设扇形0 E F 与四边形MEO尸之间部分面积为3 2 2%扇形 O E F 面积为 S0 E F,/E O F =7t-NEMF=%-cos g,则3 3 3由上知9=5,又 叫6,贝府体的高为6-厂/3 正四面 体 外 M C 的六条棱未被球扫过空间均为相同的柱体,设这部分体积为匕，则匕=3&3（_#_,2 7 0 27 工 27.1 1 r|,.x-cos-x3x6=-/r+cos-,则正四面体内未被球o 10 J）4 o o J扫过的体积为匕+匕=9&+g c o s-1-3迎.故答案为：9&+2 c o s-d-巫 卫 万.8 3 8经典题型三：对棱相等模型8.（2022 全国高三专题练习）如图，在三棱锥P-A B C 中，PA=BC=B PB=AC=2,PC=AB=6则三棱锥P-A B C 外接球的体积为（）A.母兀 B.0兀 C.瓜兀 D,6万【答案】C【解析】由题意，PA=BC=，PB=AC=2,PC=48=宕，将三棱锥尸 ABC放到长方体中，可得长方 体 的 三 条 对 角 线 分 别 为 2,亚,设长方体的长、宽、高分别为。力，。，则 yla2+b2=/3 yla2+c2-2，-Jc2+b2=-Js 解得a=l,b=41 c=百.所以三棱锥P-ABC外接球的半径R x V 7 7 P 7 7=2.2 24 r-二棱锥P-A B C 外接球的体积丫=乃 肥=.故选：C9.（2022 全国高三专题练习）在三棱锥P-A 8 C 中，R 4=6 C=4,PB=AC=5,PC=A8=JTT，则三棱锥P-A B C 的外接球的表面 积 为（）A.26兀 B.12兀 C.8兀 D.24兀【答案】A【解析】三棱锥 P-ABC 中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=4 T i，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,而，则长方体的对角线长等于三棱锥P-M C 外接球的直径，如图,设长方体的棱长分别为R，y Z,则1 2+,2=6,y2+z2=2 5 ,X2+z2=1 1 ,则/+y2 +Z?=2 6 ,因此三棱锥尸-M C外接球的直径为 病，所以三棱锥尸-M C外接球的表面积为4 n（返）2 =2 6 n.2故选：A1 0.（多选题）（2022 辽 宁朝阳高三阶段练习）在三棱锥ABCD中，AB=C D =BAD=BC=AC=BD=4S,贝I()A.ABY CDB.三棱锥A-8C。的体积为C.三棱锥A-8 8外接球半径为几3D.异面直线AO与BC所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】将三棱锥补形为长方体如下：其中班：=BN=1,BF=2,所以 A8=C3=，AD=BC=AC=BD=&连接MF，因为AW/EC,BFHEC,AM=EC,EC=BF,所以AM/BF,AM=BF,所以四边形4 0五8为平行四边形，所以AB/MF,又四边形MCE。为正方形，所以MFLCD,所以A对;长方体的体积K=lxlx2 =2,三棱锥E A 8 c 的体积=g xg xlx2 xl=g,三棱锥NABD的体枳=g x g x l x 2 x l=g,三棱锥产一B C D 的体积=g xg xlx2 xl=g,三棱锥M ACD的体积匕=g xg xlx2 xl=g,1 2所以一棱锥A-B C D的体积丫 =2-4 x =,B对，为长方体的外接球的直径，80=庐下寿=，所以长方体的外接球的半径为 远，长方体的外接球也是三棱锥A-BCD外接球,2所以三棱锥A-58外接球的半径为 迈；C错;2连接MN,交 AO于。,因为M N B C,所以NAOM为异面直线A）与B C 所成的角（或其补角）,由己知IOA=A=且，O M =-M N =,A M =2,2 2 2 2所以c os N A。M=5 5 4-+-44 4、亚 也2 x x2 2353所以异面直线A。与8 C 所成角的余弦值为,，D对,故选：A B D.1 1.（2 0 2 2 河南商丘市第一高级中学高三开学考试（文）在三棱锥P-A B C中，以=8 C=5,PB=CA=PC=BA=2石，则三棱锥PA8C的外接球的表面积为（）A.12n B.8n C.24兀 D.29兀【答案】D【解析】三棱锥P-A 8 C 中，物=8C=5,PB=CA=岳,PC=AB=2后,构造长方体使得面对角线分别为5,2石，后，则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径2 R,如图所示,则从+/=20,a2+/?2=25.a2+c2=13,则/+/+c?=29，即4 R 2=2 9,夕卜接球表面积4兀/?2 =29兀.故选：D经典题型四：直棱柱模型12.（2022 江西省抚州市第一中学高三阶段练习（文）设三棱柱A B C-A 8G 的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,ZBAC=120,A4,=3百，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是【答案】43万【解析】由题意知底面A43C外接圆的圆心为点。，设外接圆的半径为广，三棱柱A B C-A Q 的外接球的半径为R,AB=AC=2,NBAC=120,由余弦定理得 BC=V AB2+AC2-2 AS x AC cos ABAC=2 百，BC 2.由正弦定理得sinZBAC 一 近 一 ，2所以r=2,过O 作垂直于底面的直线交中截面于。点，则。为外接球的球心，由题意得：改=尸+竽）=4+?吟，所以外接球的表面积5=4/=43万，AtGB13.（2022 全国高三专题练习）球内接直三棱柱ABC-ABC 1,AB=AC=l,NBAC=1 2 0 o,A A=2,则球表面积为.【答案】87r【解析】设三角形ABC和三角形4耳 的外心分别为C,E.可知其外接球的球心O是线段D E的中点，连结03 C D,设外接球的半径为R,三角形A 8C的外接圆的半径，AB=AC=l,NBAC=120。,可得BC=G ,由正弦定理得，-=2r.-.r=l,sin 120而在三角形08中,可 知|C O=|O D+|CZ）|2,即炉=/+1 =2,因此三棱柱外接球的表面积为S=4万六=8乃.故答案为：87t经典题型五：直棱锥模型14.（2022 福建省福州屏东中学高三开学考试）如图所示的三棱锥-A B C中，P 4 L平面ABC,A B 1BC,PA=A B =B C 3,则 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为.pc【答案】27万【解析】设 P C 中点为。.连接。仇。4,因为PA_L平面ABC,所以PA，AC,所以OP=0C.因为PA J_平面ABC,所以2，3C,8C _L A氏PA门AS=A,尸 A,A8 u 平面叫所以8C_L平面R 4 8,所以BC LPB.所以 OP=OA=OB.所以 OP=Q4=OC=O8.所以点。就是三棱锥外接球的球心.由题得 AC=3/2,.-.PC=V9+18=3百.所以三棱锥外接球的半径为|6.所以三棱锥外接球的表面积为4 x(|G)2=2 7;r.故答案为：27万.o15.（2022 湖 北 高 三开学考试）在三棱锥P-ABC中，PA_L底面ABC,PA=4,AB=AC=BC=2a,M为A C的中点，球。为三棱锥P-ABM的外接球，。是球。上任一点，若三棱锥O-/V1C体积的最大值是4石，则球。的体积为.【答案】8扁【解析】正AABC中，例 为A C的中点，则8M J.AC,而R4_L平面 ABC,8 u平面 A B C,则 8M_LPA,而R4nAe=A,PA,AC u平面P A C,则叫V/_L平面PAC,.PMu 平面 P A C,所以，BM A.PM,J_平面ABC,ABI 平面ABC,.姑_LA8,所以，尸8的中点到点A、B、M、P的距离相等，即三棱锥P ABM外接球球心为依中点。，从而，点。是三棱锥P-/W M外接球球心，设球。的半径为 R,则 4心=pe+AB2=16+4/,.52=4+/,因为/VIM的外接圆圆心为P M的中点，设为广，连接。尸，因为。、尸分别为P8、P M的中点，则OFBM,故OF_L平面R 4 F,如图，则有OF=LBM=,即。到平面P A C的距离 为 正a,2 2 2因此O到平面尸AC距离的最大值为R+且a=/7/+且a,22又S#Ac=gx4x2a=4 a,即有:x4a（1?+/）=4 6,解得 =&,所以，R=6所以球。的体积为g万斤=8而.故答案为：8 瓜兀.16.（2022 浙江慈溪中学高三开学考试）九章算术.商功中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖嚅.在鳖席ABC。中，平面3CQ,B C L C D,且A3=1,3C=2,8 =3,则四面体ABC。外接球的表面 积 为（）14TIA.-B.7it C.13兀 D.14兀3【答案】D【解析】由题意可知四面体ABCZ）如图所示，AI1 4-32 7则面体A 8 C O 外接球的半径为R2 J +z+、4 27所以四面体A B C D外接球的表面积为S =4 成 2 =4 兀 x =1 4 兀.2故选：D.1 7.（2 0 2 2 浙江高三开学考试）已知四棱锥P-4 5 CZ）外接球表面积为S,体积为匕1%，平面A BC 2尸 A=4,/AB C=生，且 延 4 V Z,则S 的取值范围是（）3 3A.IOTFWSB.2 0 7 4 s C.1 0 上兀 W S D.20 的外接圆为底，以 为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.设内接圆柱的底面半径为八R外接球的半径，则代 二 级+/，y=-SA B C D-PA=-SA a C D-43,故百，SABCD AB-BC s i n +AD-D C s i n =-（AB-BC+A D-D C）,所以在AABC中运用余弦定理与基本不等式得：A C2=A B2+B C2+AB B C 3 A B B C，在A A D C 中运用余弦定理与基本不等式得：3 AC2=3（A。+Dc2-AD-D C）3 AD D C,上两式相加得：4 AC2 3(AB BC+A D D C)2,故有：A C2 3 ,2 r -4 c -r -A C r2 1在“w c中由正弦定理得：Zr-7-r-T 5 3s i n 3因此R 2=22+，N5,S=47?2 2（）zr.故选：B18.（2022 湖 北 高三开学考试）在三棱锥产一AB C中，ZPAC=NPAB,AC=2AB=4,PA=PB=正，BC=2 B 则三棱锥P-A B C外接球的表面积为（）“-64万 68勿A.22%B.26%C.-D.-3 3【答案】A【解析】BPA2+PB2=AB2 PA A.PB,且 NPA8=45,ZPAC=NPAB=45。，在川C中，根据余弦定理得，PC2=AC2+AP2-2A C A P cosZP A C =6+2-2 x4 xy/2x =0,2：.PB2+PC2=2+O=n =BC2,PBA.PC,又 4 n p e =P,P A P C u平面附C,.，8_1平面 PAC,故可将三棱锥B-APC补为直三棱柱地6 -PAC,则直三棱柱M G -PAC的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，设ABAC外接圆圆心为。”A B G的外接圆圆心为0一 则直三棱柱的外接球球心为O R中点。，O A即为外接球的半径.M PC=厢=1R在川C中，根据正弦定理可得“5 A-sin/P A C 一五一，：.OA=0VOA2=0 0；+O2A2=+O2A2=等）+5=?,.外接球表面积为：4 n-OA2=4K X=22TC.2故选：A.经典题型六：正棱锥与侧棱相等模型19.（2022 湖北高三开学考试）在三棱锥P-A B C 中，三条棱PA,P8,PC两两垂直，且 PA=P B=P C =2,则平面ABC截 该 三 棱 锥 的 外 接 球 所 得 截 面 圆 的 面 积 为.【答案】y【解析】由题意，平面ABC截该一棱锥的外接球所得截面圆为AABC的外接圆，其圆心为点。，作CELAB,连 S接8。，作图如下：A因为三条棱PA PC 两两垂直，所以在R/APAC中，AC同理可得：AB=A C =B C =2 ，则AABC为等边三角形,则 CE=C8sin6（T=卡，易知 C=2DE=,33则OO的面积5=（半=：万，QJJ.故答案为：-y.2=PA2+PC2=8,即圆心。为中心,20.（2022 江 西 高 三阶段 练 习（文）在正三棱锥尸-ABC中，P A1PB,P 到平面ABC的距离为2,则该三棱锥外接球的表面积为（）pA.3 6 7 r【答案】AB.1 6 1 6 万D.4%【解析】因 为 由 正 三 棱 锥 的 性 质 知，M,P B,尸。两两垂直且相等.设P A=P 8 =P C =a,则AB=BC=CA=6M.根据 Vp-A8C=VA-PBC,得 g x；xc/x =g x；x(0 a)s i n 6 0 x2 ,解得a=2 V 3 .设三棱锥尸-A B C 外接球的半径为/?,则2 R =JP A2 +p 8 2+p c 2 =后=6,所以R =3.故所求外接球的表面积为3 6 乃.故选：A.2 1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）己知正三棱锥S-A 8 C 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为应 ,则此三棱锥的外接球的表面积为（）A.兀 B.3 冗 C.6 兀 D.9 兀【答案】C【解析】由题意，正三棱锥S-MC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为0,此三棱锥S-A B C uJ补形为一个棱长 为 正 的正方体，三棱锥S -A B C 的外接球与补成的棱长为0 的正方体的外接球为同一个球，设正方体的外接球的半径为K,可得2 R=J（可+（可+曲=,即/?=日，所以此三棱锥的外接球的表面积为S =4 兀代=4 兀 x 等）=6 兀.故选：C.2 2.（2 0 2 2 重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）在三棱锥P-MC 中，点尸在底面的射影是AABC的外心，Z B A C=等,8C=G,2 4 =石，则该三棱 锥 外 接 球 的 体 积 为.125万【答案】48【解析】设AA B C的外心为。，连接P0,，则球心。在PQ上，连接。，则。为ABC外接圆的半径r,连接。4,设外接球的半径为几则 OA=QP=R,在A4 3 c中，由正弦定理得BC G c-=2r,sin/BAC J3T解得厂=L即 A =1,在 RtzxPA。1中，PO=4 PA2-户=5 1 =2,在 RtAAO ,中 OO：+AO：=人。2,即。（2-R）-+1 2 =R2,解得：/?=|5,所以外接球的体积为：，4决 万，y-=-3 3 48,.,125万故答案为：-48经典题型七：侧棱为外接球直径模型23.（2022 全国高三专题练习）已知三棱锥P-A 3 C的所有顶点都在球。的球面上，PC为球。的直径,且PCLO1,PC1O B,4 9 B为等边三角形，三棱锥P-A B C的体积为 也，则球。的表面 积 为（）6A.4兀B.8元C.1 2KD.1 6K【答案】A【解析】根据题意作出图形：设球心为。，球的半径LPCOAf P C 1 0 B,.尸。_1 _平面4 0 8,棱锥P-A B C的体积可看成是两个小三棱锥P-ABO和C-的体积和.VP-ABC=VP-ABO+勿-AM =；XX/XX2 =,3 4 o/.r =1,球。的表面积为4 7t.故选：A.2 4.（2 0 2 2五华区校级期末）已知三棱锥P-A 8 C的所有顶点都在球。的球面上，AB=5,AC=3,BC=4,/3为球O的直径，PB=0,则这个三棱锥的体积为（）A.3 0/3 B.1 5/3 C.1 0 7 3 D.5下）【解析】解：如图所示，由条件AABC为直角三角形，则斜 边 他 的中点0 1为AABC的外接圆的圆心，连接 0 0、得 0 a 1 平面 ABC,O O、=,B O-B O：=-/3 .OO,/PA,PA=2OO=56,平面/W C,.三棱锥的体积为，x l x 3 x 4 x 5 6=1 0/3 .3 2故选：C.25.（2022抚顺校级月考）已知三棱锥P-A 8 C 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 为球。的直径，且PCA.OA,PCA.OB,AAO3为等边三角形，三 棱 锥 的 体 积 为 荒，则球O 的表面积为（）A.4/r B.8万 C.127r D.16%【解析】解：设球心为O,球的半径r.-.-PCrOA,PC LOB,.PCJ_ 平面 AOB,三棱锥尸-ABC的体积可看成是两个小三棱锥P-A B O 和C-M O 的体积和.,K mt-P-ABC=V :P-A B O +V -:梭StC-AHO=*X 尸 X X 2 =*，:.r =,球 O 的表面积为4万.故选：A.经典题型八：共斜边拼接模型26.（2022 安徽省定远县第三中学高三阶段练习）如图，在平面四边形ABC。中,AD 1 CD,AC 1 BC,ZDAC=ZBAC=30,现将AC。沿 AC 折起，并连接 BD，使得平面 ACD _L 平面 ABC,若所得三棱锥D-A B C 的外接球的表面积为4万，则三棱锥E-A8C的体积为（）DDA.-B.C.3 D.近4 4 8 6【答案】C【解析】；平面4 c。J平面A B C,平面A8CH平面BCAAC,ACBC,8Cu平面ABC,.8C_L 平面 ACC,又YAOu平面 ACO,：.ADBC,又.ADJLDC,BCCtDC=C,8C u平面 8C),OCu平面 BC。，平面 8cO,又YBOu平面8C。，：.A D L B D,即NAZ出为直角，又 NACB为直角，.取A 8的中点。，连接。C,OD,由直角三角形的斜边上的中线性质OA=OB=OC=OD,可得。为三棱锥D-A B C 外接球的球心，DAB由三棱锥。-A B C 外接球的表面积为4兀，可得外接球的半径r=l,/.AB=2,BC=l,AC=y/3,CD=-,A D =-,2 2平面ACO,NADB为宜角，.三棱锥力-A B C 的体积为,BCxS ACD=xlx-x x =3.3 2 2 2 8故选：C2 7.在矩形A8C。中，A B=4,BC=3,沿A C 将矩形A8C）折成一个直二面角8 -AC 。，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A,.125 7 1 DR 125 7 1 C0.-1-2-5-7 T L八）1257 112 9 6 3【解析】设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平分，可知。4=O 3=O C=O D.点O 到四面体的四个顶点A、B、C、。的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2 所示.图 2二外接球的半径H=04=上.故丫球=4 4?3=3 灯.选 C.2 3 628.三棱锥尸-A B C 中，平面PAC J_平面ABC,A C =2,PA P C ,A B BC,则三棱锥P-A 8 C的外接球的半径为【解析】A C 是公共的斜边，A C 的中点是球心O,球半径为R=l.经典题型九：垂面模型29.（2022 全国模拟预测）如图，在三棱锥A-8C。中，A D =C D =2,AB=BC =A C =2 叵,平面A 8_L平面A B C,则三棱锥A-B C O 的体积为,其 外 接 球 的 表 面 积 为.【答案】亚3【解析】如图，取 AC的中点E,连接。E,B E,在 8E 上取一点0,使得8 0 =2召 O,1 1 AD =C D =2,A C =2 丘,所以 AD?+8?=AC?,所以所以 OE=AE=CE=&，BE =屈,B0 =,E 0 =.3 3因为E 为 AC的中点，所以B E 1 A C,又平面ACL平面ABC,且平面ACEn平面/WC=AC,3 E u 平面A C 8,所 以 平 面 ACC,所以匕-8CD=%A 8 =；xgx2x2x#=,乂。E u 平面 AC。，所以 B E _LD E,所以 8=（2）?+当=半，所以。为三棱锥A-B C D外接球的球心，所以三棱锥4-BCD外接球的半径为侦，则三棱锥A-B C D的3外接球的表面积为4万32=万.3故答案沏手掌3 0.（多选题）（2022 江苏南京市中华中学高三阶段练习）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形,AB/CD,ABA.BC,平面 附.平面 ABC。，E 为 PB 中 点,PA=AB=BC=2 CD=2 PD=2,则()A.P B L A DB.CE/平面 PADC.四棱锥P-ABC。的体积为平D.三 棱 锥 的 外 接 球 半 径 为 之4【答案】BCD【解析】如图取A 8中点八 连接/；作尸G_LA。于点G,因为平面 以。_1平面48 8,平面P AQH平面PGu平面P A D，所 以/，面 相。)，因为 C=l,AB=2,所以 BF=1,因为A8/CQ,A B 1 B C,所以四边形8CQF为矩形，所以。F=BC=2,所以4。=石；因 为%=2,PD=,所以N AP Q=90,所以A/U尸D,因为 P G”=P 4 P D,所以 P G=P,；D=条,A G=y/PA2-PG2=t =A,AD 。5 V 5 V 5AF 1在底面 ABCD U i c o sBAD =,所以 BG?=AB2 +AG 2-2 AB-AGCO SN B4)=4 +3-2X2X4X-J=4,5 A/5 7 5所以8G=2；4对于A,如果P B L A D,又因为P G L A D,所以A ,面P 8 G,所以A O L B G,而A 3=8G=2,AG=,所以 不 是 宜 角 三 角 形，所以A错误；对于B,取 期 的中点H连接因为为尸8中点，所以9/A S,EH=AB,因为。=：A 8,2 2CD/A B,所以E H CD,EH=C D,所以四边形。CE为平行四边形，所以CE DH，因为CE,所以CE/