2013年陕西高考理科数学试题及答案.pdf

20132013 年陕西高考理综数学试题及答案年陕西高考理综数学试题及答案注意事项:1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分第一部分(共共 5050 分分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分）1.设全集为R,函数2()1f xx的定义域为M,则C MR为(A)1,1(B)(1,1)(C),11,)(D),1)(1,)(【答案】D【解析】),1()1,(,1,1.11,0-12MRCMxx即,所以选 D2.根据下列算法语句,当输入x为 60 时,输出y的值为(A)25(B)30(C)31(D)61【答案】C【解析】31)50(6.025,60 xyx,所以选 C3.设a a,b b为向量,则“|aabb”是“a a/b b”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件输入 xIf x50 Theny=0.5*xElsey=25+0.6*(x-50)End If输出 y【答案】C【解析】。cos|baba若1cos|baba,b/a0，即或的夹角为与则向量ba为真；相反，若ba/，则|0bababa，即或的夹角为与向量。所以“|aabb”是“a a/b b”的充分必要条件。另：当ba或向量为零向量时，上述结论也成立。所以选 C4.某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法,抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按 1,2,840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间481,720的人数为(A)11(B)12(C)13(D)14【答案】B【解析】使用系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，即从 20 人抽取 1 人。,所以从编号 1480的人中，恰好抽取 24 人，接着从编号 481720 共 240 人中抽取 12 人。故选 B5.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(A)14(B)12(C)22(D)4【答案】A【解析】该地点信号的概率=421212的面积矩形的面积扇形的面积扇形ABCDCBFADE所以该地点无信号的概率是14。选 A6.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(A)若12|0zz,则12zz(B)若12zz,则12zz(C)若|21zz,则2112zzzz(D)若12|zz,则2122zz【答案】D【解析】对（A），若12|0zz,则021zz，所以12zz为真。对（B），若12zz,则21zz 和互为共轭复数，所以12zz为真。对（C），设,222111ibazibaz若|21zz,则22222121baba，222222212111,bazzbazz，所以2112zzzz为真对（D），若,121izz则12|zz为真，而1,12221zz，所以2122zz为假选 D7.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若coscossinbCcBaA,则ABC的形状为(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不确定【答案】B【解析】因为coscossinbCcBaA，所以AABCCBsinsincossincossin又ACBBCCBsin)sin(cossincossin。联立两式得AAAsinsinsin。所以2,1sinAA。选 B8.设函数61,00.,(),xxf xxxx,则当x0 时,()f f x表达式的展开式中常数项为(A)20(B)20(C)15(D)15【答案】A【解析】当66-11-)(0）（）（时，xxxxxffx的展开式中，常数项为20)(-)1(3336xxC。所以选 A9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是(A)15,20(B)12,25(C)10,30(D)20,30【答案】C【解析】设矩形高为 y,由三角形相似得:,30040,40,0,0,404040 xyyxyxyx，且利用线性规划知识解得30,10 x，选C10.设x表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有(A)x x(B)2x 2x(C)xyxy(D)xyxy【答案】D【解析】代值法。对 A,设 x=-1.8,则-x=1,-x=2,所以 A 选项为假。对 B,设 x=-1.4,2x=-2.8=-3,2x=-4,所以 B 选项为假。对 C,设 x=y=1.8,对 A,x+y=3.6=3,x+y=2,所以 C 选项为假。故 D 选项为真。所以选 D二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分）11.双曲线22116xym的离心率为54,则m等于9.【答案】9【解析】9161694522mmabac12.某几何体的三视图如图所示,则其体积为3.【答案】3【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1 的半圆，高为 2。所以体积32121312V13.若点(x,y)位于曲线|1|yx与y2 所围成的封闭区域,则 2xy的最小值为-4.【答案】-4【解析】封闭区域为三角形。令|x 1|=2,解得3,121xx，所以三角形三个顶点坐标分别为（1,0,），（-1,2），（3,2），故 2xy在点（-1,2）取最小值-414.观察下列等式:21122123 22212632222124310 照此规律,第n个等式可为)1(2)1-n1-32-1121-n222nnn（）（.【答案】)1(2)1-n1-32-1121-n222nnn（）（【解析】分 n 为奇数、偶数两种情况。第n个等式为21-n222n1-32-1）（。当 n 为偶数时，分组求和：21)n(n-)1()43()2-1222222nn（。当 n 为奇数时，第n个等式=21)n(n21)n(n-2n。综上，第n个等式：)1(2)1-n1-32-1121-n222nnn（）（15.(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)A.(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且ab1,mn2,则(ambn)(bman)的最小值为2.【答案】2【解析】利用柯西不等式求解，212)()()(22bamnbmbnanambmanbnam（,且仅当nmbmbnanam时取最小值 2B.(几何证明选做题)如图,弦AB与CD相交于O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD2DA2,则PE.6.【答案】.6【解析】./BADPEDBADBCDPEDBCDPEBC且在圆中.6.6232PEPDPAPEPEPDPAPEAPEEPD所以C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆220yxx 的参数方程为Ryx,sincoscos2.【答案】Ryx,sincoscos2【解析】222)21()21yx（圆的方程21r圆的半径sincossin,coscoscos2cos2OPyOPxrOP。所以圆的参数方程为Ryx,sincoscos2三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分）16.(本小题满分 12 分)已知向量1(cos,),(3sin,cos2),2xxx xabR,设函数()f x a b.()求f(x)的最小正周期.()求f(x)在0,2上的最大值和最小值.【答案】().()21,1.【解析】()()f x a b=)62sin(2cos212sin232cos21sin3cosxxxxxx。最小正周期22T。所以),62sin()(xxf最小正周期为。()上的图像知，在，由标准函数时，当65,6-sin65,6-)62(2,0 xyxx.1,21)2(),6-()62sin()(ffxxf.所以，f(x)在0,2上的最大值和最小值分别为21,1.17.(本小题满分 12 分)设na是公比为q的等比数列.()导na的前n项和公式;()设q1,证明数列1na 不是等比数列.【答案】()1(,1)1()1(,11qqqaqnaSnn;()见下；【解析】()分两种情况讨论。.111111naaaaSaaqnn的常数数列，所以是首项为时，数列当nnnnnnqaqaqaqaqSaaaaSq1211211时，当.上面两式错位相减:.)()()()-11123121nnnnnqaaqaqaaqaaqaaaSq（qqaqqaaSnnn-1)1(.-111。综上，)1(,1)1()1(,11qqqaqnaSnn()使用反证法。设na是公比q1 的等比数列,假设数列1na 是等比数列.则当1*naNn，使得=0 成立，则1na 不是等比数列。当01*naNn，使得成立，则恒为常数11111111nnnnqaqaaa1,0111111qaqaqann时当。这与题目条件q1 矛盾。综上两种情况，假设数列1na 是等比数列均不成立，所以当q1 时,数列1na 不是等比数列。（证毕）18.(本小题满分 12 分)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O平面ABCD,12ABAA.()证明:A1C平面BB1D1D;()求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.【答案】()见下;()=3()求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.【解析】()BDOAABCDBDABCDOA11,面且面；又因为，在正方形 AB CD 中，BDCAACACAACABDAACOABDAC11111,，故面且面所以；且。在正方形 AB CD 中,AO=1.111OAOAART中，在OECAOCEAEDB1111111为正方形，所以，则四边形的中点为设.，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD111111E.E,DDBBCA111面.(证毕)()建立直角坐标系统,使用向量解题。以 O 为原点，以 OC 为 X 轴正方向，以 OB 为 Y 轴正方向。则)1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0111CABACB，）（.由()知,平面BB1D1D的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（OCOBCAn设平面OCB1的法向量为，则0,0,2122OCnOBnn).1-,1,0(法向量2n为解得其中一个21221|,cos|cos212111nnnnnn。所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为319.(本小题满分 12 分)在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 5号中随机选 3 名歌手.()求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率;()X表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.【答案】()154;()X的分布列如下：数学期望1528EX【解析】()设事件 A 表示:观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手。观众甲选中 3 号歌手的概率为32,观众乙未选中 3 号歌手的概率为53-1。所以 P(A)=15453-132）（.因此，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为154X0123P754752075337518()X表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则 X 可取 0,1,2,3.观众甲选中 3 号歌手的概率为32,观众乙选中 3 号歌手的概率为53。当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时，这时 X=0，P(X=0)=754)531()321(2.当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时，这时 X=1，P(X=1)=75207566853)531(321()531(53321()531(322）.当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时，这时 X=2，P(X=2)=7533751291253)531(325353321()531(5332）.当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时，这时 X=3，P(X=3)=7518)53(322.X的分布列如下表：1528755466207518375332752017540E所以，数学期望1528EX20.(本小题满分 13 分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为 8.()求动圆圆心的轨迹C的方程;()已知点B(1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点.【答案】()xy82抛物线方程;()定点（1,0）【解析】()A(4,0),设圆心C2222,2),(ECMECMCAMNMEEMNyx，由几何图像知线段的中点为xyxyx84)422222（()点B(1,0),222121212122118,8,00),(),(xyxyyyyyyxQyxP，由题知设.X0123P754752075337518080)()(88811211221212222112211yyyyyyyyyyyyxyxy直线 PQ 方程为：)8(1)(21121112121yxyyyyxxxxyyyy1,088)(8)()(122112112xyxyyyyxyyyyyy所以，直线 PQ 过定点（1,0）21.(本小题满分 14 分)已知函数()e,xf xxR.()若直线ykx1 与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;()设x0,讨论曲线yf(x)与曲线2(0)ymx m公共点的个数.()设a()()f bf aba【解析】()f(x)的反函数xxgln)(.设直线ykx1 与xxgln)(相切与点220000000,xx1)(xgklnx1kx，则)y，P(xeke。所以2 ek()当 x 0，m 0 时，曲线yf(x)与曲线2(0)ymx m的公共点个数即方程2)(mxxf根的个数。由2222)2()()(,)(xxxexhxexhxemmxxfxxx令，则 h(x)在);(h(2),h(x)2,0(上单调递减，这时h(x).(h(2),h(x),),2(这时上单调递增在4h(2)2e.的极小值即最小值。是h(x)h(2)y所以对曲线yf(x)与曲线2(0)ymx m公共点的个数，讨论如下：当 m)4,0(2e时,有 0 个公共点；当 m=42e,有 1 个公共点；当 m），（42e有 2 个公共点；()设)(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbfbfafaabbaeabeabababeabeab)(2)2()2()(2)2()2(令xxxexexxgxexxxg)1(1)21(1)(,0,)2(2)(则。）上单调递增，在（的导函数0)(所以,0)11()()(xgexexxgxgxx，且,0)0(,),0()(0)(.0)0(gxgxgg而上单调递增在，因此0)(),0(xg上所以在。,0)2(2)(0baexxxgxx且时，当0)(2)2()2(aabeabeabab所以abafbfbfaf)()(2)()(,ba时当