备战2023年中考数学一轮复习知识解读专题07二次函数与直角三角形有关的问题.docx

专题07 二次函数与直角三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之直角三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的直角三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。【解题思路】直角三角形的存在性问题1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点2. 方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1 （2） 以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解下面主要介绍2种常用方法：【方法1 几何法】“两线一圆” （1）若A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （2）若B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （3）若C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C（直径所对的圆周角为直角） 如何求得点坐标？以为例：构造三垂直 【方法2 代数法】点-线-方程【典例分析】【方法1 勾股定理】【典例1】（2021秋建华区期末）抛物线yx2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，3）三点点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在一点E，使ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【变式1-1】（2022灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【变式1-2】（2022广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+x+m（a0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，4），点C坐标为（2，0）（1）求此抛物线的函数解析式（2）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得PAB为直角三角形，请求出点P的坐标【方法2 构造“K”字型利用相似作答】【典例2】（2022碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx+c交x轴于点A（5，0），B（1，0），交y轴于点C（0，5）（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标【变式2-1】（2022济南）抛物线yax2+x6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线ykx6经过点B点P在抛物线上，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；【变式2-2】（2022滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC（1）求线段AC的长；（2）若点M为该抛物线上的一个动点，当BCM为直角三角形时，求点M的坐标专题07 二次函数与直角三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之直角三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的直角三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。【解题思路】直角三角形的存在性问题3. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点4. 方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1 （2） 以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解下面主要介绍2种常用方法：【方法1 几何法】“两线一圆” （1）若A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （2）若B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （3）若C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C（直径所对的圆周角为直角） 如何求得点坐标？以为例：构造三垂直 【方法2 代数法】点-线-方程【典例分析】【方法1 勾股定理】【典例1】（2021秋建华区期末）抛物线yx2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，3）三点点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在一点E，使ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解（1）抛物线yx2+bx+c经过B（1，0）、C（0，3），解得，抛物线的解析式为：yx2+2x3（4）在y轴上存在点E，使ADE为直角三角形，理由如下：抛物线的解析式为yx2+2x3（x+1）24，D（1，4），设E点坐标为（0，m），AE2m2+9，DE2m2+8m+17，AD220，当EAD90°时，有AE2+AD2DE2，m2+9+20m2+8m+17，解得m，此时点E的坐标为（0，）；当ADE90°时，DE2+AD2AE2， m2+8m+17+20m2+9，解得m，此时点E的坐标为（0，）；当AED90°时，AE2+DE2AD2，m2+9+m2+8m+1720，解得m1或m3，此时点E的坐标为（0，1）或（0，3）【变式1-1】（2022灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线的解析式为ya（x1）（x3），将点C（0，3）代入ya（x1）（x3），3a3，a1，y（x1）（x3）x24x+3，yx24x+3（x2）21，顶点为（2，1）；（2）存在一点E，使BCE是直角三角形，理由如下：yx24x+3（x2）21，抛物线的对称轴为直线x2，设E（2，t），BCE是直角三角形，BECE，B（3，0），C（0，3），BC3，BE，CE，当BC为斜边时，18（）2+（）2，解得t，E点坐标为（2，）或（2，）；当BE为斜边时，18+（）2（）2，解得t5，E点坐标为（2，5）；当CE为斜边时，18+（）2（）2，解得t1，E点坐标为（2，1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，1）【变式1-2】（2022广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+x+m（a0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，4），点C坐标为（2，0）（1）求此抛物线的函数解析式（2）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得PAB为直角三角形，请求出点P的坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+x+m（a0）的图象经过点B（0，4），点C（2，0），解得，抛物线的解析式为yx2+x4；（2）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM抛物线的对称轴于点M则N（1.0）M（1，4）；OAOB4，AOB90°，OABOBA45°，当P1AB90°时，ANP1是等腰直角三角形，ANNP13，P1（1，3），当ABP290°时，BMP2是等腰直角三角形，可得P2（1，5），当APB90°时，设P（1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（2，2），PJAB2，12+（n+2）2（2）2，解得n2或2，P3（1，2），P4（1，2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，3）或（1，5）或（1，2）或（1，2）【方法2 构造“K”字型利用相似作答】【典例2】（2022碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx+c交x轴于点A（5，0），B（1，0），交y轴于点C（0，5）（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标【解答】解：（1）将点A（5，0），B（1，0），C（0，5）代入yax2+bx+c，解得，yx2+6x+5，yx2+6x+5（x+3）24，顶点D（3，4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（x，y），点（x，y）在抛物线C1上，抛物线记作C2的解析式为yx26x+5，设E（t，t26t+5），过点D作DGx轴交于点G，过点E作EHx轴交于点H，DOE90°，GOD+HOE90°，GOD+GDO90°，HOEGDO，GDOHOE，DG4，GO3，HEt2+6t5，OHt，t4或t，E（4，3）或E（，）【变式2-1】（2022济南）抛物线yax2+x6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线ykx6经过点B点P在抛物线上，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；【解答】解：（1）将B（8，0）代入yax2+x6，64a+2260，a，yx2+x6，当y0时，t2+t60，解得t3或t8（舍），t3，B（8，0）在直线ykx6上，8k60，解得k，yx6；（2）作PMx轴交于M，P点横坐标为m，P（m，m2+m6），PMm2m+6，AMm3，在RtCOA和RtAMP中，OAC+PAM90°，APM+PAM90°，OACAPM，COAAMP，即OAMACOPM，3（m3）6（m2m+6），解得m3（舍）或m10，P（10，）； 【变式2-2】（2022滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC（1）求线段AC的长；（2）若点M为该抛物线上的一个动点，当BCM为直角三角形时，求点M的坐标【解答】解：（1）针对于抛物线yx22x3，令x0，则y3，C（0，3）；令y0，则x22x30，x3或x1，点A在点B的左侧，A（1，0），B（3，0），AC；（2）由（1）知，B（3，0），C（0，3），OBOC3，设M（m，m22m3），BCM为直角三角形，当BCM90°时，如图1，过点M作MHy轴于H，则HMm，OBOC，OCBOBC45°，HCM90°OCB45°，HMC45°HCM，CHMH，CH3（m22m3）m2+2m，m2+2mm，m0（不符合题意，舍去）或m1，M（1，4）；当CBM90°时，过点M作M'H'x轴，同的方法得，M'（2，5）；当BMC90°时，如图2，、当点M在第四象限时，过点M作MDy轴于D，过点B作BEDM，交DM的延长线于E，CDME90°，DCM+DMC90°，DMC+EMB90°，DCMEMB，CDMMEB，M（m，m22m3），B（3，0），C（0，3），DMm，CD3（m22m3）m2+2m，ME3m，BE（m22m3）m2+2m+3，m0（舍去）或m3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m（不符合题意，舍去）或m，M（，），、当点M在第三象限时，M（，），即满足条件的M的坐标为（1，4）或（2，5）或（，），或（，）