2024版高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数课时规范练8函数的奇偶性周期性与对称性北师大版.docx

课时规范练8基础巩固组1.(2022·广东二模)定义在-2,2上的下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是()A.y=sin xB.y=-2xC.y=e|x|D.y=2x3答案:D解析:A.2>2,由正弦函数的性质可知y=sinx在-2,2上不为增函数,故排除A;B.y=-2x在-2,2上单调递减,故排除B;C.由e|x|=e|-x|,知函数y=e|x|在-2,2上为偶函数,故排除C;D.由2(-x)3=-2x3,知函数y=2x3在-2,2上为奇函数,且由幂函数的性质知y=x3在-2,2上单调递增,则y=2x3在-2,2上单调递增,D满足题意.故选D.2.(2022·江苏连云港二模)已知函数f(x)=x1+m1-ex是偶函数,则实数m的值是()A.-2B.-1C.1D.2答案:A解析:函数的定义域为x|x0,因为函数f(x)=x1+m1-ex是偶函数,所以f(-1)=f(1),所以-1+m1-e-1=1×1+m1-e,-1-mee-1=1+m1-e,所以m(e-1)1-e=2,解得m=-2.经检验,当m=-2时,f(x)=f(-x)成立,所以m=-2符合题意.3.(2022·河北秦皇岛三模)设偶函数f(x)在(0,+)上单调递增,且f(4)=0,则不等式f(x)+f(-x)2x<0的解集是()A.(-4,4)B.(-4,0)(0,4)C.(-4,0)(4,+)D.(-,-4)(0,4)答案:D解析:因为f(x)是偶函数,所以f(x)+f(-x)2x<0等价于f(x)x<0.又f(x)在(0,+)上单调递增,所以f(x)在(-,0)上单调递减.由f(x)x<0,得x>0,f(x)<0或x<0,f(x)>0,又f(4)=f(-4)=0,解得0<x<4或x<-4.4.(2021·全国甲,文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f-13=13,则f53=()A.-53B.-13C.13D.53答案:C解析:f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).f(x+1)=f(-x),f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),函数f(x)的周期为2,则f53=f2-13=f-13=13.故选C.5.(2022·辽宁葫芦岛一模)函数f(x)在(-,+)上单调递增,且为奇函数,若f(2)=1,则满足-1f(x+3)1的x的取值范围是()A.-3,3B.-2,2C.-5,-1D.1,5答案:C解析:f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),又f(2)=1,f(-2)=-1,-1f(x+3)1可化为f(-2)f(x+3)f(2).f(x)在(-,+)上单调递增,-2x+32,解得-5x-1,x的取值范围为-5,-1.6.(2022·河北石家庄二中模拟)已知函数f(x)=ax3-2bx2+x是定义在2a+1,3-a上的奇函数,则a+b=. 答案:-4解析:依题意函数f(x)=ax3-2bx2+x是定义在2a+1,3-a上的奇函数,所以2a+1+3-a=0,所以a=-4,所以f(x)=-4x3-2bx2+x,f(-x)=4x3-2bx2-x,因为f(x)+f(-x)=-4bx2=0恒成立.所以b=0.所以a+b=-4.7.(2023·山东聊城高三期中)已知奇函数y=f(x)满足f(x+4)=f(x),若当x0,2时,f(x)=log13(x+a),则f(2022)=. 答案:-1解析:因为f(x+4)=f(x),即y=f(x)是周期为4的周期函数.y=f(x)为奇函数且当x0,2时,f(x)=log13(x+a),所以f(0)=0log13a=0a=1,所以当x0,2时,f(x)=log13(x+1),所以f(2022)=f(2)=log133=-1.综合提升组8.(2022·河北沧州二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且在区间(1,+)上单调递增,则满足f(1-x)>f(x+3)的x的取值范围为()A.(-1,+)B.(-,-1)C.(-1,1)D.(-,1)答案:B解析:因为函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)在区间(1,+)上单调递增,所以f(x)在(-,1)上单调递减,因为f(1-x)>f(x+3),所以|(1-x)-1|>|(x+3)-1|,即|-x|>|x+2|,平方后解得x<-1.所以x的取值范围为(-,-1).9.(多选)(2022·新高考,12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f32-2x,g(2+x)均为偶函数,则()A.f(0)=0B.g-12=0C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)答案:BC解析:f32-2x是偶函数,f32+2x=f32-2x,函数f(x)的图象关于直线x=32对称,f(-1)=f(4).故C正确;g(2+x)为偶函数,g(2-x)=g(2+x),g(x)的图象关于直线x=2对称.g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称,f(x)的图象关于点(2,t)(tR)对称.f(x)的图象关于直线x=32对称,g(x)的图象关于点32,0对称.f(x)与g(x)均是周期为2的函数.f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A错误;g-12=g32=0,故B正确;构造函数f(x)=sin(x)符合题目要求,g(x)=cos(x),而g(-1)=cos(-)=-,g(2)=cos2=,故D错误.故选BC.10.(2023·山东胜利一中模拟)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意xR恒成立,又函数f(x+9)的图象关于点(-9,0)对称,且f(1)=2 022,则f(45)=. 答案:-2 022解析:因为函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意xR恒成立,所以令x=-1,即f(2)=f(2)+9f(2),解得f(2)=0,所以f(x+3)=f(1-x)对任意xR恒成立.又函数f(x+9)的图象关于点(-9,0)对称,将函数f(x+9)向右平移9个单位长度得到f(x),所以f(x)的图象关于点(0,0)中,即f(x)为R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x).又f(x+3)=f(1-x)对任意xR恒成立,则f(-x)=f(x+4),即-f(x)=f(x+4),得f(x)=f(x+8),所以函数f(x)的周期为8,因为f(1)=2022,所以在f(x+3)=f(1-x)中,令x=0,得f(3)=f(1)=2022,所以f(45)=f(6×8-3)=f(-3)=-f(3)=-2022.创新应用组11.(2022·广东佛山三模)箕舌线因意大利著名的女数学家玛利亚·阿涅西的深入研究而闻名于世.如图所示,过原点的动直线交定圆x2+y2-ay=0(a>0)于点P,交直线y=a于点Q,过P和Q分别作x轴和y轴的平行线交于点M,则点M的轨迹叫做箕舌线.记箕舌线函数为f(x),设AOQ=,下列说法正确的是()A.f(x)是奇函数B.点M的横坐标为xM=atanC.点M的纵坐标为yM=acos2D.f(x)的值域是(-,1答案:C解析:连接AP,则APOP,圆x2+y2-ay=0(a>0)的标准方程为x2+y-a22=a24,该圆的直径为a,设点Q(x0,a),当点Q不与点A重合时,直线OQ的方程为y=ax0x,联立y=ax0x,x2+y2-ay=0,y0,解得y=a3x02+a2,当点Q与点A重合时,点A的坐标也满足方程y=a3x2+a2,所以f(x)=a3x2+a2,对任意的xR,x2+a2>0,即函数f(x)的定义域为R,因为f(-x)=a3(-x)2+a2=a3x2+a2=f(x),故函数f(x)为偶函数,A错误;当点Q在第一象限时,xQ=xM,因为xQa=tan,此时xQ=xM=atan,B错误;当点Q不与点A重合时,yM=yP>0,因为|OP|=acos,则yM=yP=|OP|cos=acos2,当点Q与点A重合时,点P也与点A重合,此时=0,点P的纵坐标也满足yP=acos2,综上所述,点M的纵坐标为yM=acos2,C正确;对于D选项,因为x2+a2a2,所以f(x)=a3x2+a2(0,a,D错误.故选C.