新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市高级中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题含答案.pdf

公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司乌鲁木齐市高级中学 2023-2024 学年乌鲁木齐市高级中学 2023-2024 学年高三上学期 12 月月考 数学试题高三上学期 12 月月考 数学试题总分 150 分 考试时间 120 分钟总分 150 分 考试时间 120 分钟一、单项选择题（8 小题每题 5 分共 40 分）一、单项选择题（8 小题每题 5 分共 40 分）1已知集合lg(2)Ax yx，2120Bx xx，则AB（）A2,4B3,4C2,3D4,32已知复数2iiz，则z的虚部为（）A2B2iC2D-2i3等边ABC的边长为 3，若2ADDC，BFFD ，则AF （）A192B172C152D1324下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是 A3yxBcosyxCxyeD1yx5若椭圆经过原点，且焦点分别为121,0,3,0,FF则其离心率为A34B23C12D146已知3cos7523，则cos30的值为（）A13B13C23D237“数列na和数列 nb极限都存在”是“数列nnab和数列nnab极限都存在”的（）条件A充分非必要 B必要非充分C充分必要D非充分非必公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司要8我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中提出了一种求三角形面积的方法三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”也就是说，在ABC中，,a b c分别为内角,A B C的对边，那么ABC的面积222222142acbSa c，若2 3b，且3sintan13cosBCB，则ABC面积S的最大值为（）A3 2B3 3C6D3 6二、多选题（共 4 小题每题五分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。）二、多选题（共 4 小题每题五分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。）9新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）A甲同学体温的极差为 0.4B乙同学体温的众数为 36.4，中位数与平均数不相等C乙同学的体温比甲同学的体温稳定D甲同学体温的第 80 百分位数为 36.5公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司10若32x，53y，则下列选项正确的有（）A23x BxyC2xyxyD11xyxy11下列说法中正确的是（）A全称量词命题“x N，2xx”的否定是“x N，2xx”B若函数 f x在其定义域内的最大值为 2，最小值为 0，则 f x的值域是0,2C定义在R上的函数()yf x的图象与 y 轴有且只有一个交点D若 f x是奇函数，则 00f12如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示的六面体，则下列说法正确的是（）A六面体的体积为26B若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为8 6729C折后棱AB，CD所在直线异面且垂直D折后棱AB，CD所在直线相交三、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）三、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.（用数字作答）14已知一圆台的高为 3，下底面面积是上底面面积的 4 倍，若圆台的体积为7，则该圆台的母线长为 公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司15已知43|43|()22xxxxf xm两个不同的零点，则 m 的取值范围是 16已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线2222:1xyCab上，点H在直线xa上，且满足122340HPHFHF .若存在实数使得122112sinsinPFPFOHOPPF FPFF ，则双曲线C的离心率为 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）17已知函数2()cossin3cos32233xxxf x（1）若,2x，求()f x的递增区间和值域；（2）若0043(),524f xx，求点02sin3x18如图，在四面体OABC中，M，N，P，Q 分别为 BC，AC，OA，OB 的中点，若ABOC，求证：PMQN公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司19已知函数 32f xaxbxcxd的两个极值点为1，2，且在0 x 处的切线方程为210 xy(1)求函数 f x的表达式；(2)当1,33x 时，56f xkx恒成立，求实数k的取值范围20已知数列na中，12a，_，其中*nN.(1)求数列na的通项公式：(2)设2nanb，求数列nnab的前n项和nT.从前n项和2nSnn，12nnaa，48a 且122nnnaaa，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.21肥胖已经成为威胁人类身体健康的第二大危险因素，体重指数是判断是否肥胖的标准之一（2=体重体重指数身高，其中，体重单位：公斤，身高单位：米），体重指数超过 24 属于肥胖.为调查青少年的肥胖与性别是否有关，从 17岁的青少年中随机抽取了 50 位进行调查，其中男生 30 人，女生 20 人，这 20位女生的原始数据如表所示：已知，50 人中共有 11 人属于肥胖.公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司编号1234567891011121314151617181920身高/cm159160172160173165164170161170164168158165155170167163165167体重/公斤5255566161524850535051605457655556545885体重指数20.621.518.923.420.319.117.817.320.417.319.021.321.621.927.11920.120.321.330.5(1)补充22列联表，并根据小概率值0.05的独立性检验，能否认为肥胖与性别有关系？是否肥胖性别肥胖不肥胖合计男生30女生20合计50附：22()()()()()n adbcab cd ac bd，其中nabcd.公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司0.0500.0100.00123.8416.63510.828(2)从 11 位肥胖的同学中随机抽取 2 人进行减肥减脂训练，记抽取到的女生人数为 X，求 X 的分布列及均值.22 一个袋子中装有n个红球(5,)nnN和 5 个白球，一次摸奖是从袋中同时摸两个球，两个球颜色不同则为中奖（1）试用n表示一次摸奖就中奖的概率；（2）若5n，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司数 学 答 案：数 学 答 案：1A【分析】求出集合,A B可得AB.【解析】(2,)A，(3,4)B ，故(2,4)AB，故选：A.2A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z，即可得到其共轭复数，从而判断可得；【解析】解：因为22i i2i1 2iiiz，所以12iz ，则z的虚部为2；故选：A3A【分析】取BC中点O，建立直角坐标系，得到15 3,44AF ，再根据模长的坐标公式即可求解.【解析】如图，取BC中点O，建立直角坐标系，则3 3330,0,0222ABC，由2ADDC，若(,)D x y，则2233 3(,)(1,3)3322ADAC，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司所以3 3(,)(1,3)2x y得：31,2D，由BFFD ，若(,)F m n，则115353(,)(,)222244BFBD ，所以353(,)(,)244mn得：13,44F，所以15 3,44AF ，故2215 319442AF .故选：A4D【解析】根据幂函数和指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果.【解析】3yx是奇函数，故 A 排除；xye是非奇非偶函数，C 排除；cosyx是偶函数，但在0,上有增也有减，B 排除，只有 D 正确.故答案为 D.5C【解析】由题意可知：3 11 311,2,222ccaea .本题选择 C 选项.6A【分析】由二倍角公式可求得cos 150的值，结合诱导公式cos 30cos 150即可求得结果.【解析】因为3cos7523，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司所以2231cos 1502cos75121233 ，所以11cos 30cos 180150cos 15033 .故选：A.7C【解析】由题意，分别从充分性与必要性两个部分证明，对于充分性，lim,limnnnnab都存在，证明lim+nnnab与limnnnab存在；对于必要性，lim,limnnnncd都存在，证明lim,limnnnnab存在.【解析】lim,limnnnnab都存在，所以lim+limlimnnnnnnnabab，limlimlimnnnnnnnabab，所以lim+nnnab与limnnnab存在，故充分性成立；记nnncab，nnndab，则12nnnacd，12nnnbcd，由题意，lim,limnnnncd都存在，所以1lim=limlim2nnnnnnacd，1lim=limlim2nnnnnnbcd，所以lim,limnnnnab都存在，故必要性成立，所以“数列na和数列 nb极限都存在”是“数列nnab和数列nnab极限都存在”的充分必要条件.故选：C.8B【分析】利用正弦定理及两角和的正弦公式得3ca，代入“三斜求积”公式，利用二次函数求解最值.公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司【解析】因为3sintan13cosBCB，所以sin3sincos13cosCBCB，所以sin3sin cos3cos sin3sin3sinCCBCBCBA，由正弦定理得3ca，又2 3b，所以222222142acbSa c222442214121132436121084244aaaaa，所以当212a 即2 3a 时，ABC面积S的最大值为11083 34.故选：B9ACD【分析】根据图中数据，依次分析各选项即可得答案.【解析】解：对于 A 选项，甲同学体温的极差为36.636.20.4，故 A 选项正确；对于 B 选项，乙同学体温为36.4,36.3,36.5,36.4,36.4,36.3,36.5，其众数为 36.4，中位数、平均数均为 36.4，故 B 选项错误；对于 C 选项，根据图中数据，甲同学的体温平均数为 36.4，与乙同学的体温平均数相同，但甲同学的体温极差为0.4，大于乙同学的体温极差0.2，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C 选项正确；对于 D 选项，甲同学的体温从小到大排序为36.2,36.2,36.4,36.4,36.5,36.5,36.6，780%5.6，故甲同学体温的第 80 百分位数为 36.5，故 D 选项正确.故选：ACD10ACD【分析】先把指数式化为对数式，求出,x y的值，然后利用对数函数的性质逐个分析判断即可.公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司【解析】由32x，53y得：3log 2x，5log 3y，因为233332log 3log93333log8log 2，所以23x，故 A 正确；335552log 3log27log253y，所以23y，故xy，故 B 不正确；22323222log 511log 3log 52 log 3 log 52 log 32 log 52log 3xyxyxy，所以2xyxy，所以 C 正确；因为,0 x y，所以11xyxy等价于110 xyxy，即110yxxyxyxyxy，因为xy，即0 xy，所以1110 xyxyxy，即1xy，而3335333log 3log 2log 2 log 3log 21log 5log 5xy，所以1xy 成立，所以11xyxy，故 D 正确.故选：ACD.11AC【分析】对于 A 选项，根据全称命题的否定为特称命题即可判断 A 选项正误；对于 B 选项，可以举分段函数的反例即可判断 B 选项的正误；对于 C 选项，可以根据函数的定义进行判断 C 选项的正误；对于 D 选项，可以举 1f xx的反例进行判断 D 选项的正误.【解析】对于 A 选项，已知命题“2N,xxx”的否定为“2N,xxx”，故 A 选项正确；公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司对于 B 选项，若 f x是分段函数，则其值域不一定为0,2；故 B 选项错误；对于 C 选项，因为函数 yf x的定义域为R，故函数在0 x 处一定有意义，根据函数定义，自变量与因变量直接存在一对一或多对一的对应关系，不存在一对多的对应关系，所以函数图像与y轴有且只有一个交点，故 C 选项正确；对于 D 选项，若 1f xx为奇函数，但是 f x在0 x 处无意义，故 D 选项错误.故选：AC12ABD【分析】六面体由两个全等的正四面体组成，算出每个正四面体的高为63，再利用锥体的体积公式即可判断 A；由图形的对称性，小球的体积要达到最大，即球与六面体的每个面都相切时体积达到最大，利用等体积法求得内切球的半径69R，再利用球的体积公式即可判断 B；利用翻折变换规律，折后AB、CD在共底的两个四面体的底面，可判断 C D；【解析】对于 A，六面体由两个全等的正四面体组成，其中每个四面体的棱长为1，取BC的中点 D，连接AD，且ADBC，由正四面体性质知，顶点S在底面的投影在AD上，如图所示，32AD，22333323AOAD，故四面体的高为231363SO，故六面体的体积136223436V，故 A 正确；对于 B，由图形的对称性，小球的体积要达到最大，即球与六面体的每个面都相公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司切时体积达到最大，六面体的每个面的面积是1331 1224S ，连接球心与五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，且每个小棱锥的高都是球的半径R，由等体积法知2136634R，解得69R，所以球的体积334468 6339729VR，故 B 正确；对于 CD，折后AB、CD在共底的两个四面体的底面，则直线AB与CD相交，故C 错误，D 正确；故选：ABD.131080【解析】41345454AC C A1080 1410【分析】先利用题给条件求得圆台的上、下底面半径，进而求得该圆台的母线长.【解析】设圆台的上、下底面半径分别为1r，2r，因为下底面面积是上底面面积的 4 倍，所以21224rr，则212rr，由圆台的高为 3，体积为7，可知2222211 22111113324733rrrrrrr ，解得11r，则22r，如图所示，过 A 作2O B的垂线，垂足为 C，则211O CO A，22O B，221CO BCBO，又3AC，故圆台的母线长2210ABACBC公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司 故答案为：1015(0,3)【分析】由题意43|43|()22xxxxf xm有两个不同的零点可化为方程43|43|22xxxxm有两个不同的解,利用函数图象解答.【解析】因为43|43|()22xxxxf xm有两个不同的零点可化为方程43|43|22xxxxm有两个不同的解，作函数43|43|22xxxxy的图象如下所示，由图可知，m的取值范围为(0,3)故答案为：(0,3)162【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出1243PFPF，再表示出12FF，根据双曲线离心率的定义求解即可.公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司【解析】设直线PH交x轴于点Q，如图，设12PFF的外接圆半径为R，由122112sinsinPFPFOHOPPF FPFF ，有12211222 sin2 sinPFPFOHOPRRPF FRPFF ，故12122PFPFPHRPFPF，所以直线PH过12PFF的内心，设12PFF的内切圆圆心为I，内切圆圆I分别切1PF、2PF、12FF于点M、N、T，由切线长定理可得11FMFT，22F NFT，PMPN，所以，1212122PFPFPMFMPNF NFTF Ta，结合图形可得 22TTTxccxxa，所以，Txa，故12PFF的内心的横坐标为a，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司因为点H在直线xa上，所以点H为12PFF的内心.由122340HPHFHF 可得122340PHPFPHPFPH，所以，12934PHPFPF，记12934777PHPFPF，设123477PGPFPF ，则214377PGPFPFPG ，所以，2134F GGF，所以，点G在直线12FF上，又因为12PHFFQ，故点G与点Q重合，且有12934777PHPFPFPQ ，由角平分线的性质可知点Q到直线1PF、2PF的距离相等，故12112243PFQPF QSPFFQSPFF Q，同理可得1212PHPFPFHQFQF Q，令23PFm，则14PFm，且1212121272PHPFPFPFPFHQFQF QFQF Q，故12122FQF QFFm.则双曲线C的离心率12122243FFcmeaPFPFmm.故答案为：2.17（1）,2 4，值域33,122；（2）0243 3sin310 x.【解析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将()f x化为 23sin332xf x，利用正弦函数的性质可得函数的单调区间和值域.（2）利用两角差的正弦公式可求02sin3x的值.公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司【解析】32()sincos1 cos3323xxxf x23sin332x，由2222332xkk得53344kxk，Zk，又2x，所以()f x的递增区间为,2 4，又2x，故2033x，所以20sin133x，()f x值域为33,122.由02343()sin33252xf x得024sin335x，因04x，所以02233x，故023cos335x 00002222sinsinsincoscossin3333333333xxxx413343 3525210.18证明见解析【分析】欲证PMQN，只要证明0PM QNuuu r uuu r，需将,PM QNuuu r uuu r用其他向量表示后再进行计算【解析】证明：如图，设,OAa OBb OCc 因为 P，M 分别为 OA，BC 的中点，所以111()()222PMOMOPbcabac N，Q 分别为 AC，OB 的中点,则111()()222acbQNONQbOac rrrruuu ruururuu urr所以22111()()(|)224bacbacbacPM QN rrrrrrrruuu r uuru r又因为ABOC，所以bABOCcarruu u ruuu rr公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司所以0PM QNuuu r uuu r，所以PMQN，即PMQN19(1)32112132f xxxx(2)62,227【分析】（1）求 fx，由题意可得10f ，20f，由导数的几何意义可得 02fc，01fd，将2c 代入10f ，20f 中求出,a b的值即可求解；（2）分别讨论0 x，0,3x，1,03x，分别分离参数k，构造函数转化为最值问题即可求解.【解析】（1）由 32f xaxbxcxd可得 232fxaxbxc，则1，2 是方程 2320fxaxbxc=的两根，所以 132021240fabcfabc，（*）因为又因为0 x 处的切线方程为210 xy 故 01fd，02fc 代入（*）式解得13a，12b 故 32112132f xxxx（2）由（1）知：32112132f xxxx，当0 x 时，56f xkx即516恒成立，此时Rk，当0,3x时，由 56f xkx即3211521326xxxkx，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司分离参数k可得：21112326kxxx，设 21112326g xxxx，则 minkg x，23222214121143132666xxxxxgxxxxx，故 g x在,0上单调递减，0,1上单调递减，1,上单调递增，故当0,3x时，g x在0,1上单调递减，1,3上单调递增，所以 g x的最小值为 2min11111231226g xg ，所以2k ，当1,03x 时，由 56f xkx分离参数可得21112326kxxx设 21112326g xxxx，则 maxkg x，由过程知 g x在1,03上单调递减，故 2max1111116221333232763g xg ，所以6227k ，综上所述：k的取值范围为62,227.20(1)2nan(2)24413nnTnn【分析】（1）选，根据na与nS的关系即可得出答案，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司选，根据12nnaa，可得数列na是以 2 为公差的等差数列，从而可得答案；选，根据122nnnaaa，可得数列na是以 2 为公差的等差数列，从而可得答案；（2）利用分组求和法即可求出答案.(1)解：选，当2n 时，221112nnnaSSnnnnn，当1n 时，也成立，所以2nan；选，因为12nnaa，所以12nnaa，所以数列na是以 2 为公差的等差数列，所以2nan；选，因为122nnnaaa，所以数列na是以 2 为公差的等差数列，设公差为d，则4138aad，所以2d，所以2nan；(2)解：选答案相同，2224nannnb，又14nnbb，所以数列 nb是以4为首项，4 为公比的等比数列，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司所以1122nnnTababab 1212nnaaabbb41 42221 4nnn24413nnn.21(1)列联表见解析，不能认为肥胖与性别有关系，(2)见解析【分析】（1）根据题意可填写出22列联表，然后利用公式22()()()()()n adbcab cd ac bd计算2，再根据临界值表判断即可，（2）由题意可得 X 的可能的取值为 0，1，2，然后求出对应的概率，从而可求得 X 的分布列及均值(1)由题意可得是否肥胖性别肥胖不肥胖合计男生92130女生21820公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司合计113950则22()()()()()n adbcab cd ac bd250(2 21 9 18)11 39 20 30 2.7973.841，因为0.05，所以不能认为肥胖与性别有关系，(2)由题意可得 X 的可能的取值为 0，1，2，则29211C36(0)C55P X,1192211C C18(1)C55P X,22211C1(2)C55P X,所以 X 的分布列为X012P36551855155所以361814()01255555511E X 公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司22（1）10()(5,)(5)(4)nP nnnNnn；（2）80243；（3）20n.【解析】（1）一次摸奖从5n个球中任选两个，有25nC种，它们等可能，其中两球不同色有115nC C种，一次摸奖中奖的概率115251054nnnC CnpCnn；（2）根据（1）的结果，即可求出三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有 1 次中奖的概率；（3）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率21323132(01)nnnnnnPCpppppp，知在103，上p为增函数，在1,13上p为减函数，当13p 时p取得最大值，又101543nnn，解得n的值【解析】（1）一次摸奖是从(5)n个球中同时选两个球，有25nC种方法，它们是等可能的，其中两球不同色有115nC C种方法，所以一次摸奖就中奖的概率1152510()(5,)(5)(4)nnC CnP nnnNCnn（2）当5n 时，5(5)9P，由于摸奖是有放回的，因此三次摸奖可看作三次独立重复试验，三次摸奖恰有一次中奖的概率为213548099243C（3）记（1）中的10()(5,)(5)(4)nP ntnnNnn，10(1)1010(4)(1)()0(6)(5)(5)(4)(4)(5)(6)nnnP nP nnnnnnnn，5(1)()(5)9P nP nP，即509t 12323(1)363PCttttt，2()91233(31)(1)F ttttt，在10,3上单调递增，在1 5,3 9上单调递减，公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司当13t 时，P取得最大值由101(5)(4)3ntnn，解得20n 或1n（舍去），当20n 时，三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率P最大