重庆市第八中学2023-2024学年高三上学期适应性月考卷（四）数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司数学数学注意事项：注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效3考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟一、单项选择题（本大题共分钟一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合243AxxxZ，则 A 的子集个数为（）A4B8C16D322若复数 z 满足1 i34iz，则复数 z 的虚部为（）A12B12C1i2D1i23在ABC中，AD为BC边上的中线，2AEED ，则BE （）A5166ABAC B1566ABAC C5166ABAC D1566ABAC 4阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车若阿鑫坐公交车用时 X 和骑自行车用时 Y 都服从正态分布，其密度曲线如图 1 所示，则以下结论错误的是（）图 1AY 的数据较 X 更集中B若有 34min 可用，那么坐公交车不迟到的概率大C若有 38min 可用，那么骑自行车不迟到的概率大D(30)301P XP Y5已知圆221:430Cxyx，圆222:8120Cxyx，下列直线中不能与圆1C，2C同时相切的重庆市第八中学2023-2024学年高三上学期适应性月考卷（四）学科网（北京）股份有限公司是（）A330 xyB330 xyC3580 xyD3580 xy6已知函数 2133xxf xx，则不等式 21fxf x的解集是（）A1,13B1,C1,1,3 D11,3 7 已知函数 sin2cos2f xxax的图象关于点,08对称，若 122f xf x，则21a xx（）A2BC34D548已知正项数列 na的前 n 项积为nT，且224nnnTa，则使得2024nT 的最小正整数 n 的值为（）A4B5C6D7二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9如图 2，已知圆锥的轴截面PAB为正三角形，底面圆 O 的直径为 2E 为线段PB的中点，C 是圆 O 上异于 A，B 的一点，D 为弦AC的中点，则（）图 2APA平面EOCB平面PAC 平面PDOC线段PD长度的取值范围为3,2D三棱锥PABC体积的最大值是2 310设 A，B 是双曲线2214yx 上的两点，下列四个点中可以为线段AB中点的是（）A0,2B1,2C1,1D1,411已知函数 f x及其导函数 fx的部分图像如图 3 所示，则（）学科网（北京）股份有限公司图 3A f x在,a b上有极小值B f x在,a b上有极大值C exg xf x在xa时取极小值D exg xf x在xb时取极小值12在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列现连续发射信号 n 次，每次发射信号“1”的概率均为 p记发射信号“1”的次数为 X，记 X 为奇数的概率为1f，X 为偶数的概率为2f，则下列说法中正确的有（）A当3n，12p时，122P XB12p 时，有12ffC当10n，45p 时，当且仅当8X 时概率最大D102p时，1f随着 n 的增大而增大三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13若扇形的半径为 2，面积为43，则扇形的周长为_14已知数列 na满足111nnnaaa，*nN，若11a ，则数列 na的前 2023 项之和为_15知函数 25lnf xxxax在3,4上存在递增区间，则实数 a 的取值范围为_16已知1F，2F分别是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点，P 点是直线2axc上一动点，当 P 点的纵坐标为2 63a时，12FPF最大，则椭圆 C 的离心率为_四、解答题（共四、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）已知正项等比数列 na的前 n 项和为nS，22nnnaa，*nN，5343SS（1）求数列 na的通项公式；学科网（北京）股份有限公司（2）若(1)nnnban，求 nb的前 25 项和25T18（本小题满分 12 分）在锐角ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cossinsinsincoscosCCBCBC（1）求证：2AC；（2）求ba的取值范围19（本小题满分 12 分）如图 4 甲是由梯形ABCD，BEF组成的一个平面图形，其中ABDC，ADBC，DEAB，1DCAEEF，BFDE如图乙，将其沿DE，EB折起使得EA与EF重合，连接FC，直线FD与平面BEF所成角为 60图 4（1）证明：EFBF；（2）求图乙中二面角EBFC的正弦值20（本小题满分 12 分）已知函数 f x满足 2exf xx（1）讨论 f x的单调性；（2）当0 x 时，1f xax，求 a21（本小题满分 12 分）混凝土的抗压强度 x 较容易测定，而抗剪强度 y 不易测定，工程中希望建立一种能由 x 推算 y 的经验公式，下表列出了现有的 9 对数据，分别为11,x y，22,xy，09,xyx141152168182195204223254277y23.124.227.227.828.731.432.534.836.2以成对数据的抗压强度 x 为横坐标，抗剪强度 y 为纵坐标作出散点图，如图 5 所示学科网（北京）股份有限公司图 5（1）从上表中任选 2 个成对数据，求该样本量为 2 的样本相关系数 r结合 r 值分析，由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的线性相关关系？（2）根据散点图，我们选择两种不同的函数模型作为回归曲线，根据一元线性回归模型及最小二乘法，得到经验回归方程分别为：ybxa，17.8789ln75.2844yx经验回归方程和的残差计算公式分别为iiieybxa，17.8789ln75.2844iiiuyx，1,2,9i（）求91iie；（）经计算得经验回归方程和的残差平方和分别为 92115.0177iiQe，92122.5007iiQu，经验回归方程的决定系数210.9693R，求经验回归方程的决定系数22R附：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy，决定系数221211niiiniiiyyRyy，2.5007 0.03070.015305.017722（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线2:2(0)E xpy p，圆22:(2)1M xyp，F 为抛物线 E 的焦点，过 F作圆 M 的切线，切线长为52（1）求抛物线 E 的方程；（2）已知 A，B，C 是抛物线 E 上的三点，A 不与坐标原点重合，直线AB，AC与圆 M 相交所得的弦长均为 3，直线BC与直线AF垂直，求 A 的坐标学科网（北京）股份有限公司参考答案参考答案1-8 BBAD DCAC 9-12 ABC AD BC BCD13-16 443 1010 12,3317解：（1）设正项等比数列 na的公比 q，则0q，由22nnnaa得22nnnnaqa，则2q（舍负），又5343SS，得53111 21 2431 21 2aa，解得11a，所以12nna（2）由（1）得12(1)nnnbn，则242512251221234232425Tbbb 25251 212252141 218解：（1）因为cossinsinsincoscosCCBCBC，所以coscoscossinsinsinCBCCBC。所以22coscoscossinsinsinBCCBCC，所以22coscossinsinsincosBCBCCC，所以coscos2BCC 因为在ABC中，coscoscos2BCAC ，所以coscos2AC，所以2AC（2）在ABC中，sinsinsin3BACC，sinsin3sincos2sin2cossinsin2sin2bBCCCCCaACC222sin2cos12sincos4sincossin12cos2sincos2sincos2cosCCCCCCCCCCCCC，因为22AC，杀32BC，C 为锐角，故,6 4C，故23cos,22C，令costC，学科网（北京）股份有限公司则112cos22cos2CtCt在23,22t时为单调递增，所以12 2 32,223btat19（1）证明：由图 1 甲，DEAE，可得图乙中DEEF，又DEEB，EBEFE，所以ED 平面BEF则直线FD与平面BEF所成角为60DFE，所以在ADE中，60A，1AE，故有2ADBC，3DEBF在甲中作CHAB，则cos601BHBC，1EHDC，故2BE，1EF，3BF，则有222EFBFBE，即EFBF（2）解：在乙中作FOBE于 O，由（1）知，DE 平面EFB，OF 平面EFB，故DEOF，又因为BEEDE，故FO 平面DEBC，且由（1）知1122EOEF，则可以 O 为坐标原点，OB，OF 的方向分别为 x，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则1,0,02E，30,0,2F，3,0,02B，1,3,02C，(1,3,0)BC ，33,0,22BF ，平面BEF法向量可以记为0,1,0m，设平面BFC的法向量为,nx y z，则有0,30,0330,n BCxyn BFxz 可取3,1,3n，记二面角EBFC的平面角为，则13cos13nmm n，故12 39sin1131320解：（1）因为 2exf xx，e2xfxx令 e2xm xx，则 e2xm x，令,ln2x，0m x，当ln2,x时，0m x，所以 m x在,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增，所以min()ln22 1 ln20m xm，即 0fx恒成立，所以 f x的单调递增区间为,，无单调递减区间学科网（北京）股份有限公司（2）由题意 1f xax 在区间0,上恒成立，即2e1xxax 恒成立，即1exaxxx在区间0,上恒成立，令 1exg xxxx，0,x，只需max()ag x因为 22211 e1ee1xxxxxxgxxxx ，令 1 exh xx，0,x，有 1 e0 xh x ，所以函数 h x在0,上单调递减，所以 00h xh，即1 e0 xx，所以当0,1x时，0gx，当1,x时，0gx，所以函数 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以 max()12eg xg，即2ea，所以实数 a 的取值范围为2e,21解：（1）不妨设选择的成对数据分别为11,x y，22,xy，则2121212121122122222221212121212121122222222iiiiiiixxyyxxyyxyxyxxyyrxxxxyyyyxxyyxxyy121212121212xxyyxxyy又由表格数据得，当12xx时，12yy，则1r 因为任意两个样本点都在一条直线上，则样本量为 2 的样本相关系数绝对值都是 1（在样本相关系数存在的情况下），显然据此推断两个变量完全线性相关是不合理的样本相关系数可以反映变量之间相关的正负性及线性相关的程度，但由于样本数据的随机性，样本相关系数往往不能确切地反映变量之间的相关关系一般来说，样本量越大，根据样本相关系数推新变量之间相关的正负性及线性相关的程度越可靠，而样本量越小，则越不可靠（2）（）991190iiiiieybxaybxa（直线ybxa经过数据的中心,x y）学科网（北京）股份有限公司（）9922211199221111iiiiiiiiiiiyyeRyyyy ，929212111iiiiieyyR，则 99222211219922112.50071111(1 0.9693)0.98475.0177iiiiiiiiiuuRRyye ，2R越大，越接近于 1，则模型的拟合效果越好，因此经验回归方程的拟合效果更好，为最优模型22解：易知0,2Mp，0,2pF，故32pMF 故切线长222949511422plMFp ，解得1p，故抛物线2:2E xy（2）已知 A，B，C 为抛物线上三点，设22,2Aaa，22,2Bbb，22,2Ccc则直线AB：2222222222bayxaaab xabba，圆心 M 到直线AB的距离2221()abdab，直线AB与圆 M 相交所得的弦长为3，故231122d，即222121()abab，即221(22)1()4abab化简得22216130150ababa，同理，22216130150acaca即 b，c 是方程22216130150axaxa的两根，故2301 16abca，故直线BC的斜率2222230221 16BCbcakbcbca，10,2F，且 A 点不与坐标原点重合，故直线AF的斜率221241224AFaakaa，直线BC与直线AF垂直，故1BCAFkk，即22304111 164aaaa，学科网（北京）股份有限公司解得21328a，即 A 点坐标为91 13,714或91 13,714