离散数学离散数学 (2).pdf

4.4 同态与同构4 4.4 4.1 1 基本概念基本概念定义定义设设 和和 是代数系统是代数系统，f:AB,如果如果 f保持运算保持运算，即对即对 x,yA,有有f(x*y)=f(x)f(y)。称称 f为代数系统为代数系统 到到 的同态映射的同态映射，简称同态简称同态。也称之为两代数系统同态也称之为两代数系统同态。4.4 同态与同构4 4.4 4.1 1 基本概念基本概念定义定义设设 和和 是代数系统是代数系统，f 是是 A 到到 B的同态的同态。如果如果 f 是单射的是单射的，称称 f 为为单同态单同态；如果如果 f是满射的是满射的，称称 f 为为满同态满同态；如果如果 f 是双射的是双射的，称称 f为同构映射为同构映射，简称为简称为同构同构。4.4 同态与同构4 4.4 4.1 1 基本概念基本概念定义设设 是代数系统是代数系统，若存在函数若存在函数f:AA,并且并且对对 x,yA,有有 f(x*y)=f(x)*f(y)。称称 f 为为 的自同态；如果的自同态；如果 f 是双射的是双射的，则称则称 f 为为 的自同构的自同构。4.4 同态与同构例：验证下列两个代数系统是同构的。例：验证下列两个代数系统是同构的。d d d c c d d c c c b b c b a a a*b a c d a d b 4.4 同态与同构设设 和和 是代数系统，是代数系统，（1）f:AB,如果如果 f 保持运算，即对保持运算，即对 x,yA,有有f(x*y)=f(x)f(y)。（2）f是双射函数（单射，满射）是双射函数（单射，满射）(1)建立函数f，f(a)=;f(b)=;f(c)=;f(d)=是否满足 f(x*y)=f(x)f(y);f(a*b)=f(b)=f(a)f(b)=;f(a*c)=f(c)=f(a)f(c)=f(a*d)=f(d)=f(a)f(d)=.(2)f是双射函数（单射，满射）是双射函数（单射，满射）由函数的定义可知，由函数的定义可知，f是双射函数。是双射函数。4.4 同态与同构 d d d c c d d c c c b b c b a a a*b a c d a d b 下列两个代数系统还同构吗？下列两个代数系统还同构吗？f(b*c)=f(a)=?f(b)f(c)=运算保持不满足4.4 同态与同构例：验证下列两个代数系统是同态的。例：验证下列两个代数系统是同态的。;e是是B的单位元。的单位元。f:ae ,a A同构吗？同构吗？解：解：f:ae；该函数不是满射的，所以不是同构函数；该函数不是满射的，所以不是同构函数又又f(x*y)=f(z)=ef(x)f(y)=e e=e 所以所以 f(x*y)=f(x)f(y)所以所以f是同态是同态4.4 同态与同构4 4.4 4.2 2 同态同态、同构的性质同构的性质（1）如果两函数是同态如果两函数是同态、同构的同构的，则复合函数也是同态则复合函数也是同态、同构的同构的。定理假设假设 f 是是 到到 的同态的同态，g是是 到到 的同态的同态，则则gf是是 到到 的同态；的同态；如果如果 f 和和 g 是单同态是单同态、满同态满同态、同构时同构时，则则gf也是单也是单同态同态、满同态和同构满同态和同构。注：“”是函数的复合运算4.4 同态与同构4 4.4 4.2 2 同态同态、同构的性质同构的性质（2）满同态保持结合律满同态保持结合律定理假设假设 f 是是 到到 的满同态的满同态。如果如果*运算满足结合律运算满足结合律，则则 运算运算也满足结合律也满足结合律，即即满同态保持结合律满同态保持结合律。定理假设假设 f 是是 到到 的满同态的满同态。如如果果*运算满足结合律运算满足结合律，则则 运算运算也满足结合也满足结合律律，即满同态保持结合律即满同态保持结合律。*满足结合律 x,y,zA;即有x*（y*z）=（x*y）*z也满足结合律，a,b,cB;a (b c)=(a b)cf(x*y)=f(x)f(y)a (b c)=f(x)(f(y)f(z)=f(x)f(y*z)=f(x*(y*z)=f(x*y)*z)=(f(x)f(y)f(z)=(a b)c证明：4.4 同态与同构4 4.4 4.2 2 同态同态、同构的性质同构的性质定理假设假设 f 是是 到到 的满同态的满同态。e 是是 的单位元的单位元，则则 f(e)是是的单位元的单位元。（4）满同态保持单位元满同态保持单位元（3）满同态保持交换律满同态保持交换律4.4 同态与同构4 4.4 4.2 2 同态同态、同构的性质同构的性质定理假设假设 f 是是到到的满同态的满同态。eA和和 eB分别是分别是和和的单位元的单位元，如果如果 A 中元素中元素 x和和 x 互逆互逆，则则 B 中元素中元素 f(x)和和 f(x)也互逆也互逆。（5）满同态保持逆元满同态保持逆元4.4 同态与同构4 4.4 4.2 2 同态同态、同构的性质同构的性质定理假设假设 f 是是 到到 的满同态的满同态。是是 的零元的零元，则则 f()是是的零元的零元。（6）满同态保持零元满同态保持零元4.4 同态与同构4 4.4 4.2 2 同态同态、同构的性质同构的性质定理假设假设 f 是是到到的满同态的满同态。并且并且xA是是的幂等元的幂等元，则则 f(x)B 是是的的幂等元幂等元。（7）满同态保持幂等元满同态保持幂等元4.4 同态与同构4 4.4 4.2 2 同态同态、同构的性质同构的性质定理假设假设 f 是是 到到 的同构映射的同构映射。则则 f-1是是 到到 的同构映射的同构映射。（8）同构映射运算性质双向保持同构映射运算性质双向保持4.5 同余关系与商代数4 4.5 5.1 1 同余关系同余关系定义假设假设 是一个代数系统是一个代数系统，E 是是 A 上的上的等 价 关 系等 价 关 系。如 果 对如 果 对 x1,x2,y1,y2A，当当x1Ex2,y1Ey2时时，必有必有(x1*y1)E(x2*y2)，则称则称 E是是 A 上的同余关系上的同余关系。4.6 直积定义：定义：设设 和和 为两个代数系统，为两个代数系统，称为两代数系统的直积。其中称为两代数系统的直积。其中AB 是是 A 和和 B 的笛卡尔乘积，的笛卡尔乘积，定义如下：定义如下：对任意的对任意的,AB，=4.6 直积定理：定理：假设假设 和和 为两个代数系统，为两个代数系统，且分别有单位元且分别有单位元 eA,eB，在两代数系统的直积，在两代数系统的直积中存在子代数系统中存在子代数系统 S,T，使得，使得 ，。小结1 1、同态和同构、同态和同构2 2、满同态具有、满同态具有“六保持”：结合律，交换律，“六保持”：结合律，交换律，单位元，零元，单位元，零元，幂等元，逆元。幂等元，逆元。3 3、同余关系，直积、同余关系，直积