基于MATLAB的微分方程数值解法_冯元珍.docx
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1、科技信息 计算机与网络 基于 MATLAB的微分方程数值解法 南京人口管理干部学院基础部冯元珍南京医科大学屠小明 L摘要规实生活屮的许多问题都可以通过微分方程的形式进行表示,因此微分方程的求解具有很大的实际意义。本 文介绍了 MATLAB软件在微分方程数值求解屮的应用,并通过一个实际的例子对其具体应用进行了探讨。 咲键词 jMATLAB微分方程数值解法 1引言 微分方程是数学科学联系实际问题的主要桥梁之一,它是含有未知函数及其导数的方程。如果未知函数的自变量是一个, 称为常微分方程 ( Ordinary Differential Equations, ODE);自变量多于一个,称为偏微分方程
2、( Partial Differential Equations, PDE)。 在科学研究和工程计算中碰到的许多微分方程,根本不存在解析解,或者求解析解的代价很大,求解过程 过于复杂,在这种情况下,我们只能借助于数值计算来求方程的数值解。 2常用的微分方程数值解法 常微分方程的求解问题大体上可以分为:初值问题和边值问题。相比较而言,求解边值问题的难度更大一些,必须根据 问题所在的背景和方程特征,具体问题具体解决。对于初值问题 ,常用的解法冇:欧拉方法,泰勒级数展开方法,龙格 -库塔 方法,外推方法等;边值问题的常用解法有:打靶法,有限差分方法,配置法等。对于偏微分方程,数值算法的实施也必须根
3、据方程的类型特征来进行选取,常用的方法有:半离散方法,全离散方法,有限差分方法等等 m。上述所有求解微分方程的数 值解法本质上都是通过一定的迭代过程来求解方程的可以接受的解。 对于工程中碰到的实际问题,直接采用上述方法求解的工作量通常都比较大,计算难度也很大。应用数学软件求解可以 在很大程度上提高计算效率 ,节约计算时间。关于微分方程的数值解法, 目前有许多比较成熟的数学软件,如 :MATLAB, 0DEPACK, NETLIB等。下面我们仅就 MALAB在微分方程数值解法方面的应用进行介绍。 3 MATLAB软件在微分方程数值求解中的应用 MATLAB是 MATRIX LABORATORY的
4、缩写,具有强大的科学计算、图形显示和程序设计功能。该软件提供了求解广义微分方 程初值和边值问题的完整的指令。 对于常微分方程初值问题, MATLAB提供了诸如 ode23, ode45, ode23t, odl5s, ode23tb等指令 t21。 其中 ode23和 ode45 分别采用普通 2-3阶 Runge-Kutta法和 4-5阶 Runge-Kutta法来求解常微分方程的初值问题,后面的几个指令分别用梯形法 求解适度刚性常微分方程,变阶法和低阶法求解刚性常微分方程。 de45因为计算精度相对较高而成为大多数场合的优先选择 算法。 MATLAB软件在求解常微分方程初值问题吋,对上述命
5、令采用了相同的格式。求解 ODE初值问题比较完整的调川格式如 下: /, Y, Te, Ye, Ie = solver ( fun, tspcin, Y 0, options, p, p2, ) (l) 其中 xo/ver是上述用来求解微分方程的指令,如 de23等, /im是需要求解的函数文件名 , /5/7CW是方程求解对应的吋间 区间,F0以向量的形式存放问题的初始值, ;?/似用来设置算法的参数, pi,是向调用函数 /训传递的参数, /是 求得数值解对应自变量的数据列向量, 1T是以矩阵的形式对应存放每个计算时刻的数值解。另外三个输出宗量是在设置 op/bm的亊件属性以后对应的输出。
6、公式 ( 1)在使用时对应的参数相对较多,调用比较繁琐,在对算法的采 ;0和计钉的精 度不做特殊耍求时,通常会采爪下列简化公式: 413 科技信息 计算机与网络 /, Y = solver funjspan, 70) (2) 与式 ( 1)相比,式 ( 2)缺失的参数在实际计算时都采用系统默认的参数。 对于 ODE的边值问题,在假定解唯一的前提下, MATLAB提供了一个求解函数 bvp4c, 求得解的相对精度比较均匀。在应 用 MATLAB求解 ODE边值问题时,首先需要把待解的问题转化为标准的边值问题,即将边界条件写成形如: 0 的形式,然后再为期望解指定一个初始猜测。相关指令为 : we
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