微分中值定理在中学数学中的应用_党炳新.docx
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1、 分类号 _ 学校代码 10477 密级 _ 学 号 20102306012 硕士学位论文 徽 分 中 值 走 理 在 中 学 教 学 中 的 应 用 学位申请人姓名: 申 请 学 位 学 生 类 别 : 申 请 学 位 学 科 门 类 : 申 请 学 位 学 科 专 业 : 导师姓名、职称: 所 属 院( 系 、所 ): 完成 日期: _ 竞 柄 新 _ _ 教育项士 _ _ 教育学 _ 学科教学 r教学 ) 陶 有 德 教 梭 敫学与信息科学学晚 2014年 3月 Differential Mean ValueTheorem in Middle School Mathematics A T
2、hesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirement For the M.A. Degree in Education By Dang bingxin Postgraduate Program College of mathematics and Information Science Xinyang Normal University Supervisor: Tao youde Academic Title: Professor Signature Approved March. 2014 独 创 性 声 明 本人声明,所呈交的论
3、文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的硏究成果,也不包含为获得信阳 师范学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本硏究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 签 名 : 日 期 : 今年了月 /r曰 学位论文使用授权书 本人完全了解信阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定,即学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许 论文被查阅和借阅。本人授权信阳师范学院可以将本学位论文的全部内 容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或
4、其他复制手段保存 或汇编本学位论文。同时授权经信阳师范学院认可的国家有关机构或论 文数据 库使用或收录本学位论文,并向社会公众提供信息服务。 (保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生(签名 : 师(签名 ) 微分学中的一个基本定理微分中值定理在函数及其导函数之间起到了非常关 键作用 .本论文首先整理叙述了微分中值定理的发展历史,介绍了三种常见的中值 定理并对它们进行了辨析;其次总结概括了微分中值定理的不同种证明方法以及它 们的推广形式;再次用大量的实际例子给出了微分中值定理在解决不同问题时相应 的应用;最后结合中学数学的教学实践归纳了中值定理在中学阶段的应用 . 关键词:中值定理:区间套;应
5、片 j;辅助函数;数学教学 Abstract Differential mean value theorem, as basic theorem of differential calculus, plays a vital role between function and its derivatives. In this paper, we firstly describe the historical development of the differential mean value theorem, and introduce three kinds of common mean v
6、alue theorems such as Rolle mean value theorem, Lagrange mean value theorem and Cauchy mean value theorem,and those theorems are discussed. Secondly, some different proof methods and generalizations of those differential mean value theorems are summarized.Thirdly,a large number of examples are given
7、 for specific application of the differential mean value theorems in solving different problems; At last, some applications of mean value theorem are summed up by combining the mathematics teaching practice in Senior High school. Keywords: Differential mean value theorem; nested sequence of interval
8、s; application; auxiliary function; mathematical education 目录 jlj . I Abstract .II 第一章绪论 . 1 1.1研究背景 . 1 1.2 要 1 容 . 2 第二章微分中指定理的发展历史 . 3 2.1微分中值定理的历史 . 3 2.2微分中值定理的相互关系 . 7 2.2.1微分中值定理 . 7 2.2.2微分中值定理的相互联系 . 9 第三章微分中值定理的推广 . 12 3.1罗尔中值定理 . 12 3.1.1罗尔中值定理的证明 . 12 3.1.2罗尔中值定理的推广 . 12 3.2拉格朗円中值定理 . 14
9、 3.2.1拉格朗 FI中值定理的证明 . 14 3.2.2拉格朗 FI中值定理的推广 . 16 3.3柯西中值定理 . 17 3.3.1柯西中值定理的证明 . 17 3.3.2柯西中值定理的推广 . 17 第四章微分中值定理的一般应用 . 19 4.1利用微分中值定理求极限 . 19 4.2利用微分中值定理证明等式 . . . : . 22 4.3利用微分中值定理证明不等式 . 25 第五章微分中值定理在中学数学中的应用 . 28 5.1利用中值定理求斜率和轨迹方程 . 28 5.2利用中值定理求最值 . 30 5.3利用中值定理证明不等式 . 30 5.4利用中值定理证明根的唯一性 . 3
10、1 总结与展望 . 33 B M . 34 参考文献 . 35 HI 信 m师范学院硕十 7: 位论文 第一章绪论 微分中值定理开始成为微分学非常重要的一部分是从柯西幵始的,并且它在柯 西的微积分理论体系中发挥着举足轻重的作用 ,比如说他用中值定理给出了洛必达 法则的严格证明,泰勒公式的余项也是通过微分中值定理给出的,它也成为研究函数 性态的重要途径 . 1.1研究背景 微分中值定理是数学中比较经典的理论,国内外研究工作者主要注重于这一理 论的应用 .如 1992年 ,G.PAglya42W究了微分中值定理在齐次线性微分方程方面的应 用 ,并得到了许多有意义的结果 .2003年 ,T.M.Ra
11、ssias和 Young-Ho Kim43证明了某些 新的高斯型函数方程的中值特征 .2005年,刘文武 44对拉氏定理与柯西中值定理的证 明中关于作辅助函数的思想进行探究,并给出两种求函数的方法 .2009年,尹龙国 45 借用 Rolle定理和待定系数法给出了微分中值定理的证明,并介绍了用中值定理来解 决实际问题 .2010年,罗春玲 46讨论了罗尔中值定理和柯西中值定理在解题应用中辅 助函数的构造,并且对拉氏定理在求函数极限、不等式证明等方面的应用做出了全面 的解析 .2011年,李阳等 47探究了微分中值定理(罗尔定理、拉氏定理、柯西定理 ) 的推广延伸形式,并给以证明和运用 .201
12、2年,辛春元 48结合实际着重论述了中值定 理在微积分解题中的实际应用 .刘晓波 49多角度对微分中值定理加以证明,揭示了 它们的几何物理意义,并给出一些推 广和应用 . 就目前的研究情况来看 ,讨论微分中值定理的相互关系的文章甚少 .另外,研究 微分中值定理的不同证明方法以及推广也有一定的理论意义 .在解决具体实例方面 , 如解等式、不等式和极限问题,缺少较为系统的总结 .在教学方面,中值定理的研究主 要侧重于高等数学,但在初等数学教学中也比较少见 . 1.2主要内容 信 m师范学院硕十学位论文 本文的组织结构如下:本章下一节先介绍了微分屮指定理的发展历史再以罗尔 中值定理为前提 ,通过对中
13、值定理内容和证明的研究,探讨了中值定理之间的相互关 系 .第三章主要应用构造函数法、行列式理论以及区间套定理对微分中值定理再证明 , 并对这些理论做了深入的推广 .第四章探讨了微分中值定理在求极限、证明等式、不 等式方面的具体应用 .第五章考虑了微分中值定理在中学数学教学中的应用 ,从而为 中学数学教学提供了新思路,也体现了高等数学对初等数学的指导作用 . 佶 m师范学院颐十学位论文 第二章微分中指定理的发展历史 2.1微分中值定理的历史 微分中值定理在求极限 ,确定方程根的存在性、说明函数的性质、证明不等式以 及求近似值等多类问题中中有着明确的运动学和儿何学意义 . 古希腊时期,数学家们在研
14、究几何时得出拉格朗 n定理的特例即: “ 过抛物线顶 点且与抛物线相切的直线与该曲线弓形的底平行阿基米德(阿基米德 .公元前 287_1674年)正是借助这一结论求出了抛物线围成图形的面积 . 几何形式的中值定理最初是由著名数学家卡瓦列里 ( Cavalieri, 1598-1674)在解 决平面图形和三维图形的切线的引理 3 (不可分量几何学卷一)中推出的,也就 是卡 瓦列里定理,定理的内容为: “ 曲线上必须有一点的切线平行于该切线的弦 ” 最初形式的费马定理被人们称作微分中值定理的第一定理,是由法国著名数学 家费马 ( Fermat,1601-1665 )在探索极大值和极小值问题的解决办
15、法时总结出来的, 即虚拟等式法,由此可见对微分中值定理的研究始于微积分创建之初 . 虚拟等式法:数学语言来叙述就是对丁 函数 /(x),令 z x + e,当 /取极值 时 ,/(x + e) - / ) 0,则 /(x + g)_/(x) = ,再令 e _ ,就得到函数在极值点的导数值 e 为 0 ,即当函数 /(X)在 X =力取极值,并且可导时有尸 ( ) = 0这被称作是费马定理 . 在微积分创立之初,还没有明确极值、导数、连续的概念,用当今的视角来看费 马给出的以上结论,是非常不严格的,如今看到的费马定理是后人按照微积分理论和 费马发现的实质重新给出的 . 1691年,罗尔用纯代数
16、的方法在方程的解法中证明了最初形式的罗尔定理 a0xn +aixnx + hf+ = 0的相邻根中,方程如。 ; +(n-l)alx_2 H - =0 至 少存在一个实根,它与现代的的罗尔定理在内容以及证明方法上都非常不同,在现代 的的教材上把它称作是罗尔定理的特例 . 信 m师范学院硕十孕位论文 “ 罗尔定理 ” 这一称呼首次正式出现在人们面前是在 1846年意大利数学家发 表的论文中 .今天看到的罗尔定理是基于现代的微积分理论加以证明得到的 ,并在一 般函数中推广应用 . “ 拉格朗 FI中值定理 ” 最早出现在解析函数论中,它最开始的形式是 “ 若 .广 W 的值最大是木最小是 B且 /
17、M在上连续,则有必为 d和 5之间 的一个值 ” ,因此拉氏定理也 成为中值定理中比较重要的定理;相比之下,现代的拉 格朗闩定理要更完善,它指的是: “/00 在上连续, ( a,6)可导,则必定存在 Ce(a,b)M-fibf- = r(C) ” ba 解析函数论中对于拉格朗 R定理的推理证明在历史上比其它的方法都要早 , 历史上对于它的证明一共有三种但是这个证明是基于一种直观的论证,不是很严格 . 证明中,拉格朗円从 /(Z+/) = /(Z) + (T+ /+ 出发,证明了如下结论 : “ z e卜 ,若 f(z) 0, 则 / -/ 0, 由此给出了辅助函数厂 (z) = zfflZ(
18、z),当 z e , JV 0 ,则有 / -/0 由 F(z) =, Z ,故 fz) = zM-Fz): 利用反微分法, /(z)=三一 M _F(Z),分别取 z = 和 z =6,得到如下不等式 m + l Fb)Fa) N(bn,+l-an+l) m + l 信 m师范学院硕十学位论文 故有 Nbm+ -a+l) m + 1 0,/(z)在 a,6上单调增加 最早的拉格朗 FI中值定理中函数 /(为必须在上可导且要有连续的导函数 , 还要求用到的连续的概念是直观的,即 “ 假设变量的变化是连续的,该函数就会随着 变化 ,但是如果不经过每一个中间值的话,从一个值变为另一个值是不可能实现
19、的 ” . 由此可见 ,最初的拉格朗 R定理用到的条件比现在苛刻多了,现代中值定理只要 求 /(x)在上可导 . 十九世纪早期,人们不仅仅提出了极限,连续,导数的严格定义,以柯西为代表的 人们还给出了拉格朗円定理以新的严谨的证明,如柯西就用下面的方法给出了证明: “ 若 /(x)在 a,6上连续,则必存在 ( e卜糾,使 /() = b a 作为这个证明的前提,柯西先证明了 : “ 实数, 和 保 持 同 号 , (n 1)且 /!个实数 f, , , 的最大值为客,最小值为 R .则 ? H上 必为 R b b b b + b +b + 和 g中间的一个值 由新导数定义 lim Ax , 取
20、 5和 s为任意小的正数, |/| 0时, /(x)在 xQ,x单调递增,有 /(x) /(xQ) ” 也就是从导数 6 信 m师范 T院硕 i:学位论文 V lim全的 I丨 :负怠义出发,因此可设 F( A-) 0,1 L F(x。) = /(X。 ) = 0 . 设的最大 -、 v Ax F(x) 值最小值分别 /(X) - fiF(x)为 j和 S,柯西证明了: f(x) - AFx) 0 , fx) - BF(x) )上可导 . 信 m师范卞院硕丨 :学位论文 则 :个 :少存在一点 C e ( ) ,使得 . b-a 证明:构造 -辅助函数 Fx) = fx)-fa)-.例 (x-
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