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1、经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型2.1 2.1 边际及弹性分析边际及弹性分析一、边际的概念一、边际的概念 在经济学中,在经济学中,如果一个经济指标如果一个经济指标 y是另一个经济指标是另一个经济指标 x 的函数的函数y=f (x), , 当自变量当自变量x在在x0处处有有一个单位一个单位的的改变量时改变量时,所对应的函数,所对应的函数y y的的改变量称为该函数所表示的经济指标改变量称为该函数所表示的经济指标在在x0处的处的边际量边际量。 例如例如:生产要素:生产要素( (自变量自变量) )增加一单位,产量增加一单位,产量( (因变量因变量) )的的增量为增量为2 2个单位,因变
2、量改变的个单位,因变量改变的2 2个单位就是边际产量个单位就是边际产量. . 边际分析法就是分析自变量变动边际分析法就是分析自变量变动1 1单位时,因变量单位时,因变量会变动多少的方法会变动多少的方法. . 经济数学模型经济数学模型用数学方法描述边际概念 设函数设函数f(x)f(x)可导可导. . 根据导数的定义,有根据导数的定义,有 0( )lim.xyfxx 当 |x很小时,有 ( ).yfxx于是()( )( ).yf xxf xfxx 特别地,当 1x 时,有 ( ) 1( ).yfxfx 当自变量增加当自变量增加1 1单位时,函数的增量近似地等于其导数值单位时,函数的增量近似地等于其
3、导数值. . 定义定义 把函数把函数 )(xfy的导数的导数 )(x f称为称为边际函数边际函数经济数学模型经济数学模型1边际成本边际成本总成本函数 )(xCC (x为产量)的导数 ),(xC称为产量为 x 单位时的边际成本边际成本 边际成本 )(xC表示当产量为x时,再生产1个单 位产品时总成本将改变 )(xC个单位 2边际收益边际收益总收益函数 )(xRR (x为产量)的导数 ),(xR称为产量为x单位时的边际收益边际收益 边际收益 )(xR表示当产量为x时,再生产1个单 位产品,总收益将改变 )(xR个单位 经济数学模型经济数学模型3边际利润边际利润总利润函数 )(xLL (x为产量)的
4、导数 ),(x L称 为产量为x单位时的边际利润边际利润 边际利润 )(x L表示当产量为x时,再生产1个单位 产品,总利润将改变 )(x L单位 最大利润原理最大利润原理 当边际收入等于边际成本且边际收入的变化率小于边际成本的变化率时,利润最大。条件:唯一驻点条件:唯一驻点C(x)R(x)xL)(经济数学模型经济数学模型4边际需求边际需求需求函数 )(pQd(p为价格)的导数 ),( p称 为价格为p单位时的边际需求边际需求 边际需求 )( p表示当价格为p时,价格再上涨1 个单位,需求量将改变 )( p个单位 5边际供给边际供给供给函数 )(pQs(p为价格)的导数 ),( p称 为价格为
5、p单位时的边际需求边际需求 边际需求 表示当价格为p时,价格再上涨1 个单位,需求量将改变 )( p个单位 )( p经济数学模型经济数学模型例例 设生产某种产品的总成本为 , x.xC11300)(总收益为 ,x.xxR200305)(试求: (1)边际成本、边际收入和边际利润函数. (2)当产量为600及700个单位时的边际利润, 并 说明其经济意义. (3)求利润最大的产量。 经济数学模型经济数学模型解解 (1) ; 11)11300()(.x.xC;00605)00305()(2x.x.xxR.x.xCxRxL006093)()()((2) .L30600006093)600(.L307
6、00006093)700((3)令 ()0Lx,650 x.得这时,有这时,有(650)(650)1.1.CR经济意义:当产量为经济意义:当产量为600600时,再增加单位产量会使利时,再增加单位产量会使利润增加润增加0.3,0.3,当产量为当产量为700700时,再增加单位产量会使利时,再增加单位产量会使利润减少润减少0.30.3经济数学模型经济数学模型二、弹性分析二、弹性分析 1、弹性的概念 设函数 )(xfy 可导,函数 )(xf在点 x 处的 增量为 ),()(xfxxfy自变量的增量为 , x则比 值 称为在点 x 处自变量 x 的相对改变量. 称比值 为函 数 y 的相对改变量。
7、xx0,x 当时两个相对改变量之 比的极限0lim( ).( )xyxyfxxf xx 称为函数 )(xfy 在点 x 处的弹性弹性,记作记作 ,ExEy即 )()(xfxfxExEyyy经济数学模型经济数学模型弹性经济意义为:弹性经济意义为:当自变量变化1%时,函数变化的百 分数为 %.EyEx注意注意 弹性研究的是相对变化率因此,弹性没有 量纲 000000/)(/)()(/)(/xxxfxfxxfxxxfy为函数在区间 上的弧弹性。 00(,)x xx称经济数学模型经济数学模型2 2需求价格弹性需求价格弹性设需求函数为 )(pQQ(p为价格),则需求价格弹性 为 =( ).( )EQpQ
8、 pEpQ p它表示在价格为p的水平上,当价格改变1%时,需求量 变化的百分数根据需求弹性值的大小,需求价格弹性可以划分为经济数学模型经济数学模型(1 1)缺乏弹性:)缺乏弹性:01 (2 2)富有弹性:)富有弹性:1 (3 3)单位弹性:)单位弹性:1价格变动的比率 = 需求量变动的比率。 例如运输业、煤气等。 需求量变动的比率小于价格变动的比率。需求量对于价格变动反应不敏感。例如生活必需品(粮食、蔬菜),需求曲线陡峭。 需求量变动的比率大于价格变动的比率。需求量对于价格变动反应敏感。例如奢侈品,需求曲线较平坦。QPQPPQ经济数学模型经济数学模型(5)完全无弹性:)完全无弹性:0价格无论如
9、何变动,需求量都不价格无论如何变动,需求量都不会变动。会变动。(急救药、火葬场、糖尿病人对胰岛素的需求)PQ(4)完全有弹性)完全有弹性: PQ在既定价格之下,需求量可以任意变动(如银行以固定价格收购黄金)经济数学模型经济数学模型实例 弹性在航空公司中的应用 美国航空公司认为,弄清乘客的需求弹性相当于每年可带来美国航空公司认为,弄清乘客的需求弹性相当于每年可带来数十亿美元的收益。理想的情况下,航空公司希望向商务人员数十亿美元的收益。理想的情况下,航空公司希望向商务人员要求尽可能高的票价,而向闲适的游客提供足够低的票价以填要求尽可能高的票价,而向闲适的游客提供足够低的票价以填补飞机上的空座。这是
10、航空公司为增加总收益,追求利润最大补飞机上的空座。这是航空公司为增加总收益,追求利润最大化所希望采取的措施。为此他们要解决如何识别两种不同类型化所希望采取的措施。为此他们要解决如何识别两种不同类型的乘客问题。航空公司通过对不同乘客实行的乘客问题。航空公司通过对不同乘客实行“价格歧视价格歧视”的措的措施解决了这个难题。航空公司通常会对事先计划并希望选择低施解决了这个难题。航空公司通常会对事先计划并希望选择低价时机的游客提供折扣。同时,航空公司也许会要求乘客等到价时机的游客提供折扣。同时,航空公司也许会要求乘客等到周六晚上以后才能拿到打折的机票,这一条规定使得急于回家周六晚上以后才能拿到打折的机票
11、,这一条规定使得急于回家度周末的商务人员望而却步。另外最后的时刻通常不提供折扣,度周末的商务人员望而却步。另外最后的时刻通常不提供折扣,因为商务往来事先并无计划,而是为了处理意外的危机因为商务往来事先并无计划,而是为了处理意外的危机这这是另外一种缺乏弹性的情况。航空公司已经设计出极其复杂的是另外一种缺乏弹性的情况。航空公司已经设计出极其复杂的计算机程序来管理机票的销售,从而确保缺乏弹性的乘客无法计算机程序来管理机票的销售,从而确保缺乏弹性的乘客无法从折扣中获益。因此,尽管用有预算约束的旅客填补空位,他从折扣中获益。因此,尽管用有预算约束的旅客填补空位,他们仍然有利可图。们仍然有利可图。经济数学
12、模型经济数学模型3、需求弹性、总收入与价格之间的关系Rp QpQ(1)QppQp Q(1)RQp总收入的变动量近似为RPQ总收入函数为p若价格有微小的变化 ,则收入函数的改变量为R()pp QQpQ()pQp QpQ 经济数学模型经济数学模型4、需求的收入弹性设需求关于收入函数为设需求关于收入函数为 ,其中,其中 M M 表示消费者的表示消费者的收入收入 ()ddQQM需求收入弹性的计算公式为dMddQMEdMQ0ME1ME1ME0ME若需求收入弹性 ,则称这样的商品为正常商品,其中若 ,认为是缺乏弹性的,例如生活必需品;若 ,则为是富有弹性的,例如奢侈品或高档商品。若需求收入弹性 ,则认为该
13、商品是低档或劣质产品,即吉芬(Giffen)商品。经济数学模型经济数学模型均衡价格均衡价格 是市场上供需量相等时的价格,这时的是市场上供需量相等时的价格,这时的供需量叫做均衡商品量。供需量叫做均衡商品量。eP)(sdQQkdtdP解这个模型就得到价格和时间的关系。解这个模型就得到价格和时间的关系。 一般来说价格一般来说价格P P 随时间随时间t t 波动波动 , 的涨速的涨速与过剩需求与过剩需求 成正比,故有数学模型成正比,故有数学模型 sdQQ )(tPP )(tP2.3 2.3 均衡价格均衡价格若若 的表达式是线性的:的表达式是线性的:,dsQ Q( ) , ( )dsQ ppQ pa b
14、p 00b,经济数学模型经济数学模型其通解为其通解为( )teP tceP从而lim( )etP tP这说明价格虽是波动的,但随着时间的推移,最后这说明价格虽是波动的,但随着时间的推移,最后趋于均衡价格。趋于均衡价格。edPPPdt则问题简化为则问题简化为()0kb可得供求平衡时的价格为可得供求平衡时的价格为eapb 经济数学模型经济数学模型若需求是一个常数若需求是一个常数 ,供给也是一个常数,供给也是一个常数 ,且供不应,且供不应求:求: ,则,则dsQQ()dsdPk QQkdt( )+ P tk t c其通解为其通解为从而lim( )tP t dQsQdsQQ此时即为通货膨胀。控制通货膨
15、胀的关键是降低消费资此时即为通货膨胀。控制通货膨胀的关键是降低消费资金的投放和增加商品的供应量。金的投放和增加商品的供应量。经济数学模型经济数学模型总利润为总利润为 2 ( ) ( )( )( )( ) ()()()() ()()dssdL pRCQp pQp qr QpQpp pabp qr abppbqr bpraaq R( )dQpp( )( )( )ssdCQpqr QpQp ()()sdQpQp如果企业生产的产品不脱销,并认为商品需求量如果企业生产的产品不脱销,并认为商品需求量即为销售量即为销售量,供给量即为生产量。此时发生的商品库存量为供给量即为生产量。此时发生的商品库存量为 设企
16、业生产和设企业生产和库库存单位商品的成本分别为存单位商品的成本分别为q q和和r.r.若若需求和供给需求和供给函函数数都为线性函数:都为线性函数: ,收入函数和收入函数和成本函数分别为成本函数分别为( ) , ( )dsQ ppQ pa bp 经济数学模型经济数学模型eappbsdQQ由于商品不脱销,所以由于商品不脱销,所以 ,由,由此,)ep 最优价格问题转化为求函数最优价格问题转化为求函数L(pL(p)在区间)在区间 上的上的最大值问题。最大值问题。0()2bqr bpL(p)L(p)的唯一驻点为的唯一驻点为不难证明不难证明p p0 0是是L(p)L(p)的最大值,所以当的最大值,所以当
17、,最优价格,最优价格为为 , 当当 ,最优价格为,最优价格为 ,综上,最优价格为,综上,最优价格为0epp0pep0epp*0max,eppp经济数学模型经济数学模型1 1、以二元函数为例说明拉格朗日乘子的经济意义、以二元函数为例说明拉格朗日乘子的经济意义 设设 是目标函数,是目标函数, 是影响目标函数中两是影响目标函数中两个因素的约束条件,在此约束条件下,求目标函数个因素的约束条件,在此约束条件下,求目标函数 的最值问题。的最值问题。 ),(yxfz Cyx),(),(yxfz ( , , )( , )( , )L x yf x yCx y拉格朗日函数为拉格朗日函数为经济数学模型经济数学模型
18、000LxLyL若将若将C C 看作变量看作变量 ,解出最优解,解出最优解, , xy)(),(),(CyyCxxC的最值 也可视为 的函数 ( , )zf x yzC( ),( )zf x Cy C(1)( , )0fxxfyyx yC令经济数学模型经济数学模型对 求导 zC(2)dzf dxf dydCx dCy dC将方程组将方程组(1)(1)中前两式代入中前两式代入(2)(2)式中式中 *3dzdxdydCx dCy dC( )( , )x yCC对两边对 求导1dCdyydCdxx经济数学模型经济数学模型 随目标函数、约束条件的经济意义和度量随目标函数、约束条件的经济意义和度量单位不
19、同而有不同的经济解释。单位不同而有不同的经济解释。 拉格朗日乘子 是目标函数最值 对约束条件之常数 的变化率或边际值。 zC dzdC若总成本限定为若总成本限定为 ,两种原料投入为,两种原料投入为x、y,为为 目标是使总产量目标是使总产量 最大,则最大,则 是在最优投是在最优投入水平时的边际产量。入水平时的边际产量。 C( , )x yC( , )zf x y经济数学模型经济数学模型多变量多约束下拉格朗日乘子的经济意义多变量多约束下拉格朗日乘子的经济意义研究有研究有m m个等式约束:个等式约束:12( ,)1,2,inix xxCim函数函数12(,)nf x xx的极值问题的极值问题 121
20、21(,)(,)mniiiniLf x xxCx xx构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数 同样称同样称 为拉格朗日乘数为拉格朗日乘数 1,2,iim()经济数学模型经济数学模型* , 1,2,iifimC12(,)nf x xx 拉格朗日乘数拉格朗日乘数 是函数是函数 的条件极值的条件极值*12(,)nfxxxiC对约束常数对约束常数的一阶偏导数,即的一阶偏导数,即 其经济意义随目标函数、约束条件的经济意义和度其经济意义随目标函数、约束条件的经济意义和度量单位不同而有不同的解释。量单位不同而有不同的解释。类似于二元函数,有如下结论经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型1 1)、两个寡头
21、厂商生产的产品是同质或无差别的;)、两个寡头厂商生产的产品是同质或无差别的;2 2)、每个厂商都根据对手的策略采取行动,并假定)、每个厂商都根据对手的策略采取行动,并假定 对手也这样做,据此来做出自己的决策;对手也这样做,据此来做出自己的决策;3 3)、为方便,假定每个厂商的边际成本为常数,)、为方便,假定每个厂商的边际成本为常数, 市场的需求函数是线性的;市场的需求函数是线性的;4 4)、两个厂商都通过调整产量来实现各自利润的最大;)、两个厂商都通过调整产量来实现各自利润的最大;5 5)、两个厂商不存在任何正式的或非正式的串谋行为。)、两个厂商不存在任何正式的或非正式的串谋行为。 2 2、古
22、诺模型中两个寡头行为的假定、古诺模型中两个寡头行为的假定经济数学模型经济数学模型 参与者集合:参与者集合: i i=1,2=1,2, 1 1为厂商为厂商A A,2 2为厂商为厂商B B市场需求函数:市场需求函数: 2 , 1 0, ) ()(21iacbaqqbabQaQppi)( ,Qq , qqq , Q,qq0,212121决策变量:决策变量:() 1,2iiiic qc qi成本函数:成本函数:12( ,)( )( )() 1,2iijiiiiiq qq p Qc qq ab qqci利润函数:利润函数:3 3、建立模型、建立模型古诺均衡古诺均衡: :古诺均衡是指这样一对产量的组合古诺
23、均衡是指这样一对产量的组合 ,在这,在这个产量水平上没有企业认为可通过增加或减少产量而提高自个产量水平上没有企业认为可通过增加或减少产量而提高自己的利润,产出的组合除了古诺均衡外,不可能再达到均衡。己的利润,产出的组合除了古诺均衡外,不可能再达到均衡。*12qq、经济数学模型经济数学模型*11211211 max( ,)() q qq ab qqcq厂商厂商A A的均衡产量的均衡产量*21221212 max(,)() q qq ab qqcq厂商厂商B B的均衡产量的均衡产量*112=()qR q厂商厂商A A的反应函数的反应函数*221=()qR q厂商厂商B B的反应函数的反应函数厂商选
24、择的应是均衡产量厂商选择的应是均衡产量*112112(,)(,)q qq q*212212(,)(,)qqqq经济数学模型经济数学模型11212122(,)0(,)= 0qqqqqq(,)qq1211211221222020acbqbqqacbqbqq即即古诺均衡产量使两个企业都达到利润最大化,故古诺均衡古诺均衡产量使两个企业都达到利润最大化,故古诺均衡点既在企业点既在企业A A的反应函数曲线上又在企业的反应函数曲线上又在企业B B的反应函数曲线的反应函数曲线上,两条企业反应函数曲线的交点就是古诺均衡点。上,两条企业反应函数曲线的交点就是古诺均衡点。 经济数学模型经济数学模型21112=()2
25、abqcqR qb12221=()2abqcqR qb两企业的反应函数为两企业的反应函数为 两企业的最优产量为两企业的最优产量为q2q1均衡点均衡点0q2*q1*R1(q2)R2(q1)*12123accqb*21223accqb经济数学模型经济数学模型市场总产量为:市场总产量为:均衡价格为:均衡价格为: *121223accQqqb*1212()3a ccPa b qq企业企业2 2的市场分额:的市场分额:企业企业1 1的市场分额:的市场分额:*11211222qaccQQacc*22121222qaccQQacc经济数学模型经济数学模型例例1 1 欧佩克(欧佩克(OPEC,OPEC,石油输
26、出国组织)试图通过限制生产石油输出国组织)试图通过限制生产水平保持世界石油的高价格。假设欧佩克的生产成本为每水平保持世界石油的高价格。假设欧佩克的生产成本为每桶桶5 5美元,非欧佩克生产国的生产成本为每桶美元,非欧佩克生产国的生产成本为每桶1010美元,又美元,又知道石油市场需求函数为知道石油市场需求函数为 用古诺寡头垄断方法做均衡分析。用古诺寡头垄断方法做均衡分析。65/3PQ11211211(,)60()3qqqqqq21211221(,)55()3q qqqq q12qq、分析分析:设欧佩克和非欧佩克国的产量分别为:设欧佩克和非欧佩克国的产量分别为 , 双方的利双方的利润润函数分别为函数
27、分别为 经济数学模型经济数学模型解得反应函数分别为解得反应函数分别为2112180()2qqR q1221165()2qqR q所以石油市场的古诺均衡点为所以石油市场的古诺均衡点为*165q*250q, 11212160033qqq21221255033qqq令令经济数学模型经济数学模型 假定市场上的两个寡头垄断企业通过串谋如同一个垄断者假定市场上的两个寡头垄断企业通过串谋如同一个垄断者一样行事。串谋属于合作博弈,其特点是参加博弈的各方在一样行事。串谋属于合作博弈,其特点是参加博弈的各方在决策过程中联合起来,先追求共同利益的极大化,然后再分决策过程中联合起来,先追求共同利益的极大化,然后再分配
28、这个已经极大化了的共同利益。配这个已经极大化了的共同利益。12= ( )()p p Qp qq市场需求函数为:市场需求函数为:两个企业的两个企业的成本成本函数分别为函数分别为:1122()()c qc q、在串谋条件下,总利润函数在串谋条件下,总利润函数为:为:1212121122,()()()()q qp qqqqc qc q()=1212121122,max()()()()q qp qqqqc qc q则则4 4、两个企业有串谋的均衡模型、两个企业有串谋的均衡模型经济数学模型经济数学模型令0 , 021qq由此求得各自的最优产量由此求得各自的最优产量例例2 2 两企业两企业市场需求市场需求
29、函数和成本函数分别函数和成本函数分别为为:若两企业串谋,求均衡解,并求若两企业串谋,求均衡解,并求两企业的最优利润。两企业的最优利润。21211221000.5(),5 ,0.5pqqcq cq总利润函数为总利润函数为22121215 . 05)(5 . 0100qqqqqq1290,5qq124275,250解得解得095211qqq02100212qqq令经济数学模型经济数学模型设市场中有设市场中有n n家厂商家厂商, ,q qi i为厂商为厂商i i的产量,的产量, 为市场总为市场总产量。已知市场的需求函数为产量。已知市场的需求函数为p=a - bQ , ,为简单为简单,假设假设各各厂商
30、生产没有固定成本,且各厂商的厂商生产没有固定成本,且各厂商的边际成本边际成本c c都都相同。相同。若若各厂商同时选择产量,则各厂商的利润函数为各厂商同时选择产量,则各厂商的利润函数为Qqiin15 5、多家企业的古诺、多家企业的古诺产量产量竞争模型竞争模型 () 1,2,.,niiiijiijipqcqabqbqqcqin20 1,2,.,nijj iiabqbqcinq 令各厂商的反应函数为各厂商的反应函数为 1,2,.2njj iiabqcqinb经济数学模型经济数学模型n n个厂商均衡点满足个厂商均衡点满足12=.nqqq12=.=1nacqqqnb()行业总产量为行业总产量为1()1n
31、jjn acqnb()市场价格为市场价格为 ()()11n acn acpabanbn()每个企业的利润为每个企业的利润为22()()()11(1)jjn acacacpc qacnnbnb()()经济数学模型经济数学模型 从上述数学结果来看,当从上述数学结果来看,当n=1n=1时,得到的是垄断结果;时,得到的是垄断结果;在在n=2n=2时,得到的是双头模型的结果。企业的均衡产量、时,得到的是双头模型的结果。企业的均衡产量、市场均衡价格和每个企业的均衡利润都与行业内企业数市场均衡价格和每个企业的均衡利润都与行业内企业数量量n n有关系。有关系。 0limlim(1)innacqnb () li
32、mlim(1)nnn acacQnbb 在古诺均衡中,随着企业数量的无限增加,每个企业的在古诺均衡中,随着企业数量的无限增加,每个企业的产出水平接近零,而行业总产量接近竞争产出水平。产出水平接近零,而行业总产量接近竞争产出水平。 n 时企业均衡产量和市场总产量的变化:时企业均衡产量和市场总产量的变化:经济数学模型经济数学模型 古诺均衡价格随着企业数量增加的结果为:古诺均衡价格随着企业数量增加的结果为:limlim1nnancPcn 古诺均衡价格在古诺均衡价格在n=1n=1时为垄断价格水平,随着行业中时为垄断价格水平,随着行业中企业数量的无限增加,呈不断下降的趋势,直到逼近企企业数量的无限增加,
33、呈不断下降的趋势,直到逼近企业单位生产成本即完全竞争价格水平。业单位生产成本即完全竞争价格水平。 这说明,当企业个数很多时,市场价格将趋于企业的这说明,当企业个数很多时,市场价格将趋于企业的边际成本,市场产量将会不断增加,而价格将会下降,从边际成本,市场产量将会不断增加,而价格将会下降,从而有助于增加消费者的福利。而有助于增加消费者的福利。经济数学模型经济数学模型问问题题价格指数是消费品价格变化的度量价格指数是消费品价格变化的度量. .几百年来,经济学家们提出了许多种价格指数几百年来,经济学家们提出了许多种价格指数. .如何评价这些价格指数的合理性?如何评价这些价格指数的合理性?以种和种商品的
34、价格指数为例以种和种商品的价格指数为例对一种给定商品,原价对一种给定商品,原价p p0 0, , 现价现价p p, , 价格变化价格变化 I I= =p p/ /p p0 0对两种给定商品,原价对两种给定商品,原价p p0 01 1, , p p0 02 2, , 现价现价p p1 1, , p p2 2, , 价格变化指标价格变化指标022011ppppI020121ppppI020121ppppI 没有体现没有体现“权权”的概念,应有的概念,应有价格综合指数价格综合指数 经济数学模型经济数学模型商品名称计量单位报 告 期基 期销售量 单价 (元)销售量 单价 (元) q1p1q0p0甲米6
35、000.204000.25乙kg6000.365000.40丙件1800.602000.50某企业三种产品平均日产与价格某企业三种产品平均日产与价格3130144492.5%480iiipiiip qIp q价格综合指数价格综合指数 定义为定义为pI3301144448036iiiiiip qp q 说明三种产品价格综合下降说明三种产品价格综合下降7.5%7.5%,企业日产值减少,企业日产值减少3636元。元。经济数学模型经济数学模型问题的一般提法问题的一般提法 设有设有n n 种代表性消费品,建立衡量基年和现年价格变化指标。种代表性消费品,建立衡量基年和现年价格变化指标。基年基年( (基准年
36、基准年) ) 价格指数记为价格指数记为I I( (p,q|pp,q|p0 0,q,q0 0) )权重权重Tnqqqq),.,(002010现年现年( (报告年报告年) )Tnpppp),.,(002010价格价格Tnpppp),.,(21价格价格权重权重Tnqqqq),.,(21历年来诸多学者都对指数计算做了研究,下面列举经济学历年来诸多学者都对指数计算做了研究,下面列举经济学家们提出的常用价格指数。家们提出的常用价格指数。经济数学模型经济数学模型 00001100001(,)niiiniiip qIp qp qp,q p qpq基年权重法基年权重法 现年权重法现年权重法 0012001(,)
37、iniiiniipqIp qp qp,q p qpq 基年现年权重并用法基年现年权重并用法 001300001(,)iniiiniip qIp qp qp,q p qpq固定权重法固定权重法 0014001(,),0iniiiiniip aIap ap ap,q pqpa经济数学模型经济数学模型几何平均法几何平均法 0001/21 2512000(,)()()II Ip qp qp,q pqpqpq 幂平均法幂平均法 006011(,),0,1inniiiiiipIpp,q pq规范基年权向量规范基年权向量幂平均法幂平均法 00070011(,),iniiiniiiipqIpqp,qpq 规范
38、现年权向量规范现年权向量幂平均法幂平均法 008011(,),iniiiniiiipqIpqp,q pq问题:哪种定义更合理?理想的价格指数是什么?问题:哪种定义更合理?理想的价格指数是什么?经济数学模型经济数学模型1. 1. 价格单调性价格单调性:一种商品涨价,其他不降,则:一种商品涨价,其他不降,则I I应上升应上升价格指数的公理化价格指数的公理化p, q, p0,q00, I(p,q| p0,q0)0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpIpp2. 2. 权重不变性权重不变性:所有商品价格不变,则:所有商品价格不变,则I I应不变应不变1),|,(000qpqpI3. 3. 价格
39、齐次性价格齐次性:所有商品涨价:所有商品涨价k k倍,则倍,则I I应上升应上升k k倍倍0),|,(),|,(0000kqpqpkIqpqkpI4. 4. I I应位于单种商品价格比值的最小、最大值之间应位于单种商品价格比值的最小、最大值之间0000max),|,(miniiiiiippqpqpIpp经济数学模型经济数学模型5. 5. 货币单位独立性货币单位独立性:I I应与货币单位的选取无关应与货币单位的选取无关0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpI6. 6. 计量单位独立性计量单位独立性: I I应与商品计量单位的选取无关应与商品计量单位的选取无关为非负对角阵),|,(),|
40、,(000101qpqpIqpqpI7. 7. 两年的价格指数之比与基年选取无关两年的价格指数之比与基年选取无关),|,(),|,(),|,(),|,(00000000qpqpIqpqpIqpqpIqpqpI8. 8. 价格指数不因某种商品被淘汰失去意义价格指数不因某种商品被淘汰失去意义iqpqpIip, 0),|,(lim000经济数学模型经济数学模型则价指数则价指数I I2 2为为1 120110 91.258 9p qIp q若猪肉计量单位换算为公斤若猪肉计量单位换算为公斤 基期基期 p p0 0=2=28=168=16元元, , 销量销量q q0 0 =10 =102=52=5公斤公斤
41、 现价现价 p p1 1 =2 =210=2010=20元元, ,销量销量q q1 1 =9 =92=4.52=4.5公斤公斤价格指数应不变25. 14.5164.50210112qpqpI对性质对性质6 6解释举例解释举例猪肉猪肉 基期基期p p0 0=8=8元元, , 销量销量q q0 0 =10 =10斤斤 现价现价p p1 1 =10 =10元元, ,销量销量q q1 1 =9 =9斤斤为非负对角阵),|,(),|,(000101qpqpIqpqpI),(21,2 21,20011200112qpqpIqpqpI)(即经济数学模型经济数学模型I I1 1, , I I2 2, , I
42、I5 5不满足公理不满足公理7 7艾希霍恩(艾希霍恩(EichhornEichhorn)给出了如下定理()给出了如下定理(19731973)定理定理: : 不存在同时满足公理不存在同时满足公理2,3,6,7,82,3,6,7,8的价格指数的价格指数. .I I6 6, , I I7 7, , I I8 8不满足公理不满足公理8 8I I3 3不满足公理不满足公理2 2I I4 4不满足公理不满足公理6 6常见的价格指数常见的价格指数I I1 1 I I8 8中:中:经济数学模型经济数学模型 不存在满足所有公理的价格指数,但经济学不能没有价格指不存在满足所有公理的价格指数,但经济学不能没有价格指
43、数,要选择综合性能好的指数。分析现有数,要选择综合性能好的指数。分析现有I I1 1 -I -I8 8,应剔除哪一个?,应剔除哪一个? I I4 4与与I I6 6需构造另外参数,不方便使用,需构造另外参数,不方便使用,I I5 5 可由可由I I1 1和和I I2 2 直接得到,直接得到,I I3 3不满足公理不满足公理2 2,I I7 7、I I8 8 计算量大且不满足公理计算量大且不满足公理6 6、7 7、8. 8.I I1 1, , I I2 2满足除公理满足除公理7 7外的所有公理,且计算简单,所以是外的所有公理,且计算简单,所以是目前最常用的价格指数。目前最常用的价格指数。目前常用
44、的价格指数目前常用的价格指数: : I I1 1, , I I2 2 00001100001(,)niiiniiip qIp qp qp,q p qpq0012001(,)iniiiniip qIp qp qp,q pqpq经济数学模型经济数学模型中国中国几种主要价格指数简介几种主要价格指数简介1 1、商品零售价格指数、商品零售价格指数 RPI RPI 零售价格指数零售价格指数(Retail Price index)(Retail Price index)是反映城乡商品零是反映城乡商品零售价格变动趋势的一种经济指数。它的变动直接影响到城乡售价格变动趋势的一种经济指数。它的变动直接影响到城乡居民
45、的生活支出和国家财政收入,影响居民的购买力和市场居民的生活支出和国家财政收入,影响居民的购买力和市场供需平衡以及消费和积累的比例。商品主要包括供需平衡以及消费和积累的比例。商品主要包括食品、饮料食品、饮料烟酒、服装鞋帽、纺织品、中西药品、化妆品、书报杂志、烟酒、服装鞋帽、纺织品、中西药品、化妆品、书报杂志、文化体育用品、日用品、家用电器、首饰、燃料、建筑装潢文化体育用品、日用品、家用电器、首饰、燃料、建筑装潢材料、机电产品等十四个大类材料、机电产品等十四个大类304304种种必报产品必报产品,各省(区、,各省(区、市)可根据当地实际情况适当增加一些商品。市)可根据当地实际情况适当增加一些商品。
46、经济数学模型经济数学模型2 2、居民消费价格指数、居民消费价格指数CPI CPI 居民消费价格指数(居民消费价格指数(Consumer Price IndexConsumer Price Index)简称)简称CPI CPI ,是度量消费商品及服务项目价格水平随着时间而变动的是度量消费商品及服务项目价格水平随着时间而变动的相对数。它反映居民家庭购买的消费品及服务价格水平相对数。它反映居民家庭购买的消费品及服务价格水平的变动情况。通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。的变动情况。通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。中国的中国的CPICPI包括包括食品、衣着、医疗保健和个人用品、交食品、衣着、医疗保
47、健和个人用品、交通及通讯、娱乐教育文化用品及服务、居住、杂项商品通及通讯、娱乐教育文化用品及服务、居住、杂项商品与服务等八类。与服务等八类。一般说来,一般说来,0CPI3%,0CPI3%CPI3%,就是通货膨胀;而当,就是通货膨胀;而当CPI5%CPI5%时,则是严重的通货膨胀,经济发展不稳定,国时,则是严重的通货膨胀,经济发展不稳定,国家相应将出台货币紧缩的政策,如加息、提高银行存款家相应将出台货币紧缩的政策,如加息、提高银行存款准备金率等。准备金率等。经济数学模型经济数学模型3 3、生产者价格指数、生产者价格指数PPIPPI 生产者价格指数(生产者价格指数(Producer Price I
48、ndexProducer Price Index)简称)简称PPIPPI,也称为工业品价格指数,是从生产者方面考虑的物价指也称为工业品价格指数,是从生产者方面考虑的物价指数,数,测量在初级市场上出售的货物测量在初级市场上出售的货物( (即在非零售市场上即在非零售市场上首次购买某种商品时首次购买某种商品时) )的价格变动的一种价格指数的价格变动的一种价格指数,反,反映生产者所购买、出售的商品价格的变动情况。工业品映生产者所购买、出售的商品价格的变动情况。工业品价格指数的上涨反映了生产者价格的提高,相应地生产价格指数的上涨反映了生产者价格的提高,相应地生产者的生产成本增加,生产成本的增加必然转嫁到
49、消费者者的生产成本增加,生产成本的增加必然转嫁到消费者身上,导致身上,导致CPICPI的上涨。的上涨。经济数学模型经济数学模型4 4、农业生产资料价格指数、农业生产资料价格指数 农业生产资料价格指数是指反映一定时期内农业生产资农业生产资料价格指数是指反映一定时期内农业生产资料价格变动趋势和程度的相对数。农业生产资料价格指数料价格变动趋势和程度的相对数。农业生产资料价格指数分为分为小农具、饲料、幼禽家畜、半机械化农具、机械化农小农具、饲料、幼禽家畜、半机械化农具、机械化农具、化学肥料、农药及农药械、农机用油等八大类具、化学肥料、农药及农药械、农机用油等八大类。其编。其编制目的是了解农业生产中物质资料投入价格的变动状况,制目的是了解农业生产中物质资料投入价格的变动状况,服务于国民经济核算。服务于国民经济核算。5 5、股票价格指数、股票价格指数 股票价格指数是股票价格指数是反映市场上多种股票价格变动趋势的一反映市场上多种股票价格变动趋势的一种相对数种相对数,简称股价指数,其单位一般用,简称股价指数,其单位一般用“点点”表示,即表示,即将基期将基期( (最初时期最初时期) )指数作为指数作为100100,每上升或下降一个单位成,每上升或下降一个单位成为为1 1“点点”。
限制150内