2022年导数及其应用.docx
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1、课题名称导数及其应用教学目标同步教学学问内容1,导数的定义及其几何意义;2,求导基本公式;3,四就运算求导法就,复合求导法就;4,导数在求函数求单调性、极值、最值中的应用;5,定积分的定义、几何意义、应用;6,微积分基本定律个性化学习问题解决重视对基本定义、概念的懂得,把握基本的运算公式,把握中等难度的常规题目的解题思路与方法;做题时留意细节,留意解题方法、思路的归纳总结;教学重点1,求导的四就运算法就、复合求导法就;2, 导数的应用;3,定积分概念、几何意义及应用;4,微积分基本定律;教学难点导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用定积分的应用教务部主办审批一、基本学问点f x0xf
2、 x0 1,导数:当 x 趋近于零时,x趋近于常数 C;可用符号 “ ”记作:当f x0xfx0 limf x0xf x0 cx0 时,xc 或记作 x0x,符号 “ ”读作“趋近于 ”;函数在x0 的瞬时变化率,通常称作f x 在 xx0 处的导数,并记作f x0 ;即f x limx0f x0xfxx002,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率;导数的物理意义,通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度;即如点P x0 , y0 为曲线上一点,就过点P x0 , y0 的切线的斜率k切f x0 limx0f x0x) fxx0 由于函数 yf x 在 xx0 处的导数,表示曲线在点Px0,
3、f x0 处切线的斜率, 因此,曲线 yf x 在点P x0 ,f x0 处的切线方程可如下求得:(1) 求出函数 y0的斜率;f x 在点 xx0 处的导数,即曲线 yf x 在点Px0 , f x0 处切线(2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下, 求得切线方程为: yy0f x xx0 ,假如曲线 yf x 在点P x0 ,f x0 的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为 xx0 ,故过点Px0 , y0 的切线的方程为:yy0f x xx0 03,导数的四就运算法就:(1) f xg xf xg x(2) f x g xf xg xf xg x(3) (3
4、)f xg xg x f x2gf x x gx2( xn)nx nn 1Q3 sin xcos5 ln x16 log1ax4,几种常见函数的导数:1 C0C为常数 x4 cos xsin xxlog a ex7 ex ex8 a x a x ln a5,函数的单调性:在某个区间a,b 内,假如f x0 ,那么函数 yf x 在这个区间内单调递增;假如f x0 ,那么函数 yf x 在这个区间内单调递减;6,函数的极值求函数 yfx 的极值的方法是:解方程 fx0 当fx00 时:1 假如在x0 邻近的左侧 fx0 ,右侧 fx0 ,那么fx0是极大值;2 假如在x0 邻近的左侧 fx0 ,
5、右侧 fx0 ,那么fx0是微小值7,函数的最大值和最小值( 1)设 yf x 是定义在区间a,b上的函数, yf x 在 a,b内有导数,求函数yf x 在a, b上的最大值与最小值,可分两步进行:1 求 yf x 在a, b 内的极值;2 将 yf x 在各极值点的极值与f a 、f b 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值;(2) )如函数f x 在a,b上单调增加,就f a为函数的最小值,f b 为函数的最大值;如函数f x 在a,b上单调递减,就f a为函数的最大值,f b 为函数的最小值 .留意:(1)在求函数的极值时,应留意:使导函数f x 取值为 0 的点可能是它的
6、极值点,也可能不是极值点;例如函数f xx3 的导数f x3 x2 ,在点 x0 处有f 00 ,即点 x0 是 fxx3 的驻点,但从f x在,上为增函数可知,点 x0 不是f x的极值点 .(2) )在求实际问题中的最大值和最小值时,一般是先找出自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域 .假如定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(其实只要是初等函数, 它在自己的定义域内必定可导) ,并且按常理分析, 此函数在这一开区间内应当有最大(小)值,然后通过对函数求导,发觉定义域内只有一个点使得导函数为0,那么立刻可以肯定在这个点处的函数值就是最大(小)值;(3) )极大(小)值与最大(小)
7、值的区分与联系;8,定积分的定义假如函数 fx 在区间 a, b 上连续,用分点ax0x1xi 1xi xn b,将区间 a,b等分成 n 个小区间,在每个小区间 xi 1,xi 上任取一点 ii 1,2, ,n ,作和nnba式f i xf i ,当 n时,上述和式无i 1i 1n限接近某个常数,这个常数叫做函数fx在区间 a, b上的定积分, 记作bnbabfxdx;即 f x dx = limf ;naniai 1注:在bfxdx 中中 fx 叫做被积函数, x 叫做积分变量, fxdx 叫做被积式, b,aa分别叫做积分上限和下限,区间a,b 叫做积分区间;9,曲边梯形:曲线与平行于
8、y 轴的直线和 x 轴所围成的图形,通常称为曲边梯形;依据定积分的定义, 曲边梯形的面积 S 等于其曲边所对应的函数yf x在区间 a ,b 上的定积分,即baSf xdx ;求曲边梯形面积的四个步骤:第一步:分割在区间 a ,b中插入 n1各分点,将它们等分成 n 个小区间xi 1 ,xii1 ,2 ,L,n,区间xi 1 ,xi的长度 xixixi 1 ;其次步:近似代替, “以直代曲 ”,用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出每个小曲边梯形面积的近似值;第三步:求和;第四步:取极限;10,定积分的几何意义:baf x dx 表示介于 x 轴,曲线 y=fx ,与直线 x=a,x=b
9、之间部分的曲边梯形面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积取负号;如下图( 1)(2):11,微积分基本定理 牛顿-莱布尼兹公式 :ba假如 F xf x ,且f x在 a , b 上可积,就f xdxF bF a ,其中F x 叫做f x 的a一个原函数;由于 F xcf x , F xc 也是f x 的原函数,其中 c 为常数一般地,原函数在 a, b 上的转变量F bF a简记作F x b ,因此,微积分基本定理可以写成形式:12,定积分的性质 :bbaf xdxF xaF bF a b kfax dxbkf x dxa,其中 k 为常数;b f xag x dxbf
10、 xdxab;gx dxab f x dxacf x dxabf x dxc其中 abc;13,利用函数的奇偶性求定积分 :如 fx 是-a,a上的奇函数 ,就af x dxa0 ;如 fx 是-a,a上的偶函数 ,就af x dxaa2 f x dx .014,定积分的求法:定义法 用微分思想求曲边梯形的面积,分割、近似代替、求和、取极限;牛顿 -莱布尼兹公式法;几何意义法:如 y=fx、x 轴与直线 x=a,x=b 之间的各部分区域是可求面积的规章图形,就可直接求其面积;利用奇、偶函数的性质求;二、经典例题练习1,如函数yf x 在区间 a, b 内可导,且 xa,b 就 limf x0h
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- 2022 导数 及其 应用
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