2022年知识总结圆锥曲线之动弦过定点的问题.docx
《2022年知识总结圆锥曲线之动弦过定点的问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年知识总结圆锥曲线之动弦过定点的问题.docx(12页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、题型三:动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西, 其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系,对这样的一些性质,我们必需了如指掌,并且必 须会证明;随着几何画板的开发,实现了机器证明几何问题,好多以 前我们不知道的、 明白不深化的几何或代数性质, 都如雨后春笋般的出来了,其中大部分都有可以遵循的规律,高考出题人,也得设计好 思维,让我们在他们设好的路上“走”出来;下面我们就通过几个考 题领会一下其风采;x2y 23例题 4、已知椭圆 C:A 1-2,0,A 22,0;(I)求椭圆的方程;a 2b21ab0 的离心率为,且在 x 轴上的顶点分别为2(II )如直线l : xt t2 与
2、 x 轴交于点 T,点 P 为直线 l 上异于点 T 的任一点,直线 PA1,PA2分别与椭圆交于 M 、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论;分析 :第一问是待定系数法求轨迹方程;其次问中,点A 1、 A2 的坐标都知道,可以设直线PA1、PA2 的方程,直线 PA1 和椭圆交点是 A1-2,0 和 M ,通过韦达定理,可以求出点M 的坐标,同理可以求出点N 的坐标;动点P 在直线l : xtt2) 上,相当于知道了点P 的横坐标了,由直线 PA1、 PA2 的方程可以求出P 点的纵坐标,得到两条直线的斜率的关系,通过所求的 M 、N 点的坐标,求出直线MN 的方程,将交
3、点的坐标代入,假如解出的t2,就可以了,否就就不存在;解:( I)由已知椭圆 C 的离心率 eca3 , a22 ,就得 c3, b1 ;x2从而椭圆的方程为4y21(II )设 Mx1, y1 ,N x2 , y2 ,直线A1M 的斜率为k1 ,就直线A1M 的方程为yk1 x2 ,yk1 x2222由x24y 2消 y 整理得414 k1 x16k2x16k1402和x1是方程的两个根,116k242x1114k 228k24k就 x11 , y114k 211,114 k 2即点 M 的坐标为 28k1214k 2,4k1 ,14k 211同理,设直线A 2N 的斜率为 k2,就得点 N
4、 的坐8k224k标为 214k2,2 14k 222ypk1t2) , ypk2 t2k1k22 ,k1k2t直线 MN 的方程为:yy1xx1y2y1 ,x2x1令 y=0 ,得 xx2 y1y1x1 y2 y24,将点 M 、N 的坐标代入,化简后得:xt又t2 ,042t椭圆的焦点为3, 043 ,即 t43t3故当 t4 3时, MN 过椭圆的焦点;1213方法总结 :此题由点 A1-2,0的横坐标 2 是方程14k2 x216k x16k 240 的一个根,结合韦达定理运用同类坐标变换,得到点M的横坐标: x128k1 ,2114k 2再利用直线 A1M的方程通过同点的坐标变换,得
5、点M的纵坐标:y4k1;1114k 2yk2 x2222其 实 由x24 y2消 y整 理 得414 k2 x16k2x16k240 , 得 到216k 22x4 ,即 x8k 22222, y4k2很快;2214k 2214k216k 2214 k24不过假如看到:将2x11114k 2中的 k1用k2换下来,x1 前的系数 2 用 2 换下来,就得点 N 的坐标8k22 ,4k2 ,假如在解题时,能看到这一点,运算量将削减,这样214k214k 222真简单出错,但这样削减运算量;此题的关键是看到点P 的双重身份:点P 即在直线A1M 上也在直线 A2N 上,进而得到k1k2k1k22,
6、由 直 线MN的 方 程tyy1xx1y2y1x2x1得直线与 x 轴的交点,即横截距 xx2 y1 y1x1 y2 y2,将点 M、N的坐标代入,化简易得 x44,由3 解出 t tt4 3,到此不要忘了考察t343是否满意 t2 ;3另外:也可以直接设Pt,y 0 ,通过 A 1 ,A 2 的坐标写出直线 PA1,PA2 的直线方程,再分别 和椭圆联立,通过韦达定理求出M 、N 的坐标,再写出直线MN 的方程;再过点 F,求出 t 值;例题 5、( 07 山东理)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3;最小值为1;()求椭圆C 的标准方程;(
7、)如直线l: ykxm与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A , B 不是左右顶点) ,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点;求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标;分析: 第一问,是待定系数法求椭圆的标准方程;其次问,直线l: ykxm与椭圆C 相交于 A , B 两点,并且椭圆的右顶点和A 、B 的连线相互垂直,证明直线l 过定点,就是通过垂直建立 k、m 的一次函数关系;解( I)由题意设椭圆的标准方程为x2y2a 2b 21ab0ac3, ac1 , a2, c1,b 23x2y2143( II)设ykxmAx1, y1 , Bx2, y2 ,由22得3x4 y1234k2 x
8、28mkx4m230 ,64m2 k21634 k 2 m230 , 34k 2m20xx8mk, xx24m3) (留意: 这一步是同类坐标变换)1234 k 21234 k 2yy kxm kxmk 2 x xmk xx m23m24k 2 ( 留意 :这一12121 212步叫同点纵、横坐标间的变换)34k 2以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D 2,0,且 kADk BD1 ,y1y21, y yx x2 xx40 ,x12x22121 2123m24k 2 4m2316mk22240 ,34k34k34k27m16mkm2k, m24k0 ,解得2k,且满意34k2m20127当 m
9、2k 时,l : ykx2 ,直线过定点 2,0, 与已知冲突;2k当 m时, l 7: yk x2 ,直线过定点722,07综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为,0.7名师体会: 在直线和圆锥曲线的位置关系题中,以弦为直径的圆经过某个点,就是“弦对定点张直角”,也就是定点和弦的两端点连线相互垂直,得斜率之积为1,建立等式;直线不过定点,也不知道斜率,设出l : ykxm ,是常常用的一招,在其次讲中就遇到了这样设的直线;练习 :直线l : ykxm和抛物线y22 px 相交于 A 、B,以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点,证明:直线l: ykxm过定点,并求定点的坐标;分析: 以 AB为直
10、径的圆过抛物线的顶点O,就 OAOB ,如设A x1,y1, B x2 ,y2 ,就x xy y0 ,再通过 yykxm kxmk 2x xmk xx m2 ,将条件1 21212121 212转化为k 21x1x2mk x12x2m0 ,再通过直线和抛物线联立,运算判别式后,可以得到x1x2 , x1x2 ,解出 k、m 的等式,就可以了;解:设Ax1, y1 , Bx2, y2 ,由ykxmy22 px 得,ky22 py2mp0 ,(这里消 x 得到的)2就4 p8mkp0 ( 1)由韦达定理,得:y1y22p, y1 y22mp,kk就 x1x2y1my2my1y2m y1y2m2kk
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2022 知识 总结 圆锥曲线 定点 问题
限制150内