数学极限的求法.doc
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1、. . 数学极限的求法 常见:夹逼准则, 无穷小量的性质,两个重要极限,等价无穷小,洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式。后四种不常见。另外求代数式极限可参见课本P48上。证明极限用定义证。1:利用等价无穷小代换求极限 当x趋于0时等价,例如 当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价关系成立,例如:当时, ; 。 例:求 解:82:利用极限的四则运算性质求极限 进行恒等变形,例如分子分母约去趋于零但不等于零的因式;分子分母有理化消除未定式;通分化简;化无穷多项的和(或积)为有限项。例;求极限(1)(2)(3)(4) 已知 求解:(1) = (2)(2)(3)-1 (4)
2、因为 所以 3:利用两个重要极限公式求极限 (1) (2) 例:求下列函数的极限4 (1) (2)(3) 解:(1) 1(2) 1 (3).4.利用两个准则求极限。(1)夹逼准则:若一正整数 N,当nN时,有且则有 . 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中,通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和 ,使得。例1.,求的极限解:因为单调递减,所以存在最大项和最小项 则 又因为(2)单调有界准则:单调有界数列必有极限,而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限,关键先要证明数列的存在,然后根据数列的通项递推公式求极限。 例:1 证明下列数列的极限存在,并求极限。 证明:从这个数列构造来看
3、 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得. 因为前面证明是单调增加的。 两端除以 得 因为则, 从而 即 是有界的。根据定理有极限,而且极限唯一。 令 则 则. 因为 解方程得 所以 5:洛必达法则求极限: 洛必达法则只能对或型才可直接使用,其他待定型如必可以化成这两种类型之一,然后再应用洛必达法则= A.可以通过,通分化为,后面两个幂的形式通过取对数来变化。 例1:(1) 求 (2)求解:(1) 由所以上述极限是待定型,则1(2) 它为型 由对数恒等式可得= 如果不存在时,并不能断定也不存在,只是这时不能用洛必达法则。例 解:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:,此极限不存在,而
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