两自由度系统的振动.doc
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1、. .5-1 如下图的系统,假设运动的初始条件:试求系统对初始条件的响应。题5-1图 题5-2图解:有两个值5-2图示为一带有附于质量m1和m2上的约束弹簧的双摆,采用质量的微小水平平移x1和x2为坐标,设,试求系统的固有频率和主振型。题5-1图 题5-2图解:设沿方向移动1个单位,保持不动,对,进展受力分析,可得:同理使沿方向移动一个单位,保持不变,对受力分析可得:,;刚度矩阵为,质量距阵,带入可得运动的微分方程为:+=;综上解得:利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设,分别画出与的受力图,并施加二物块力,列平衡方程,对:,对:,设,分别画出与的受力图,并施加二物块力,列平衡方程,对:,对:,由,
2、解得,得作用力方程为由方程得到系统的刚度矩阵为=系统的质量矩阵为=由频率方程,得展开为,解出频率为由特征矩阵的伴随矩阵的第一列,并分别代入二频率值,得到二阶振型为,系统的主振型矩阵为5-3 图示的扭振系统由无质量的轴和两个圆盘组成,轴段的扭转刚度为kq1及kq2,圆盘的转动惯量为I1、I2,并受到扭矩M1、M2的作用,试写出系统运动的微分方程,并求系统的固有频率和主振型。题5-3图解:取为广义坐标,它们分别为M1、M2的转角。当=1,=0时,分别表示保持系统该位置平衡,应加在M1、M2的力偶矩,由刚体的平衡条件得当=0,=1时,分别表示保持系统该位置平衡,应加在M1、M2的力偶矩,由刚体的平衡
3、条件得对取任意值时,根据达朗贝尔原理,可得系统的微分方程为即5-4图示悬臂梁的质量不计,梁的抗弯刚度为EI,设,试写出系统运动的微分方程,并求系统的固有频率和主振型。题5-4图解:取为广义坐标,根据柔度影响系数的定义,表示在处施加单位力沿方向在处产生的位移。按材料力学的挠度公式,那么有表示在处施加单位力沿方向在处产生的位移。有表示在处施加单位力在处产生的位移等于在处施加单位力在处产生的位移。有系统的位移方程即有所求微分方程为解:系统的质量矩阵M=。首先仅在质量m处施加竖直单位力Q=1,那么m产生的位移是:;m产生的位移是:。画出m的受力图,如图1。时,=0,所以=0;,所以=0。时,;以为非常
4、小,所以有,再在上施加单位力,那么处产生的位移为,处产生的位移为。画出的受力图如图2。时,所以;,所以。时,时,于是可以写出柔度矩阵系统的特征矩阵令,那么有频率方程,得求出各根于是得到固有频率为求系统的主振型,先求将,分别代入第一列,那么各阶主振型为5-5如下图,拉紧的无质量弦上附着两个质量m1与m2,假定质量作横向微振动时弦中拉力FT不变,设,试写出系统运动的微分方程,并求系统的固有频率和主振型。题5-5图解:在竖直方向以m1为坐标原点建立y坐标正方向竖直向下。令m1有单位位移=1,而保持不动,分别表示保持系统在该位置平衡,应在施加的力,由刚体的平衡条件得。再令有单位们移=1,同理可得。因此
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