数列与数学归纳法.docx
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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -专题 39数列与数学归纳 法【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一种重要的数学方法,其应用主要表达在证明等式、证明不等式、 证明整除性问题、归纳猜想证明等本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.1、数学归纳法适用的范畴:关于正整数n 的命题(例如数列,不等式,整除问题等),就可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法:通过假设 nk 成立, 再结合其它条件去证nk1 成立刻可 . 证明的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结步骤如下:可编辑资
2、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1)归纳验证:验证nn0 ( n0 是满意条件的最小整数)时,命题成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2)归纳假设:假设nkkn0 ,nN成立,证明当nk1 时,命题也成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3)归纳结论:得到结论:nn0 ,nN 时,命题均成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、第一归纳法要留意的的方:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1)数学归纳法所证命题不肯定从n1 开头成
3、立,可从任意一个正整数n0 开头,此时归可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结纳验证从nn0 开头可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2)归纳假设中,要留意kn0,保证递推的连续性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3)归纳假设中的nk ,命题成立, 是证明 nk1 命题成立的重要条件. 在证明的过程中要留意查找nk1与 nk 的联系4、其次数学归纳法:在第一数学归纳法中有一个细节,就是在假设nk 命题成立时,可用的条件只有nk ,而不能默认其它nk 的时依旧成
4、立 . 其次数学归纳法是对第一归纳法的补充,将归纳假设扩充为假设nk ,命题均成立,然后证明nk1 命题成立 . 可使用的条件要比第一归纳法多,证明的步骤如下:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1)归纳验证:验证nn0 ( n0 是满意条件的最小整数)时,命题成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2)归纳假设:假设nkkn0 ,nN成立,证明当nk1时,命题也成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3)归纳结论:得到结论:nn0 ,nN 时,命题均成立.
5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 留意点:对于归纳猜想证明类问题,有三个易错点. 一是归纳结论不正确。二是应用数学归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -法,确认n 的初始值n0 不精确。三是在其次步证明中,忽视应用归纳假设.【经典例题】例 1. 【2021 届重庆市第一中学5 月月考】已知为正项数列的前项和,记数列的前项
6、和为,就的最小值为 .【答案】【解析】分析:由题意第一求得,然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.详解:由题意结合,以下用数学归纳法进行证明:当时,结论是成立的,假设当时,数列的通项公式为:,就,由题意可知:,结合假设有:,解得:,综上可得数列的通项公式是正确的.据此可知:,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -利用等差数列前n 项和公式可
7、得:,就,结合对勾函数的性质可知,当或时,取得最小值,当时,当时,由于,据此可知的最小值为.nn点睛:此题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式. 归纳推理是由部分到整体、 由特别到一般的推理,由归纳推理所得的结论不肯定正确,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越牢靠,它是一种发觉一般性规律的重要方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn例 2.设 S 为数列 a 的前 n 项和,满意S 2a 2 n N* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1)求的值,并由此猜想数列a n 的通项公式an。(2)用数学归纳法证明()中的猜想【答案】
8、( 1)。( 2)见解析 .当 n 4 时, a1 a2 a3 a4 S42a42,a4 16.*由此猜想:n N 2证明:当n1 时, a1 2,猜想成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -*假设 nkk 1 且 kN 时,猜想成立,即,那么 n k 1 时,ak 1 Sk 1 Sk 2ak 1 2akak 1=2ak,这说明 nk 1 时
9、,猜想成立, 由知猜想成立点睛: 数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题:递推基础不行少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉 .例 3已知数列满意:,.()试求数列,的值。()请猜想的通项公式,并运用数学归纳法证明之.【答案】(),.(),证明见解析 .由此猜想.下面用数学归纳法证明之:当时,结论成立。假设时,结论成立,即有,就对于时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - -
10、- - - - - - -当时,结论成立.综上,可得对,成立点睛:运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要留意的问题:1、第一步:归纳奠基(即验证时成立)。其次步:归纳递推(即假设时成立,验证时成立)。3、两个条件缺一不行,在验证得到的形式应与前面的完全一样时成立时肯定要用到归纳假设时的结论,最终.例 4. 【2021 届浙江省温州市高三9 月一模】已知数列中,()(1)求证:。(2)求证:是等差数列。(3)设,记数列的前项和为,求证:【答案】 1 证明见解析。 ( 2)证明见解析。 ( 3)证明见解析 .【解析】 试题分析:( 1)利用数学归纳法可证明。 ( 2)化简,由可得是等差数列。 (
11、 3)由( 2)可得,从而可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -,先证明,利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.(2)由,得,所以,即,即,所以,数列是等差数列(3)由( 2)知,因此当时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 27 页 - - - - -
12、- - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -即时,所以时,明显,只需证明,即可当时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5. 已知函数fxaxb x2lnx, f1012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1)如函数fx在 x1处切线斜率为0 , an 1fn1 ,已知a14 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ann1求证: an2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2)在( 1)的条件下,求证:1112可编辑资料 - - - 欢迎下载
13、精品名师归纳总结1a11a21an5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】见解析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面用数学归纳法证明:an2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n1时,a142n2 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 nkkN成立,就 nk1 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 27 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
14、总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ak 1akak2k1ak2k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ak 12k2214k52 k12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nk1时,不等式成立nN ,an2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2)aa22na1aa2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由( 1)可知 an2n2an 12a
15、n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 112 an1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 112an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111111a12a122a12 n 1a1nn 1n 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111n111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a11a21an1a122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn11122112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a1112525可编辑资料 - - -
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