2022年全国高中数学联赛预赛试题.pdf
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1、全国高中数学联赛江西省预赛试题一、选择题(每小题 6 分, 共 36分)1、若函数2lg43fxaxxa的值域为 R,则实数a的取值范围是(). A、 4,; B 、 0, 4 ;C 、 0,4 ; D 、, 14,U2、设221ab,0b,若直线2axby和椭圆22162xy有公共点,则ab的取值范围是(). A、1 1,2 2;B、1,1 ;C、, 11,U;D 、2,2 . 3 、 四 面 体 ABCD 的 六 条 棱 长 分 别 为7,13,18,27,36,41, 且 知41AB, 则CD . A、7;B 、13;C 、18;D 、 274、若对所有实数x,均有sinsincosco
2、scos 2kkkxkxxkxx,则 k(). A、 6 ;B 、 5;C、 4;D 、 35、设2127nna,nb是na的小数部分,则当*nN时,nna b的值() A、必为无理数; B 、必为偶数; C 、必为奇数; D 、可为无理数或有理数6 、设n为正整数,且 31n与 51n皆为完全平方数,对于以下两个命题:(甲) . 713n必为合数;(乙) .28 173nn 必为两个平方数的和 . 你的判断是()A.甲对乙错; B. 甲错乙对; C.甲乙都对; D.甲乙都不一定对 . 二、填空题(每小题 9分,共 54分)7 、过点1,1P作直线 l ,使得它被椭圆22194xy所截出的弦的
3、中点恰为P ,则直线l 的方程为 . 8、设 xR,则函数2211216fxxx的最小值为 . 9、 四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD成060的二面角,顶点 A在面 BCD上的射影 H是BCD的垂心, G 是ABC的重心,若4AH, ABAC ,则 GH10、000sin 20sin40sin80 . 11、数列na满足:11a,且对每个*nN,1,nnaa是方程230nxnxb的两根,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - -
4、- 则201kkb . 12、 从前 2008个正整数构成的集1,2,2008ML中取出一个 k 元子集 A, 使得 A中任两数之和不能被这两数之差整除,则k 的最大值为三、解答题:13、 ( 20 分) AD 是直角三角形ABC 斜边 BC 上的高,( ABAC ) ,12,II分别是,ABDACD的内心,12AI I的外接圆Oe分别交,AB AC于,E F,直线,EF BC交于点 M ;证明:12,II分别是ODM 的内心与旁心14、 ( 20分)设, ,x y z为非负实数,满足1xyyzzx,证明:11152xyyzzx15、 ( 20分)对于 2n元集合1,2,2MnL,若n元集12
5、,nAa aaL,12,nBb bbL满足:,ABMABUI,且11nnkkkkab,则称 ABU是集 M 的一个“等和划分”( ABU与 BAU算是同一个划分)试确定集1,2,12ML共有多少个“等和划分” 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、选择题(每小题 6 分, 共 36分)1、若函数2lg43fxaxxa的值域为 R,则实数a的取值范围是(). A、 4,; B 、 0, 4 ;C 、
6、 0,4 ; D 、, 14,U答案: B 解:欲使 fx 的值域为 R,当使真数243axxa可取到一切正数,故或者0a;或者0a且24430a a,解得 04a2、设221ab,0b,若直线2axby和椭圆22162xy有公共点,则ab的取值范围是(). A、1 1,2 2;B、1,1 ;C、, 11,U;D 、2,2 . 答: C 解:将2axyb代入椭圆方程并整理得,22223121260abxaxb,因直线和椭圆有公共点,则判别式2222124 31260aabb,利用221ab,化简得22ab,所以1ab即, 11,abU3、四面体 ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,
7、36,41,且知41AB,则CD . A、7;B 、13;C 、18;D 、 27答案: B . 解:四面体中,除 CD 外,其余的棱皆与AB 相邻接,若长 13的棱与 AB 相邻,不妨设13BC,据构成三角形条件,可知7,18,27AC,36,7ACBD,,18,27AD CD,于是ABD 中,两边之和小于第三边,矛盾。因 此 只有13CD. 另一方 面, 使41,13ABCD的 四面体 ABCD 可 作 出, 例 如取7,36,18,27BCACBDAD. 故选 B4 、若对所有实数x,均有sinsincoscoscos 2kkkxkxxkxx,则 k(). 精品资料 - - - 欢迎下载
8、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - - A、 6 ;B 、 5;C、 4;D 、 3答: D . 解: 记sinsincoscoscos 2kkkfxxkxxkxx , 则由条件, fx 恒为 0 , 取2x,得sin12kk,则 k 为奇数,设21kn,上式成为sin12n,因此n为偶数,令2nm,则41km,故选择支中只有3k满足题意5、设2127nna,nb是na的小数部分,则当*nN时,nna b的值() A、必为无理数; B 、必为偶数; C 、必为奇数;
9、 D 、可为无理数或有理数答: C 解:令27,27uv,则4,3uvuv, ,u v是方程243xx的两根,则2243,43uuvv, 所以 当2n时 ,121243,43nnnnnnuuuvvv,令nnnSuv,则当2n时,1201,2,4nnnSSSSS,故所有nS为偶数,212121212172722nnnnnuvSk,212172272nnk,因210721n,所以2172n为na的小数部分,即2172nnb,21212172723nnnnna b奇数6 、设n为正整数,且 31n与 51n皆为完全平方数,对于以下两个命题:(甲) . 713n必为合数;(乙) .28 173nn 必
10、为两个平方数的和 . 你的判断是()A.甲对乙错; B. 甲错乙对; C.甲乙都对; D.甲乙都不一定对 . 答案: C解:设2231, 51nanb,,a b为正整数;则227139 314 51323232nnnababab 1 ,由此知, 32ab为正整数,且 321ab,因为若 321ab,则222279321441nabbb,即22742nnn,则 4 n,记4nk ,得 51201nk不为平方数,矛盾!所以322ab,故由1 得,713n为合数;又因为28 17331514 3151nnnnnn2222222222abababab,故选 C. (例如 65是上述n之一) . 精品资
11、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 二、填空题(每小题 9分,共 54分)7 、过点1,1P作直线 l ,使得它被椭圆22194xy所截出的弦的中点恰为P ,则直线l 的方程为 . 答案:4913xy解:设直线 l 的方程为11yk x,代入椭圆方程,整理得,22294181918270kxkk xkk,设其两根为12,xx,则1212xx,即218142,949kkkk,所以直线 l 的方程为4119yx,即4913xy8、设 xR,则
12、函数2211216fxxx的最小值为 . 答案: 13. 解:如图,取 A为数轴原点,12AB,再作 AB垂线,AC BD,使1,4ACBD,在数轴上取点P ,使APx , 则 fxCPDP , 当,C P D共线时,f值最小,此时22min12513fCDAE. 9、 四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD成060的二面角,顶点 A在面 BCD上的射影 H是BCD的垂心, G 是ABC的重心,若4AH, ABAC ,则 GH答案:4219解:设面 AHD 交 BC 于 F ,则因 ABAC ,故 G 在 AF 上,且13GFAF ,060AFH, 于是08sin 603AHAF,14
13、23FHAF,83 3GF,在三角形 GFH中,由余弦定理得4219GH10、000sin 20sin40sin80 . 答案:38PEDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 解:0000008sin 20sin 40sin804 cos20cos60sin800000004sin80 cos202sin802 sin100sin602sin8002sin 603,所以0003sin 20sin 40sin80811、数列na满
14、足:11a,且对每个*nN,1,nnaa是方程230nxnxb的两根,则201kkb . 答: 6385解:对每个*nN,13nnaan1 ,1nnna ab2 ,将1 写作1313332424nnnnaa, 因此3324nna是一个公比为1的等比数列,故13371244nnna,即13 217144nnna,13 217144nnna;于是21929211488nnnnba an;2016385kkb12、 从前 2008个正整数构成的集1,2,2008ML中取出一个 k 元子集 A, 使得 A中任两数之和不能被这两数之差整除,则k 的最大值为答案: 670. 解:首先,我们可以取 670元
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