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1、精选优质文档-倾情为你奉上建立模型,巧求最值引言:最值问题是一类综合性较强的问题,而线段和(差)问题,解决这类问题的基本依据有:(1) “两点之间线段最短”,(2) “垂线段最短”,(3) “三角形两边之差小于第三边”。一、常用几何模型:“将军饮马”模型: (1)、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;(1)点A、B在直线m两侧:(2)、点A、B在直线m同侧。 A、关于直线m的对称。2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。又区分为(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:台球两次碰壁模型已知点A位于直线m,n 的内侧,在直线m、
2、n分别上求点P、Q点,使PA+PQ+QA周长最短.变式:已知点A、B位于直线m,n 的内侧,在直线m、n分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB周长最短.小例:点在内,且,请在上找两点,使的周长最小,并求出它的最小周长?平移、旋转加对称1、已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB最小(1)点A、B在直线m两侧: (2)点A、B在直线m同侧:2、已知小河的宽度为米,河的两岸有两个村庄,现准备在河上建一座桥,使桥身下河岸垂直,问应该怎样选择桥址才能使两村间的路程最短?变式:如图在两个村庄之间有互相平行的两条
3、小河,河宽分别为米、米,如果我们要在小河上建两座与小河河岸垂直的桥,应该怎样选择桥址,才能使两个村庄之间的路程最短?二、实例讲析解决这类问题的基本策略是:首先通过对题目的精确分析,寻找建立相关的几何模型,其次才是适当添加辅助线,应用勾股定理等几何方法进行计算。例1、 在中,点是的中点,是上一点,那么的最小值是多少?分析:由题意,动点只有一个,且在直线上,定点在直线同侧,是典型的“将军饮马问题”,所以首先作点关于直线的对称点,连结交于,那么线段的长就是的最小值,只须连结就可计算了。例2、 在,试在上分别找一点使的值最小?分析:由于这里的动点有两个,要到的距离最短,只要作的垂线就行,故而联想到先做
4、关于的对称点,再过作于,交于,那么的长就是的最小值!(垂线段最短与对称结合,属于“将军饮马问题”的变化形式)例3、是正方形对角线上一点,试寻找使最小的点的位置?模型应用:1如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点则PB+PE的最小值是 2如图,O的半径为2,点A、B、C在O上,OAOB,AOC=60,P是OB上一动点,则PA+PC的最小值是 3如图,在锐角ABC中,AB42,BAC45,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是 第1题 第2题 第3题 第4题4如图,在直角梯形ABCD中,ABC90,ADBC,AD4,AB5,BC
5、6,点P是AB上一个动点,当PCPD的和最小时,PB的长为_5如图,等腰梯形ABCD中,ABADCD1,ABC60,P是上底,下底中点EF直线上的一点,则PA+PB的最小值为 第5题 第6题 第7题6如图,MN是半径为1的O的直径,点A在O上,AMN30,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PAPB的最小值为 7已知A(2,3),B(3,1),P点在x轴上,若PAPB长度最小,则最小值为 8已知:,问在直线上是否存在一点P,使的周长最小?9、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4)(1)求该函数的解析式;(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,
6、P为OB上一动点,求PCPD的最小值,并求取得最小值时P点坐标10、正方形ABCD的面积为12,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PDPE的和最小,则这个最小值为11、如图,设正的边长为2,是边上的中点,是边上的任意一点,的最大值和最小值分别记为和求的值12如图,AOB=45,P是AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求PQR周长的最小值13如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,3),B(4,1)设M,N分别为x轴和y轴上的动点,请问:是否存在这样的点M(m,0),N(0,n),使四边形ABMN的周长最短?若存在,请求出
7、m_,n _(不必写解答过程);若不存在,请说明理由14著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧,AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图(AP与直线X垂直,垂足为P),P到A、B的距离之和S1PAPB,图(2)是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A,连接BA交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2PAPB(1)求S1、S2,并比较它们的大小;(2)请你说明S2PAPB的值为最小;(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂
8、直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值15如图,抛物线yx2x3和y轴的交点为A,M为OA的中点,若有一动点P,自M点处出发,沿直线运动到x轴上的某点(设为点E),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F),最后又沿直线运动到点A,求使点P运动的总路程最短的点E,点F的坐标,并求出这个最短路程的长16如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,3),B(4,1)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a _时,四边形ABDC的周长最短17如图,
9、在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点,当CDE的周长最小时,求点E的坐标;(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.18如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BDBC,交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)当BE经过(1)中
10、抛物线的顶点时,求CF的长;(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ1,要使四边形BCPQ的周长最小,求出P、Q两点的坐标19如图,已知点A(4,8)和点B(2,n)在抛物线yax 2上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQQB最短,求出点Q的坐标;(2)平移抛物线yax 2,记平移后点A的对应点为A,点B的对应点为B,点C(2,0)和点D(4,0)是x轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时,ACCB 最短,求此时抛物线的函数解析式; 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形ABCD的周长最短?yOA2468-2-4-
11、2-424xBCD若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由二求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)几何模型:在一条直线m上,求一点P,使PAPB的差最大;(1)点A、B在直线m同侧: (2)点A、B在直线m异侧:模型应用:1. 如图,抛物线yx 2x2的顶点为A,与y 轴交于点B(1)求点A、点B的坐标;(2)若点P是x轴上任意一点,求证:PAPBAB;(3)当PAPB最大时,求点P的坐标.2. 如图,已知直线yx1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线yx 2bxc与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0)(1)求该抛物线的解析式;(3
12、)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AMMC|的值最大,求出点M的坐标yxCBADOEy 3. 如图,直线yx2与x轴交于点C,与y轴交于点B,点A为y轴正半轴上的一点,A经过点B和点O,直线BC交A于点D(1)求点D的坐标;(2)过O,C,D三点作抛物线,在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使线段PO与PD之差的值最大?若存在,请求出这个最大值和点P的坐标若不存在,请说明理由4. 已知:如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC3,BC2,取AB的中点M,连接MC,把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO(1)试直接写出点D的坐标;(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象
13、限内的该抛物线上移动,过点P作PQx轴于点Q,连接OP若以O、P、Q为顶点的三角形与DAO相似,试求出点P的坐标;(3)试问在(2)抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得的值最大?若存在,则求出点T点的坐标;若不存在,则说明理由好题赏析:(2010宁德)如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接EN、AM、CM(1)求证:AMBENB;(2)当M点在何处时,AMCM的值最小;当M点在何处时,AMBMCM的值最小,并说明理由;(3)当AMBMCM的最小值为1时,求正方形的边长变式:如图四边形ABCD是菱形,且ABC60,ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接EN、AM、CM,则下列五个结论中正确的是()若菱形ABCD的边长为1,则AMCM的最小值1;AMBENB;S四边形AMBE=S四边形ADCM;连接AN,则ANBE;当AMBMCM的最小值为2时,菱形ABCD的边长为2ABCD专心-专注-专业
限制150内