高考数学专题计数原理与概率、随机变量及其分布(共50页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上第九章计数原理与概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有Nmn种不同方法2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有Nmn种不同的方法1分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的2分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分,而未完成这件事,步步之间是相关联的试一试1从0,1,2,3,4,
2、5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有()A30B20C10 D6解析:选D从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类,取出的两数都是偶数,共有3种方法;取出的两数都是奇数,共有3种方法,故由分类加法计数原理得共有N336种2从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b组成复数abi,其中虚数有()A30个 B42个C36个 D35个解析:选Cabi为虚数,b0,即b有6种取法,a有6种取法,由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数1应用两种原理解题(1)分清要完成的事情是什么?(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成,“类”
3、间互相独立,“步”间互相联系;(3)有无特殊条件的限制;(4)检验是否有重漏2混合问题一般是先分类再分步,分类时标准要明确,做到不重复不遗漏练一练1(2013郑州模拟)在2012年奥运选手选拔赛上,8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有_种解析:分两步安排这8名运动员第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排安排方式有43224(种)第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有54321120(种)安排这8人的方式有241202 880(种
4、)答案:2 8801234567892(2014湖南长郡中学、衡阳八中等十二校一联)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1、2、9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有_种解析:把区域分为三部分,第一部分1、5、9,有3种涂法第二部分4、7、8,当5、7同色时,4、8各有2种涂法,共4种涂法;当5、7异色时,7有2种涂法,4、8均只有1种涂法,故第二部分共426种涂法第三部分与第二部分一样,共6种涂法由分步乘法计数原理,可得共有366108种涂法答案:108考点一分类加法计数原理1在所有的两位
5、数中,个位数字大于十位数字的两位数共有()A50个B45个C36个 D35个解析:选C利用分类加法计数原理:8765432136(个)2五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室,比赛后都回到休息室取衣服由于灯光暗淡,看不清自己的外衣,则至少有两人拿对自己的外衣的情况有()A30种 B31种C35种 D40种解析:选B分类:第一类,两人拿对:2C20种;第二类,三人拿对:C10种;第三类,四人拿对与五人拿对一样,所以有1种故共有2010131种3(2013三门峡模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有()A8种 B9种C10种 D1
6、1种解析:选B设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法,由分类加法计数原理共有3339(种) 类题通法利用分类加法计数原理解题时应注意(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏;(2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,不能重复考点二分步乘法计数原理典例(2014本溪模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥 PABC 与正三棱柱 ABCA1B1C1 组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相
7、邻的面均不同色,则不同的染色方案共有_种解析先涂三棱锥 PABC 的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有CCCC321212种不同的涂法答案12 类题通法利用分步乘法计数原理解决问题时应注意(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的(2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这件事(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定针对训练在航天员进行的一项太空实验中,先后要实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有()A24种 B48种C96种 D144种解析:选C第一步安排A有2种方法;第二步在剩余的5
8、个位置选取相邻的两个排B,C,有4种排法,而B,C位置互换有2种方法; 第三步安排剩余的3个程序,有A种排法,共有242A96种考点三两个原理的综合应用典例(2014黄冈质检)设集合I1,2,3,4,5选择集合I的两个非空子集A和B,若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素,则不同的选择方法共有()A50种 B49种C48种 D47种解析从5个元素中选出2个元素,小的给集合A,大的给集合B,有C10种选择方法;从5个元素中选出3个元素,有C10种选择方法,再把这3个元素从小到大排列,中间有2个空,用一个隔板将其隔开,一边给集合A,一边给集合B,方法种数是2,故此时有10220种选择方法;从5
9、个元素中选出4个元素,有C5种选择方法,从小到大排列,中间有3个空,用一个隔板将其隔开,一边给集合A,一边给集合B,方法种数是3,故此时有5315种选择方法;从5个元素中选出5个元素,有C1种选择方法,同理隔开方法有4种,故此时有144种选择方法根据分类加法计数原理,总计为102015449种选择方法故选B.答案B本例中条件若变为“A1,2,3,4,B5,6,7,C8,9现从中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合”,则可以组成多少个集合?解:(1)选集合A,B,有CC12;(2)选集合A,C,有CC8;(3)选集合B,C,有CC6;故可以组成128626个集
10、合类题通法在解决综合问题时,可能同时应用两个计数原理,即分类的方法可能要运用分步完成,分步的方法可能会采取分类的思想求分清完成该事情是分类还是分步,“类”间互相独立,“步”间互相联系针对训练上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上推选3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为_解析:若3人中有一人来自甲企业,则共有CC种情况,若3人中没有甲企业的,则共有C种情况,由分类加法计数原理可得,这3人来自3家不同企业的可能情况共有CCC16(种)答案:16第二节排列与组合1排列与排列数(1)排列:从n个不同元素中取出m(mn)
11、个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作A.2组合与组合数(1)组合:从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作C.3排列数、组合数的公式及性质公式排列数公式An(n1)(n2)(nm1)组合数公式C性质(1)An!;(2)0!1(1)C1;(2)CC_;(3)CCC备注n,mN*且
12、mn1易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关2计算A时易错算为n(n1)(n2)(nm)3易混淆排列与排列数,排列是一个具体的排法,不是数是一件事,而排列数是所有排列的个数,是一个正整数试一试1电视台在直播2012伦敦奥运会时要连续插播5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的是奥运宣传广告,且2个奥运宣传广告不能连播则不同的播放方式有()A120B48C36 D18解析:选C有CCA36(种)22010年上海世博会某国将展出5件艺术作品,其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件,在展
13、台上将这5件作品排成一排,要求2件书法作品必须相邻,2件绘画作品不能相邻,则该国展出这5件作品不同的方案有_种(用数字作答)解析:将2件必须相邻的书法作品看作一个整体,同1件建筑设计展品全排列,再将2件不能相邻的绘画作品插空,故共有AAA24(种)不同的展出方案答案:241排列问题与组合问题的识别方法:识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即组合问题与选取元素顺序无关2组合数的性质中(2)的应用主要是两个方面,一个简化运算,当m时,通常将计算C转化为计算C.二是列等式,由CC可得xy或
14、xyn.性质(3)主要用于恒等变形简化运算练一练1(2013河北教学质量监测)有A,B,C,D,E五位学生参加网页设计比赛,决出了第一到第五的名次A,B两位学生去问成绩,老师对A说:你的名次不知道,但肯定没得第一名;又对B说:你是第三名请你分析一下,这五位学生的名次排列的种数为()A6 B18C20 D24解析:选B由题意知,名次排列的种数为CA18.25个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有_种(用数字作答)解析:先排甲、乙之外的3人,有A种排法,然后将甲、乙两人插入形成的4个空中,有A种排法,故共有AA72(种)排法答案:72考点一排列问题1数列an共有六项,其中四项为1,其余两项各不
15、相同,则满足上述条件的数列an共有()A30个B31个C60个 D61个解析:选A在数列的六项中,只要考虑两个非1的项的位置,即得不同数列,共有A30个不同的数列2(2013东北三校联考)在数字1,2,3与符号“”,“”这五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列方法共有()A6种 B12种C18种 D24种解析:选B本题主要考查某些元素不相邻的问题,先排符号“”,“”,有A种排列方法,此时两个符号中间与两端共有3个空位,把数字1,2,3“插空”,有A种排列方法,因此满足题目要求的排列方法共有AA12种3(2013西安检测)8名游泳运动员参加男子100米的决赛,已知游泳池有从内到外编
16、号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道,若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如:5,6,7),则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有()A360种 B4 320种C720种 D2 160种解析:选B法一:先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法,将指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上,剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上,共有6AA4 320种安排方式法二:先将所在的泳道编号是3个连续数字的3名运动员全排列,有A种排法,然后把他们捆绑在一起当作一名运动员,再与剩余5名运动员全排列,有A种排法,故共有AA4 320种安排方式类题通法求解排列应用题的主
17、要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列间接法正难则反,等价转化的方法考点二组合问题典例(2013重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)解析直接法分类,3名骨科,内科、
18、脑外科各1名;3名脑外科,骨科、内科各1名;3名内科,骨科、脑外科各1名;内科、脑外科各2名,骨科1名;骨科、内科各2名,脑外科1名;骨科、脑外科各2名,内科1名所以选派种数为CCCCCCCCCCCCCCCCCC590.答案590 类题通法组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取(2)“至少”、“最多”的问题:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理针对训练(2013四平质检)从5名
19、男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有()A70种 B80种C100种 D140种解析:选A法一(间接法):当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时,共有CC14种组队方案当从9名医生中选择3名医生时,共有C84种组队方案,所以男、女医生都有的组队方案共有841470种法二(直接法):当小分队中有1名女医生时,有CC40种组队方案;当小分队中有2名女医生时,有CC30种组队方案,故共有70种不同的组队方案考点三分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合应用,解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。归纳起来常见的命题角度有:(1
20、)整体均分问题;(2)部分均分问题; (3)不等分问题.角度一整体均分问题1国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有_种不同的分派方法解析:先把6个毕业生平均分成3组,有种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A6种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有A90种分派方法答案:90角度二部分均分问题2将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少1本的不同分法共有_种(用数字作答)解析:把6本不同的书分成4组,每组至少1本的分法有2种有1组3本,其余3组每组1本,不同的分
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