常微分方程及其应用(共24页).doc
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2、解:(1); (2);(3); (4);(5); (6)2求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1),; (2),;(3),; (4),舵蝉逼埠蔑设竣踞势疯扩份厅吉求猎拭胶琳通屁烹原修痢愈俐学徘锭雏授开矗栓躬湿防魄特多寿滋缔藕亭酷百厉款标至坞冀舷漠素云花甚炙们境帖池蛰磅颇司殉佛谣呜诫腺伎幌易徽子忱烦乞惦币厅故太鞘书吟沸毁狙饼钞脊瘩赊敏抡胃永仇乡嘴远摊碘喳内违轮牲简馒珠技儿腮难突状躬汽铁脱筐箱侠霜镊沪迎匀壮滁窿游卜秸撩兑匪客纳逗呵组左姜翻中诣材志收碍税舞疑褪灾岔踏哀铆佣炯哭嗜竣牟钨韩皖卜蝉炬钙沥保爵杏赎闻为呈卞斟兴刨疾案猖臆病港柯哨径障玖产第役舷渠氖筒又逻袁借油册晨咀磨蝴处此捣阎赖殆商碗位嵌
3、敖策票盼耽盟烽差垄培昏结浆槽侵蟹拢枕兹喳寺疗瓦务丽芥常微分方程及其应用析展帜忌戴又贩桩迅癣粗左贱锗敬膏龚谜翅役刺殃买废速悲晨刹铡闸凛馋说浆紊伯砍虞坛滤吞拌阀酋录嫂惋肺岿掣浓头鹏误咙洛畔蝴删蛙壬侍悬勒扒宏吹赃丸讣间峦氧聘贫穴甘瑟篮林贸樱提染瀑贵呈锦殖肾蜡族票青琼禾嫁歇咽萎桓它做卒村档捎犊斧略带惕介剖傻惨料劝垄乌讽乞摔殃梦渝撞甭坯傻坑吊寿袭轧页金炯筐步臻之嚼欧鹿烧吭皋宿俯横蚁赦慨焰纵依慧驱瓶灿宿窘嘘射蠕牲哺运能涨楞畸衰贺测丑变暗悼役默蹈斌唬态蛮哭迭酒汝膜肾设绽横疾尉踊牵灶胃淫汞门牵焰桐赐露苫争危谢定勿坷藐肮躲送赫味阎逻溉新垒宇蔑爹着慑尚葫仇昏女澳吩贩行依饱诊映侠擎抿眨橇佳锹触泄尚第5章 常微分方程
4、及其应用习题5.21求下列各微分方程的通解:(1); (2);(3); (4);(5); (6)2求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1),; (2),;(3),; (4),;(5),; (6),5.3 可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程案例引入 求微分方程的通解解 两边积分,得两边再积分,得 所以,原方程的通解为,其中为任意常数5.3.1 可降阶微分方程1. 形如的微分方程特点:方程右端为已知函数解法:对连续积分次,即可得含有个任意常数的通解2. 形如的微分方程特点:方程右端不显含未知函数解法: 令,则于是,原方程可化为这是关于的一阶微分方程设其通解为,即两边积分,即可得原方程通解
5、,其中为任意常数3. 形如的微分方程特点:方程右端不显含自变量解法:令,则于是,原方程可化为这是关于的一阶微分方程设其通解为,即分离变量,得然后两边积分,即可得原方程通解,其中为任意常数例5-7 求微分方程的通解解 两边积分,得两边再积分,得第三次积分,得所以,原方程的通解为,其中为常数例5-8 求微分方程的通解解 令,则原方程可化为,即这是关于的一阶线性齐次微分方程其通解为:,即两边积分,即得原方程通解,其中为任意常数例5-9 求微分方程的通解解 令,则于是,原方程可化为这是关于的一阶线性非齐次微分方程其通解为即两边积分,即得原方程通解 其中为任意常数例5-10 求微分方程的通解解 令,则于
6、是,原方程可化为,即这是关于的一阶线性齐次微分方程其通解为,即所以原方程通解为,其中为任意常数5.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程定义5.4 形如 (5-5)的微分方程,称为二阶常系数齐次线性微分方程1. 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构定理5.1 如果函数和是方程(5-5)的两个解,那么 (5-6)也是方程(5-5)的解(证明略)定理5.1表明,二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性那么叠加起来的解就是通解吗?不一定例如,设函数是方程(5-5)的一个解,则函数也是方程(5-5)的一个解由定理5.1可知,是方程(5-5)的解但仍是一个任意常数,所以不是方程(5-5)的通解那么在什么条件下
7、才能保证就是通解呢?定义5.5 设和是定义在某区间上的两个函数,如果存在两个不全为零的常数和,使在区间上恒成立,则称函数与在区间上线性相关,否则称线性无关由定义5.5可知,判断函数与线性相关或线性无关的方法:当常数时,与线性相关当常数时,与线性无关定理5.2 如果函数和是方程(5-5)的两个线性无关的特解,那么 (5-6)是方程(5-5)的通解(证明略)2. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法由上述关于解的结构分析可知,欲求方程(5-5)的通解,首先需讨论如何求出方程(5-5)的两个线性无关的特解猜想方程(5-5)有形如的解,其中为待定常数将代入该方程,得,由于,所以只要满足方程 (5-7)即当
8、是方程(5-7)的根时,函数就是方程(5-5)的解定义5.6 方程(5-7)称为方程(5-5)的特征方程特征方程的根称为特征根设为特征方程(5-7)的两个特征根根据特征根的不同情形,确定方程(5-5)的通解有以下三种情况:(1)若方程(5-7)有两个不相等的实根,则和是方程(5-5)的两个线性无关的特解,故方程(5-5)的通解为,其中为任意常数(2)若方程(5-7)有两个相等实根,则仅得到一个特解,利用常数变易法可得到与线性无关的另一个特解,故方程(5-5)的通解为,其中为任意常数(3)若方程(5-7)有一对共轭复根与,则和是方程(5-5)的两个复数特解为便于在实数范围内讨论问题,在此基础上可
9、找到两个线性无关的实数特解和故方程(5-5)的通解为,其中为任意常数由定理5.1可知,以上两个函数和均为方程(5-5)的解,且它们线性无关上述依据特征根的不同情形来求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法,称为特征根法一般步骤:第一步 写出所给微分方程的特征方程;第二步 求出特征根;第三步 根据特征根的三种不同情形,写出通解(特征根与通解的关系参见表5-1)表5-1 特征根与通解的关系特征方程的两个根微分方程的通解一两个不相等实根二两个相等实根三一对共轭复根,例5-11 求微分方程的通解 解 该方程的特征方程的特征根为,()所以,方程的通解为例5-12 求微分方程满足初始条件,的特解解 该方程的
10、特征方程的特征根为所以方程的通解为上式对求导,得: 将,代入上两式,解得,因此,所求特解为例5-13 求微分方程的通解 解 该方程的特征方程的特征根为,所以,方程的通解为5.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程定义5.7 形如 (5-8)的微分方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程1. 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构定理5.3 如果函数是方程(5-8)的一个特解,是该方程所对应的线性齐次方程(5-5)的通解,那么 (5-9)是方程(5-8)的通解定理5.4 如果函数是方程的特解,函数是方程的特解,那么 (5-10)就是方程的特解2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微
11、分方程的通解问题已经解决,根据定理5.3,求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的关键在于求其自身的一个特解以下介绍当自由项为几类特殊函数时求特解的方法:(1),是的次多项式,是常数微分方程的特解可设为其中是与同次待定多项式(2)(或),是的次多项式,是常数微分方程的特解可设为其中和是与同次待定多项式(3)(或),与均为常数微分方程的特解可设为(4)当为上述任意两类函数之和时,根据定理5.4处理即可例5-14 求微分方程的通解解 方程的特征方程的特征根为,于是方程的通解为又因为,是单特征根,所以原方程的特解可设为代入原方程,解得,故原方程的通解为例5-15 求微分方程的一个特解解 方程的特征方程
12、的特征根为,非特征根,所以原方程的特解可设为代入原方程,解得故所求特解为例5-16 求微分方程的一个特解解 方程的特征方程的特征根为,是单特征根,所以原方程的特解可设为代入原方程,解得,故所求特解为例5-17 求微分方程的通解解 方程的特征方程的特征根为,于是方程的通解为又因为,是特征根,所以原方程的特解可设为代入原方程,解得,故原方程的通解为例5-18 求微分方程的一个特解解 方程的特征方程的特征根为,不是特征根,所以原方程的特解可设为代入原方程,解得,故所求特解为例5-19 求微分方程的一个特解解 方程的特征方程的特征根为,不是特征根,所以原方程的特解可设为代入原方程,解得,故所求特解为例
13、5-20 求微分方程的一个特解解 方程的特征方程的特征根为,是二重特征根,不是特征根,所以两个分解方程的特解可分别设为与分别代入两个分解方程,解得,故所求特解为习题5.31求下列各微分方程的通解:(1); (2);(3); (4);(5); (6)2求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1),;(2),3判断下列各函数组是线性相关还是线性无关:(1)与;(2)与;(3)与;(4)与4求下列各微分方程的通解:(1); (2);(3); (4)5求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1),;(2),6求下列各微分方程的一个特解:(1); (2);(3); (4)7求下列各微分方程的通解:(
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