ADI(交替方向隐格式)求解二维抛物方程.docx
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1、精选优质文档-倾情为你奉上ADI法求解二维抛物方程学校:中国石油大学(华东) 学院:理学院 姓名:张道德 时间:2013.4.271、ADI法介绍作为模型,考虑二维热传导方程的边值问题:(3.6.1)取空间步长,时间步长,作两族平行于坐标轴的网线:将区域分割成个小矩形。第一个ADI算法(交替方向隐格式)是Peaceman和Rachford(1955)提出的。方法:由第n层到第n+1层计算分为两步:(1) 第一步: ,构造出差分格式为:(2) 第二步:,构造出差分格式为:其中。假定第n层的已求得,则由求出,这只需按行解一些具有三对角系数矩阵的方程组;再由求出,这只需按列解一些具有三对角系数矩阵的
2、方程组,所以计算时容易实现的。2、数值例子(1)问题用ADI法求解二维抛物方程的初边值问题:已知(精确解为:)设差分解为,则边值条件为:初值条件为:取空间步长,时间步长网比。用ADI法分别计算到时间层。(2)计算过程根据边值条件:,已经知道第0列和第K列数值全为0。(1),构造出差分格式为:从而得到:,其中即按行用追赶法求解一系列下面的三对角方程组:又根据边值条件得:,解出第0行和第行。(2)第二步:,构造出差分格式为:从而得到:,其中又根据边值条件得:,从而得到:其中即按列用追赶法求解一系列下面的三对角方程组:(3) 求解结果(3.1)数值解yx1/42/43/41/40.25780.348
3、40.25782/42.484e-153.584e-152.773e-153/4-0.2571-0.3473-0.2570(3.2)精确解yx1/42/43/41/40.70100.48590.70102/41.392e-171.431e-171.392e-173/4-0.7010-0.4859-0.7010(3.3)数值解-精确解(即误差)yx1/42/43/41/4-0.-0.-0.2/42.631e-153.929e-152.919e-153/40.0.0.从而得到误差的范数为:1- 范数:0.3713; 2-范数:0.1447;-范数:0.6086(3.4)图像(3.4.1)数值解图像
4、:(3.4.2) 精确解图像:(5)主要程序(5.1)主程序%*%main_chapter主函数%信息10-2张道德%学号:clccleara = 0; b=1; %x取值范围c=0; d=1; %y取值范围tfinal = 1; %最终时刻t=1/1600;%时间步长;h=1/40;%空间步长r=t/h2;%网比x=a:h:b;y=c:h:d;%*%精确解m=40;u1=zeros(m+1,m+1);for i=1:m+1, for j=1:m+1 u1(j,i) = uexact(x(i),y(j),1); endend%数值解u=ADI(a,b,c,d,t,h,tfinal);%*%绘制
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