三元不等式的又一“利器”qpr变换法(共5页).docx
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1、精选优质文档-倾情为你奉上三元对称不等式证明的“利器”变换法王子康 安徽省马鞍山市第八初级中学 【摘要】 在初高中数学学习过程中,我们常常遇到含有,等单项式的三元对称不等式,使用常规方法解这类不等式不但运算量大,而且步骤繁琐易错。运用特定字母替换这些单项式,则可以使得解题过程简洁明了,便于理解和运算。本文归纳介绍了一些基本性质和恒等变换,并从特例分析、运用技巧等方面就使用变换证明三元对称不等式进行了简要论述。【关键词】 初高中数学 变换 三元对称不等式在初高中数学的许多三元对称不等式中都含有,等单项式,这一类不等式通常结构特征明显。使用变换法将不等式转换为含有、的简化不等式来证明解决,不失为一
2、种行之有效的解题技巧。下面就变换法的运用进行简要论述。1. 基本性质通常,我们采用下列变量变换: ,。原不等式变换为。显而易见,对应的是“算术均值”;对应的是“积均值”;对应的是“几何均值”。 这样做的好处是可以降低不等式的次数。这样我们很容易看出其满足的不等式关系,特别地当次数小于等于5时效果是很明显的。这种证明不等式的方法称为变换法。在具体运用前,我们必须充分理解掌握这三者之间存在的基本性质以及几个恒等变换。若,设,则有以下基本性质:性质1. ,即:“算术均值”“积均值”“几何均值”。证明:均值不等式,得证。当且仅当时,等号成立。性质2. 证明:将舒尔不等式展开后,得得证。当且仅当时,等号
3、成立。性质3. 证明:由性质1可知,且,所以,得证。当且仅当时,等号成立。性质4. 证明:由性质1 可知:,所以,即,得证。当且仅当时,等号成立。性质5. 证明:由排序不等式可知:,得证。当且仅当时,等号成立。性质6. 证明:由性质3 和性质7 ,且,可知:,即,得证。当且仅当时,等号成立。性质7. 证明:由二元均值不等式可知:,同理,三式相加,得,整理,得,得证。当且仅当时,等号成立。性质8. 证明:由性质5 ,且可知,比较性质2 ,两式相加,得,得证。当且仅当时,等号成立。性质9. 性质10. p2q3pr+2q2p4+3q24p2qpq22p2r+3qrq3+9r24pqrp3r+q36
4、pqr2. 恒等变换除上述性质以外,我们还需要用到以下“十八般武器”。通过替代变换,整理后可以得到以下几个经常用到的重要恒等变换(限于篇幅,转换过程从略,读者可以自行尝试),记住这些恒等变换对帮助我们更加高效地完成不等式的证明十分有益:恒等变换1.恒等变换2. 恒等变换3.恒等变换4.恒等变换5. 恒等变换6. 恒等变换7.恒等变换8.恒等变换9.恒等变换10.恒等变换11. 恒等变换12. 恒等变换13. 恒等变换14. 恒等变换15.恒等变换16. 恒等变换17.恒等变换18.恒等变换19.3. 技巧运用例1 已知正数且,求证:证:设,有,并将恒等变换7代入原式,得,整理,得,这就是性质8
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