考研数学(一)真题评注.doc
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1、1考研数学(一)真题评注考研数学(一)真题评注一、填空题填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上)(1) = .)1ln(102)(coslimxxxe1【分析分析】 型未定式,化为指数函数或利用公式=进1)()(limxgxf)1 ()()1)(lim(xgxfe行计算求极限均可.【详解详解 1】 =,)1ln(102)(coslimxxxx xxecosln )1ln(1lim20而 ,21 2cossinlimcoslnlim)1ln(coslnlim 02020xxxxx xxxxx故 原式=.121ee【详解详解 2】 因为 ,2121lim)
2、1ln(1) 1(coslim22020 xxxx xx所以 原式=.121ee【评注评注】 本题属常规题型,完全类似例题见数学复习指南P.24-25 【例例 1.30-31】.(2) 曲面与平面平行的切平面的方程是22yxz042zyx.542zyx【分析分析】 待求平面的法矢量为,因此只需确定切点坐标即可求出平面方1, 4 , 2n程, 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定.22yxz1, 4 , 2n【详解详解】 令 ,则22),(yxzzyxF, .xFx2yFy21zF设切点坐标为,则切平面的法矢量为 ,其与已知平面),(000zyx1 ,2,200yx 平行,因此有042z
3、yx2,11 42 2200 yx可解得 ,相应地有 2, 100yx. 52 02 00yxz故所求的切平面方程为 ,即 .0)5()2(4) 1(2zyx542zyx【评注评注】 本题属基本题型,完全类似例题见数学复习指南P.279 【例例 10.28】和 数学题型集粹和练习题集P.112 【例例 8.13】.(3) 设,则= 1 .)(cos02xnxaxnn2a【分析分析】 将展开为余弦级数,)()(2xxxf)(cos02xnxaxnn其系数计算公式为.0cos)(2nxdxxfan【详解详解】 根据余弦级数的定义,有xdxxdxxa2sin12cos20202 2=00222sin
4、2sin1xdxxxx=0002cos2cos12cos1xdxxxxxd=1. 【评注评注】 本题属基本题型,主要考查傅里叶级数的展开公式,本质上转化为定积分 的计算. 完全类似例题见文登数学全真模拟试卷数学一 P.62 第一大题第(6)小题和 数学复习指南P.240 【例例 8.37】.(4)从的基到基的过渡矩阵为2R 11,0121 21,1121. 2132【分析分析】 n 维向量空间中,从基到基的过渡矩阵 P 满足n,21n,21=P,因此过渡矩阵 P 为:P=n,21n,211 21, n.,21n【详解详解】根据定义,从的基到基的过渡2R 11,0121 21,11213矩阵为P
5、=.1 21, 2111 1011,121=.213221111011 【评注评注】 本题属基本题型,完全类似例题见数学复习指南P.429 【例例 3.35】. (5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,yxxyxf其他, 10 , 0,6),(则 .1YXP41【分析分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度 f(x,y),求满足一定条件的概率,一般可转化为二重积分=进行计算.),(0zYXgP),(0zYXgP 0),(),(zyxgdxdyyxf【详解详解】 由题设,有1YXP 121016),(yxxxxdydxdxdyyxf=.41)126(2102dxxxy1DO 1 x21【
6、评注评注】 本题属基本题型,但在计算二重积分时,应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分 D,再在其上积分即可. 完全类似例题见文登数学全真模拟1 yx试卷数学一 P.14 第一大题第(5)小题.(6)已知一批零件的长度 X (单位:cm)服从正态分布,从中随机地抽取 16) 1 ,(N个零件,得到长度的平均值为 40 (cm),则的置信度为 0.95 的置信区间是 .)49.40,51.39(注注:标准正态分布函数值.)95. 0)645. 1 (,975. 0)96. 1 (【分析分析】 已知方差,对正态总体的数学期望进行估计,可根据124,由确定临界值,进而确定相应的置信区间.)
7、1 , 0(1NnX112unXP2u【详解详解】 由题设,可见 于是查标准正态分布表知95. 01.05. 0本题 n=16, , 因此,根据 ,有.96. 12u40x95. 096. 11nXP,即 ,故的置信度为 0.95 的置95. 096. 116140P95. 049.40,51.39P信区间是 .)49.40,51.39(【评注评注】 本题属基本题型,完全类似例题见数学复习指南P.608 【例例 6.16】.二、选择题二、选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数 f
8、(x)在内连续,其导函数的图形如图所示,则 f(x)有),(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. C yO x【分析分析】 答案与极值点个数有关,而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点, 共 4 个,是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解详解】 根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有 3 个,而 x=0 则是导数不 存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致,必为极值点,且两个极小值 点,一个极大值点;在 x=0 左侧一阶导数为正,右侧
9、一阶导数为负,可见 x=0 为极大值点, 故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点,应选(C). 【评注评注】 本题属新题型,类似考题 2001 年数学一、二中曾出现过,当时考查的是已知 f(x)的图象去推导的图象,本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串)(xf 讲班上介绍过.(2)设均为非负数列,且,则必有,nnncba0lim nna1lim nnb nnclim(A) 对任意 n 成立. (B) 对任意 n 成立.nnba nncb 5(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. D nnnca limnnncb lim【分析分析】 本题考查极限概念,极限值与数列前面有限项的大
10、小无关,可立即排除(A),(B); 而极限是型未定式,可能存在也可能不存在,举反例说明即可;极限nnnca lim0属型,必为无穷大量,即不存在.nnncb lim1【详解详解】 用举反例法,取,则可立即排除(A),nan21nb), 2 , 1(21nncn(B),(C),因此正确选项为(D). 【评注评注】 对于不便直接证明的问题,经常可考虑用反例,通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见数学最后冲刺P.179.(3)已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且,则1)(),(lim2220, 0yxxyyxfyx(A) 点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. (B) 点(0
11、,0)是 f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是 f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点. A 【分析分析】 由题设,容易推知 f(0,0)=0,因此点(0,0)是否为 f(x,y)的极值,关键看在点 (0,0)的充分小的邻域内 f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号. 【详解详解】 由知,分子的极限必为零,从而有 f(0,0)=0, 且1)(),(lim2220, 0yxxyyxfyx充分小时) ,于是222)(),(yxxyyxfyx,(.)()0 , 0(),(222yxxyfyxf可见当 y=x 且充分小时,;而当 y
12、= -x 且充分小时,x04)0 , 0(),(42xxfyxfx. 故点(0,0)不是 f(x,y)的极值点,应选(A).04)0 , 0(),(42xxfyxf【评注评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念,题型比较新, 有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量,是有关极限分析过程中常用的思想, 类似分析思想的例题见数学复习指南P.43 【例例 1.71】.(4)设向量组 I:可由向量组 II:线性表示,则r,21s,21(A) 当时,向量组 II 必线性相关. (B) 当时,向量组 II 必线性相关.sr sr (C) 当时,向量组 I 必线性相关. (D)
13、 当时,向量组 I 必线性相关.sr sr D 【分析分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理:若向量组 I:可由向量组 II:线性表示,则当时,向量组 I 必线性相r,21s,21sr 关. 或其逆否命题:若向量组 I:可由向量组 II:线性表示,且r,21s,216向量组 I 线性无关,则必有. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到sr 答案.【详解详解】 用排除法:如,则,但 10,01,0021121100线性无关,排除(A);,则可由线性表示,21, 01,01,0012121,1但线性无关,排除(B);,可由线性表示,但1 10,01,01211121
14、,线性无关,排除(C). 故正确选项为(D).1【评注评注】 本题将一已知定理改造成选择题,如果考生熟知此定理应该可直接找到答案, 若记不清楚,也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见数学复习指南P.409 定理定理 11. (5)设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为矩阵,现有 4 个命题:nm 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解,则秩(A)秩(B); 若秩(A)秩(B),则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解; 若 Ax=0 与 Bx=0 同解,则秩(A)=秩(B); 若秩(A)=秩(B), 则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是(A) .
15、 (B) . (C) . (D) . B 【分析分析】 本题也可找反例用排除法进行分析,但 两个命题的反例比较复杂一些, 关键是抓住 与 ,迅速排除不正确的选项. 【详解详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解,则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B),命题成立, 可排除(A),(C);但反过来,若秩(A)=秩(B), 则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同解,如,则秩(A)=秩(B)=1,但 Ax=0 与 Bx=0 不同解,可见命题不 0001A 1000B成立,排除(D),故正确选项为(B). 【评注评注】 文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题: 【例例】 齐次线性方
16、程组 Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件 (A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵. (C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. C 有此例题为基础,相信考生能迅速找到答案.(6)设随机变量,则21),1)(XYnntX(A) . (B) .)(2nY) 1(2nY(C) . (D) . C ) 1 ,(nFY), 1 (nFY7【分析分析】 先由 分布的定义知,其中,再将其代tnVUX )(),1 , 0(2nVNU入,然后利用 F 分布的定义即可.21 XY 【详解详解】 由题设知,其中,于是nVUX )(),1 , 0(2nVNU=,这里,根
17、据 F 分布的定义知21 XY 122UnVUnV ) 1 (22U故应选(C).).1 ,(12nFXY 【评注评注】 本题综合考查了 t 分布、分布和 F 分布的概念,要求熟练掌握此三类常2用统计量分布的定义, 见文登数学全真模拟试卷数学一 P.57 第二大题第(6)小题(事 实上完全相当于原题)和数学复习指南P.592 的定义和 P.595 的【解题提示解题提示】.三三 、 (本题满分(本题满分 10 分)分) 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线,该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A; (2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体
18、积 V. 【分析分析】 先求出切点坐标及切线方程,再用定积分求面积 A; 旋转体体积可用一大立 体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算,为了帮助理解,可画一草图.【详解详解】 (1) 设切点的横坐标为,则曲线 y=lnx 在点处的切线方程是0x)ln,(00xx).(1ln0 00xxxxy由该切线过原点知 ,从而 所以该切线的方程为01ln0x.0ex .1xey 平面图形 D 的面积10. 121)(edyeyeAy(2) 切线与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体xey1积为 .312 1eV曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线
19、 x=e 旋转所得的旋转体体积为,dyeeVy2102)(8因此所求旋转体的体积为).3125(6)(3121022 21eedyeeeVVVyy1DO 1 e x【评注评注】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积,因此不能直接套用现有公式. 也可考虑用 微元法分析,完全类似例题见数学复习指南P.197 的【例例 7.34】和 P.201 的【例例 7.42】.四四 、 (本题满分(本题满分 12 分)分)将函数展开成 x 的幂级数,并求级数的和.xxxf2121arctan)(012) 1(nnn【分析分析】 幂级数展开有直接法与间接法,一般考查间接法展开,即通过适当的恒等变 形、求导或积分等,转化
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