第五章 定积分.ppt
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1、,5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分学基本定理5.3 定积分的积分法5.4 广义积分,第5章 定积分,结束,5.1.1 引入定积分概念的实例,引例1 曲边梯形的面积:如图,由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形.,下面我们求曲边梯形的面积,(1)分割,在(a,b)内插入n1个分点,把区间a,b分成n个小区间,记每一个小区间 的长度为,a,b,x,5.1 定积分的概念与性质,(2)近似,表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间 内任取一点 ,过点 作x轴的垂线与曲线交于点 ,以 为底, 为高做矩形,以此矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则,a,(3)求和,将所有矩
2、形面积求和,过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴的平行线,将曲边梯形,分割成n个小曲边梯形.,(4)取极限,记 为所有小区间中长度的最大者,即 ,当 时,总和的极限就是曲边梯形面积A,即,解 (1) 分割,引例2 变力做功,在 插入n个分点,则 即是曲边梯形面积的近似值.,将闭区间a,b分成n个小区间:,小区间的长度,(2)近似,在每一个小区间 上任取一点 ,把 做为质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间 上对质点所做的功的近似值为,(3)求和,把各小区间上力F所做的功的近似值加起来,即得到在区间 上所做功的近似值,即,(4)取极限,把所有小区间的最大长度记为 ,即 ,则当 时,和式
3、的极限即为变力在区间 上对质点所做的功,即,5.1.2 定积分的概念,定义,定积分(简称积分),其中f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限,a,b叫做积分区间.,根据定积分的定义,前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述:,曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积分,即,如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在,则称函数f(x)在区间a,b上可积.,质点在变力F(s)作用下作直线运动,由起始位置a移动到b,变力对质点所做之功等于函数F(s)在a,b上的定积分,即,可以证明:若
4、函数f (x)在在区间a,b上连续,或只有有 限个第一类间断点,则f (x)在在区间a,b上可积.,关于定积分的概念,还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限,是一个数值,定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关,而与积分变量的记法无关.即有,(2)在定积分 的定义中,总假设 ,为了 今后的使用方便,对于 时作如下规定:,如果在a,b上 ,此时由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.,5.1.3 定积分的几何意义:,如果在a,b上 ,则 在几何上表示由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴
5、所围成的曲边梯形的面积.,如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值,则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.,性质1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和,即,5.1.4 定积分的基本性质,设下面函数f (x), fi (x), g(x)在a,b上可积.,推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和,即,如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b, 则,性质3,性质3表明定积分对积分区间具有可加性,这个性质可以用于求分段函数的定积分.,当c在区间a,b 之外时,上面表达式也成立.,性质2 被积函数的常数因子可
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