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1、14.3.214.3.2公式法公式法( (第第 2 2 课时课时) )教学目标教学目标1.会分析和判断一个多项式是否为完全平方式, 初步掌握运用完全平方公式把多项式分解因式的方法.2.理解完全平方式的意义和特点.3.能运用十字相乘法对形如x2+px+q 的二次三项式进行因式分解.教学重点难点教学重点难点重点:运用完全平方公式分解因式.难点:灵活运用完全平方公式分解因式.课前准备课前准备多媒体课件教学过程教学过程导入新课导入新课导入一:你能根据下面图形的面积写出一个等式吗?图 14-3-10(a + b)2= a2+ 2ab+ b2,反过来,可得a2+ 2ab+ b2= (a + b)2.两个数
2、的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍,等于这两个数的和(或者差)的平方.形如a2 2ab+ b2的多项式称为完全平方式.导入二:回顾所学的知识,回答下列问题.1.什么叫把一个多项式分解因式?我们已经学习了哪些因式分解的方法?2.把下列各式分解因式:(1)ax4 ax2;(2)16m4 n4.3.我们学过的乘法公式除了平方差公式之外,还有哪些公式?请写出来.师生活动:教师提出问题,学生思考后回答,根据学生回答情况,进行补充、说明.探究新知探究新知问题 1:你能将多项式a2+ 2ab+ b2与a2 2ab+ b2分解因式吗?师生活动教师提出问题,学生思考、讨论、交流后总结得出:和讨论运用平
3、方差公式把多项式因式分解的思路一样,把完全平方公式反过来,就得到a2+ 2ab+ b2= (a + b)2,a2 2ab+ b2=(a b)2.这就是说,两个数的平方和,加上(或减去)这两个数的积的 2 倍,等于这两个数的和(或差)的平方,式子a2+ 2ab+ b2及a2 2ab+ b2叫做完全平方式.运用这两个式子可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.教师追问:这两个多项式有什么特点?师生活动教师提出问题,学生思考后回答:它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍.问题 2:下列多项式是否为完全平方式?(1)x2+6x+9;(2)x2+ xy + y2;(3)25x4 10 x2+
4、1;(4)16a2+1.答:(1)是完全平方式,因为x2与 9 分别是 x 与 3 的平方,6x=23x,所以x2+ 6x + 9 =(x + 3)2.(2)不是完全平方式.(3)是完全平方式,25x4= (5x2)2,1 = 12,10 x2= 2 1 5 x2,所以25x4 10 x2+ 1 =(5x2 1)2.(4)不是完全平方式.新知应用例 1分解因式:(1)16x2+24x+9;(2) x2+ 4xy 4y2.分析:根据完全平方公式进行因式分解即可.解:(1)16x2+24x+9= (4x)2+24x3 + 32= (4x+ 3)2.(2) x2+ 4xy 4y2= (x2 4xy+
5、 4y2)= x(2)-2x2y+ (2y)2= (x 2y)2.师生活动教师出示题目, 共同分析(1), (1)中多项式是一个完全平方式, 可以直接套用公式分解因式,教师板书(1),学生独立分析(2),并由学生板书完成.例 2分解因式:(1)3ax2+ 6axy + 3ay2;(2)(a + b)2-12(a+b)+36.分析:(1)中有公因式 3a,应先提公因式,再进一步分解;(2)中将 a+b 看做一个整体,则原式即为完全平方式.解:(1)3ax2+ 6axy + 3ay2= 3a(x2+ 2xy+ y2)= 3a(x + y)2;(2)(a + b)2-12(a+b)+36= (a +
6、 b)2-2(a+b)6 + 62(a + b 6)2.师生活动教师出示题目,让学生尝试独立完成,然后与同伴交流、总结解题经验.例 3把下列各式分解因式:(1)x2-7x+10.(2)x2+3x-10.(3)x2+11x+24.(4)x2-4x-21.分析:运用十字相乘法分解形如x2+px+q 的二次三项式的规律是:x2+px+q=(x+a)(x+b),其中a+b=p,ab=q.解:=(x-2)(x-5).(1)x2-7x+10(2)x2+3x-10=(x-2)(x+5).(3)x2+11x+24=(x+3)(x+8).(4)x2-4x-21=(x+3)(x-7).通过例 3 的学习,让学生分
7、小组总结,对形如x2+px+q 的二次三项式进行因式分解的技巧:如果常数项 q 是正数, 那么把它分解成两个同号因数, 它们的符号与一次项系数p 的符号相同.如果常数项 q 是负数, 那么把它分解成两个异号因数, 其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同.课堂练习课堂练习( (见导学案“当堂达标”见导学案“当堂达标”) )参考答案参考答案1.(1)25,x-5(2)12xy,3x2y(3) m,1m33212.D3.C4.A解析:原式= a(x(2)-4x-12)=a(x-6)(x+2).5.(1)a(x+ a)2(2)-1解析:- x3y + x2y2- xy32211=- xy(x
8、2 2xy+ y2)211=-2xy(x y)2=-2xy(y x)2.把 y-x=-1,xy=2 代入,得原式=-2 2 (1)2=-1.6.(1)(a 12)2;(2)(2ab+ 1)2;(3)(x + y 5)2;(4) (x + y)2.7.解:(1)把(x+2y)看成一个整体,所以(x + 2y)2-2(x+2y)+1(x + 2y 1)2.(2) 把 a+b 看 成 一 个 整 体 , 所 以 (a + b)2 4(a + b 1) = (a + b)2 4(a + b) + 4 =(a + b 2)2.课堂小结课堂小结教师和学生一起回顾本节课所学内容,并请学生回答以下问题:(1)
9、本节课学了哪些内容?11(2)通过本节课的学习,你有什么收获和体会?布置作业布置作业教材第 119 页习题 14.3 第 3 题.板书设计14.3.2公式法(第 2 课时)1.完全平方式.2.完全平方公式.3.用完全平方公式进行因式分解.4.x2+px+q=(x+a)(x+b),a+b=p,ab=q.教学反思教学反思1.将乘法公式反过来就得到多项式的因式分解,看似很简单的问题,对初学因式分解的学生来说,存在以下三方面的问题:不知道用哪一个公式;不懂得如何套用公式;当公式中的字母 a,b 为多项式时,因结构复杂不知从何入手.解决这些问题可采取以下策略:让学生掌握多项式因式分解的公式并熟记这些公式;从多项式的项数入手,判断用哪一个公式,如果多项式是两项式,那么考虑用平方差公式,如果多项式是三项式,那么考虑用完全平方公式.2.多项式的因式分解方法多,技巧性也较强,本书只介绍最基本的方法,但对因式分解的思考方向和步骤有较强的统一性,一般是先提公因式再用公式法或其他的方法,对这些方法的综合应用是教学的难点之一,在教学中要注意渗透这些知识和处理问题的策略.3.例 3 形如x2+px+q 的多项式的因式分解,是补充内容,有能力的同学可以学习并运用,不作统一要求.
限制150内