高频金融数据的波动率估计 (2).ppt
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1、利用高频金融数据的已实现波动率估计及其应用,韩清 上海社会科学院数量经济研究中心2011年3月19日广州中山大学岭南学院,引言,为什么要研究波动率金融市场中的一个重要和关键指标期权定价风险的度量交易策略的制定也往往围绕着波动率展开,引言,什么是波动率(1)实践中历史波动率,样本方差未来波动率,ARCH模型隐含波动率,根据B-S公式及期权价格倒推的波动率(2)理论上名义波动率,基本已实现的一条路径期望波动率,所有可能路径的平均瞬时波动率,某一时点的波动率,可以认为是名义波动率 或者期望波动率所考虑的时间段长度趋于0时的极限历史波动率-名义波动率 未来波动率-期望波动率,引言,估计波动率的方法(1
2、)参数化方法参数化方法针对期望波动率建立模型。不同的模型基于对价格或者波动率本身的不同假定, 并通过不同的函数形式将相关变量和参数关联在一起。条件异方差类(ARCH)模型 在ARCH类模型中(包括GARCH), 期望波动率描述为过去收益率序列的函数(GARCH中还包含过去的波动率)。随机波动(SV)模型 在随机波动模型中, 期望收益率依赖于一些潜在的状态变量或参数。,引言,估计波动率的方法(续)(2)非参数方法非参数波动模型通常针对名义波动率。模型本身并不对资产价格过程作出具体形式的假设。本文讨论的高频数据的已实现波动率估计属于非参数模型。,引言,为什么要使用高频数据快速变化着的市场的需要充分
3、利用已知信息的需要信息技术快速发展的结果更接近于连续时间模型揭示金融市场的微观结构特征 问题点:含有微观结构噪声,引言,我们的工作系统总结了利用高频金融数据的已实现波动率估计理论。 研究市场微观结构噪声的估计问题。总结了目前文献中在白噪声假设下估计噪声方差的各种方法, 并且放宽了对噪声的假设, 允许噪声序列间存在相关性, 甚至允许噪声与价格间也存在相关性(即内生性), 并在此假设下推导出新的噪声估计量。用来自中国股票市场的高频交易数据对本文介绍的各种波动率估计以及噪声方差估计进行了实证研究。实证结果为我们揭示了一个重要事实: 未降噪的波动率估计低于应用了降噪技术的波动率估计, 说明未降噪的波动
4、率估计低估了风险。这表明降噪技术对于风险管理具有很重要的现实意义。,连续时间模型的波动率理论,资产价格过程(Andersen et al.(2003) )K个资产的对数价格为半鞅过程(semimartingales):其中:漂移项:可预测的具有有限变差的向量过程 (predictable processes with finite variation)。 扩散项 m: 局部鞅向量 (local martingales)。 IV: 积分方差(Integrated Variance),连续时间模型的波动率理论,资产价格过程(续) 扩散项 由布朗运动驱动: :瞬时波动过程 :瞬时协方差矩阵过程 :积
5、分协方差矩阵 扩散项 由布朗运动与跳驱动 强度为的泊松过程, 独立同分布的随机向量。,连续时间模型的波动率理论,价格波动二次(协)变差(QV):对于半鞅过程而言, 漂移对于QV没有贡献, 扩散项的QV, 其中 无论,和跳跃间的关系如何, 只要价 格过程是个半鞅, 这一结论就成立。无跳跃时:,连续时间模型的波动率理论,已实现协方差矩阵动机 由于无跳时, QV = IV, 我们可以用已实现协方差矩阵去估计IV。 构造 时间段0, t上的已实现协方差矩阵(Realized Variance): 由于公式(),,连续时间模型的波动率理论,已实现协方差矩阵与积分协方差矩阵的联系 阶矩阵, 其为其元素为
6、和间的渐进协方差。在无跳跃时, RV是IV的一致估计。Barndorff-Nielsen & Shephard(2004)给出了 的估计。,连续时间模型的波动率理论,一元情形: 已实现方差对一元价格过程: 可用来一致地估计 ,后者进一步地等于 - 在资产定价, 分配及风险管理中起着重要作用的变量。,连续时间模型的波动率理论,幂变差过程和双幂变差过程幂变差过程(Barndorff-Nielsen & Shephard(2003))双幂变差过程(Barndorff-Nielsen & Shephard(2004)),连续时间模型的波动率理论,幂变差过程和双幂变差过程(续)不带跳的随机波动: 其中
7、和,连续时间模型的波动率理论,幂变差过程和双幂变差过程(续)带跳的随机波动:其中X(t)是某种随机过程。注意,连续时间模型的波动率理论,幂变差过程和双幂变差过程(续)提供了估计IV的另外方法。例如, 无论跳跃存在与否, 总是成立的, 于是我们可以利用 来估计IV。由于 ,可以将跳跃的二次变差从整 个价格的二次变差中分离出来。可以估计更高次幂(2)的积分波动率。应用这些结论的一个限制是要求(,) 和W独立 。,连续时间模型的波动率理论,一些改进的波动估计量对数变换 其中 Box-Cox变换 Gonalves & Meddahi(2006) 指出最优的Box-Cox变换是=-1。,连续时间模型的波
8、动率理论,一些改进的波动估计量(续)Edgeworth校正 提高了RV的渐近正态性(Gonalves (3) Bootstrapping会大大加重计算负荷。,市场微观结构及其噪声 市场微观结构,市场类型 竟价市场 集合竟价 连续竟价 交易商市场,交易指令 市场指令 限价指令,交易规则 价格优先, 时间优先 根据量的调整,交易成本 佣金 买卖价差 指令处理成本 存货成本 逆向选择成本,市场微观结构及其噪声,市场摩擦交易成本(主要是买卖价差)最小报价单位买卖价跳跃(Bid-ask bounce)价格变化限制信息不对称噪声定义:市场微观结构噪声过程(用 表示)为观测价格与有效价格之差。,市场微观结构
9、及其噪声,微观结构噪声设定噪声 日内收益率 有效日内收益率 收益率噪声 噪声的MA(1)结构 白噪声假定,“宝钢股份”的高频特征,交易间隔时间特征,“宝钢股份”的高频特征,相邻交易价格的变动特征,“宝钢股份”的高频特征,连续两笔交易的价格变动特征,“宝钢股份”的高频特征,相邻交易价格变化量的特征,“宝钢股份”的高频特征,每5分钟交易次数的ACF图,高频数据的降噪技术,综述 在高频数据下, 市场微观结构噪声的影响会扭曲已实现估计。并且,频率越高, 影响越严重。 基于最小化均方误差选择 最优抽样频率(Bandi & Russel(2005, 2006),At-Sahalia et al.(2005
10、))。减噪方法: (1)对噪声引起的误差纠偏。 Zhou(1996),Hansen & Lunde(2006),已实现核估计( Barndorff-Nielsen et al.(2007a)。(2)子抽样。 Zhang et al.(2005), At-Sahalia et al.(2006)。(3)子抽样核估计。 (Barndorff-Nielsen et al.(2007b)。,高频数据的降噪技术,已实现核估计(Realized Kernels) 两个随机过程 X和 Y的第 h阶协变过程(covariation process)为已实现自变过程 X:一个价格过程 p 的已实现核估计为 其中
11、 K()是定义在0,1上的核函数, 且k(0)=1和 k(1)=0。于是就是定义于式(7)中的已实现方差 。,高频数据的降噪技术,已实现核估计(续) 三种类型的核函数 (1) 不连续型核函数 (2) 光滑型核函数,连续, 且满足 k(0)=k(1)=0 (3) 折线型核函数,连续, 但不需要 k(0)=k(1)=0一些记号: 核函数的积分 信噪比 异方差程度度量,高频数据的降噪技术,已实现核估计(续)渐进分布当M时, 给定如果如果m是在区间(-1/M, 1/M)和(t-1/M, t+1/M)内的各不相同的观测数据个数,目的是消除在时间段上0, t价格p在0及t的端点效应(通过取各自区间上的平均
12、值)。实践中,m 的要求并没有初看上去那么重要,因为对于固定的m, 其对渐进方差的贡献与2/m成正比, 而2在实证分析中都很小(一般是渐进方差的千分之一的数量级)。,高频数据的降噪技术,已实现核估计(续)核估计是IV的一致估计,无论是否有跳跃。光滑核估计的收敛(于IV)速度比折线核估计要快, At-Sahalia et al.(2005)证明光滑核估计可以达到一般情形下的最快的收敛速度。 Tukey-Hanning核估计比其它类型的核估计有效。Barndorff-Nielsen et al. (2007)说明在噪声序列相关且具有内生性时,核估计仍有很好的效果。,高频数据的降噪技术,已实现核估计
13、(续) 估计已实现核估计的步骤:(1)选择核函数k()。(光滑核函数是首选)(2)选择抽样方法和抽样频率M。 抽样方法: CTS(Calendar Time Sampling)子区间长度相等 TTS(Tick Time Sampling)以观测值计数为间隔 抽样频率: 使抽样后的样本间不存在相关性的最高频率(3)确定自相关滞后阶数H。(由(18)或(19)式,需估计噪声方差和波动积分四次项 )(4)计算已实现核估计。(由(17)式)(5)计算已实现核估计的渐近方差。,高频数据的降噪技术,子抽样估计 子抽样(Subsampling) 可以使用全部的原始数据, 又保持适当的频率。双频已实现波动TS
14、RV估计(Two Scales Realized Volatility) 一个较低频率用于子抽样RV估计, 另一个较高频率的RV估计用来纠偏(由噪声引起的)。可以允许噪声间存在相关性。多频已实现波动MSRV估计(Multiple Scales realized Volatility) 使用多个频率以达到更快的收敛速度, 但只允许白噪声假设。,高频数据的降噪技术,子抽样估计(续)方案 假设有某种资产价格 p的原始交易数据。这些数据发生在时间段0, t内。我们可以将其划分为K个子样本: 第k (k=1,2,K)个子样本从第 k个原始数据开始,每隔K个数据取样一次。如果原始样本发生在时间格 则第k个
15、子样本的时间格为: 其中,高频数据的降噪技术,子抽样估计(续)例假设 n可被 K整除, 第 1个子样本: 第 2个子样本: 第 3个子样本: 第K个子样本:其中第1个子样本有n/K+1个观测值, 其它子样本容量为n/K。因此所有这K个子样本用完了所有原始样本(n+1个观测)。,高频数据的降噪技术,子抽样估计(续)子抽样RV 基于第 k个子样本的已实现方差:如果取合适的K值,这一估计将是降噪后的RV的适当估计。将K个这样的估计取平均: 这一估计的方差更小(是未平均RV的1/K),但仍是有偏的。,高频数据的降噪技术,子抽样估计(续)TSRVTSRV由Zhang et al.(2005)引入,At-
16、Sahalia et al.(2006)发展。构造: 其中 1JKn, ,TSRV结合了两种减噪思想: 使用适中频率(K)作通常的RV估计, 使用更高频率(J)来估计噪声引起的偏差以纠偏。 频率的选择(K和J): 如果噪声序列的相关性不超过m个观测值, 则可以选择J=m+1。 如果噪声是白噪声, 我们仅需选择J=1。 TSRV只要求噪声序列平稳。TSRV为一致估计需要满足一定的条件, At-Sahalia et al.(2006)给出修正。,高频数据的降噪技术,子抽样估计(续)MSRV 构造: 其中的W个低频率 用来作子抽样RV估计, 而用全部原始数据的可能的最快频率估计噪声偏差项。当然, 各
17、个子抽样RV估计的权重值需要满足 。 TSRV可以达到 的收敛速度MSRV可以达到 的收敛速度。,高频数据的降噪技术,子抽样核估计Barndorff-Nielsen et al.(2007)提出结合了两种非参数降燥技术: 核估计与子抽样 有效性: (1) 对于光滑核估计, 由于其收敛速率已达到可能的最好情况( ) 。子抽样技术对此并无帮助, 相反还会增加估计的方差 。 (2) 对于折线型核估计, 子抽样核估计与原来不使用该技术的核估计完全一致(具有完全一样的形式)。因此, 没有影响。 (3) 对不连续的核估计, 其本身不是QV的一致估计, 使用子抽样技术后可以使其成为QV的一致估计, 且收敛速
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